精品解析：2026年四川省广安市岳池县初中学业水平模拟测试卷 数 学

初中学业水平模拟测试卷数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分．在试题卷、草稿纸上答题无效．作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） 12月14日 12月15日 12月16日 12月17日 晴 晴 晴 多云 A. 12月14日 B. 12月15日 C. 12月16日 D. 12月17日 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点关于轴对称后，得到对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 五边形有五条对角线 B. 相似图形一定是位似图形 C. 矩形的对角线互相垂直且相等 D. 中位数一定是这组数据中的某一个数 6. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A. 甲、乙同学的速度和为10米/秒 B. 甲、乙同学在8秒时相遇 C. 甲同学的速度为5米/秒 D. 8. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 11. 已知，，则代数式的值为___． 12. 如图，，若，，则的度数为____________． 13. 如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有___（填序号）． 三、解答题（本大题共 5小题，共48分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 14. 按要求计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中． 15. 2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为　　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； （3）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率． 16. 如图，以为直径的经过的顶点，经过点的切线与的延长线交于点于点是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 17. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心（点是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知眼睛与显示屏顶端的水平距离． （1）求液晶显示屏的宽（结果精确到）； （2）求显示屏顶端与底座的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，轴， ，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作y轴，垂足为点F，连接，如果，求点E的坐标． B 卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．） 19. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 20. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 21. 若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围为___． 22. 如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是________． 23. 已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且． （1）若，则满足条件的所有整式的和为___； （2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有___个． 五、解答题（本大题共3小题，共30分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 24. 第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同． （1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元? （2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少? 25. （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． 填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________； （2）类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由， （3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离． 26. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平模拟测试卷数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分．在试题卷、草稿纸上答题无效．作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） 12月14日 12月15日 12月16日 12月17日 晴 晴 晴 多云 A. 12月14日 B. 12月15日 C. 12月16日 D. 12月17日 【答案】C 【解析】 【分析】根据日温差最高气温最低气温，分别计算出四天的温差，再比较大小即可． 【详解】解：12月14日的温差为； 12月15日的温差为； 12月16日的温差为； 12月17日的温差为， ， 日温差最大的一天是12月16日． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的乘方法则、同底数幂乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】解：A、，选项A正确； B、，选项B错误； C、与不是同类项，不能合并，选项错误； D、，选项D错误． 3. 在平面直角坐标系中，将点关于轴对称后，得到对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律即可直接求解． 【详解】解： ∵点的坐标为， ∴点关于x轴对称的点的坐标为． 4. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得图形为： ． 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 五边形有五条对角线 B. 相似图形一定是位似图形 C. 矩形的对角线互相垂直且相等 D. 中位数一定是这组数据中的某一个数 【答案】A 【解析】 【详解】解：A 、∵边形对角线条数公式为，将代入公式，得，∴五边形有五条对角线，A是真命题. B 、∵相似图形仅要求形状相同，位似图形要求对应点连线交于一点 ，因此相似图形不一定满足位似图形的条件，∴相似图形不一定是位似图形，B是假命题. C 、∵矩形的对角线相等但不垂直（正方形除外），∴C是假命题. D 、∵当一组数据的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是原数据中的某一个数 例如数据的中位数为 不在原数据中，∴D是假命题. 综上：真命题为A 6. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 7. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A. 甲、乙同学的速度和为10米/秒 B. 甲、乙同学在8秒时相遇 C. 甲同学的速度为5米/秒 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲、乙同学在8秒时相遇，甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值． 【详解】解：由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确， 甲的速度为(米秒)， 故C错误， 乙的速度为(米秒)， ∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确， ∴，故D正确． 8. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 10. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 11. 已知，，则代数式的值为___． 【答案】16 【解析】 【分析】先将因式分解，再将，代入计算即可． 【详解】解： 因为，，， 所以，原式． 12. 如图，，若，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、平角定义等知识，先由两直线平行同旁内角互补求得，再由平角为列式求解即可得到答案．熟记平行线的性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有___（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据尺规作图的痕迹可判断是的平分线；根据直角三角形两锐角互余求出的度数，结合角平分线定义求出和的度数，进而求出的度数；根据等角对等边得出，利用线段垂直平分线的判定定理判断点的位置；设为，利用已知比例表示出和的长，进而表示出和的长，计算比值即可；根据轴对称图形的定义判断是否为轴对称图形． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，是的平分线，故①正确． ，， ． 平分， ． ，故②错误． ，， ． ． 点在的垂直平分线上，故③正确． 若，设，则． ． 由作图可知． 在中，， ． ． ，故④正确． ，，， 的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误． 综上所述，正确的说法有①③④． 三、解答题（本大题共 5小题，共48分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 14. 按要求计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 15. 2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为　　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； （3）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率． 【答案】（1），补充条形统计图见解析 （2）估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人； （3） 【解析】 【分析】（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形； （2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可； （3）利用列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为， 无人机社团人数为（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人； 【小问3详解】 解：设四类社团：“打印”“航模”“机器人”“无人机”分别用A、B、C、D表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 一共有16种等可能结果，其中甲，乙两同学都没有选择“打印”的有9种， 所以甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率为． 16. 如图，以为直径的经过的顶点，经过点的切线与的延长线交于点于点是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，即可得到，然后根据等边对等角和直径所对的圆周角是直角可得，根据等量代换得到结论即可； （2）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据勾股定理求出长，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的切线， ． ， ， ． ， ， ． 是的直径， ， ． ， ， ． ， ； 【小问2详解】 如图，连接． 是的中点， ． 是的直径， ， ， ，． ， ， ． 17. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心（点是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知眼睛与显示屏顶端的水平距离． （1）求液晶显示屏的宽（结果精确到）； （2）求显示屏顶端与底座的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解求出，即可求解； （2）过点作于点，先得到，然后解，即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点是中点， ∴， 答：液晶显示屏的宽为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：显示屏顶端与底座的距离为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，轴， ，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作y轴，垂足为点F，连接，如果，求点E的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先求出A、D坐标，以及的长，解直角三角形求出的长，进而得到点C的坐标，然后利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）设出点E坐标，求出的面积为3，进而得到的面积为12，再求出点B的坐标，得到的长，利用面积法求出的长进而求出点E的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴ ， ∴， ∴点C的坐标为， ∴把代入中得， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴将代入中得， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∴ ∴， ∴， ∵一次函数解析式为， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． B 卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．） 19. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆锥的底面直径求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母线长即可． 【详解】解：为底面直径， 圆锥的底面半径为  圆锥的底面周长 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 设母线的长为   解得 ． 20. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【解析】 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 21. 若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集为，再根据整数解的个数得到关于的一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：， 解第一个不等式得，； 解第二个不等式得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为 ∴， 解得． 22. 如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，则点O在直线上移动，即当时，有最小值，连接，过点H作于K，再证明四边形是平行四边形，结合四边形是矩形，得，，运用勾股定理得，则，因为点H是的中点，则，算出，即可作答． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，并延长交于N， ∵点O是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点P在直线上运动，且点O是的中点， ∴点O在直线上运动， ∴当时，有最小值， 如图，连接，过点H作于K， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，点M是的中点， ∴，， ∴， 则， ∵点H是的中点， ∴， 则， ∴， 即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，难度较大，综合性较强，确定点的运动轨迹是解题的关键． 23. 已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且． （1）若，则满足条件的所有整式的和为___； （2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有___个． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）当时，则， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式的和为； （2）多项式为二次三项式， ， ， ∵多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则只有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴其值一定为非负数的整式M共有3个． 五、解答题（本大题共3小题，共30分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 24. 第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同． （1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元? （2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少? 【答案】（1）滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元 （2）这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元 【解析】 【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，则可得：，解方程并检验可得答案； （2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据投入的经费不超过2650元，有，即可求得的取值范围，设全部售出后获得的利润是w元，，由一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 【小问1详解】 解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴， ∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元； 【小问2详解】 解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮， ∵投入的经费不超过2650元， ∴， 解得， 设全部售出后获得的利润是w元， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴时，w取最大值，最大值为（元）， 答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 25. （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． 填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________； （2）类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由， （3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离． 【答案】（1）①60º；②；（2）∠AFB=45°，AD=BE；理由见解析；（3）± 【解析】 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题； （2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．证明△ACD∽△BCE，可得 ，∠CBF=∠CAF，由此即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠ACD=∠CBF， 设BC交AF于点O． ∵∠AOC=∠BOF， ∴∠BFO=∠ACO=60°， ∴∠AFB=60°， 故答案为60°，AD=BE． （2）结论：∠AFB=45°，AD=BE． 理由：如图2中， ∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC， ∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，， ∴△ACD∽△BCE， ∴，∠CBF=∠CAF， ∴AD=BE ∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF， ∴∠AFB=∠ACB=45°． （3）如图3中， ∵AEB=∠ACB=90°， ∴A，B，C，E四点共圆， ∴∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE， ∵∠FAE=∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴=cos30°= ， ∴EC=BD， 在Rt△ADE中，∵DE=，∠DAE=30°， ∴AE=DE=3， ∴BE==4， ∴BD=BE-DE=4-， ∴CE=BD=2-， ∵∠BEC=30°， ∴点C到直线DE的距离等于CE•sin30°=-． 如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD=DE+EB=4+，CE=BD=2+， 点C到直线DE的距离等于CE•sin30°=+． 综上所述，点C到直线DE的距离等于±． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 26. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）面积的最大值为，； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $