期中模拟试卷•培优提升卷（范围：第1章 整式的乘除～第3章 概率初步）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟试卷（培优提升卷） 北师大版 考试范围：第1章 整式的乘除~第3章 概率初步 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【答案】C 【分析】本题考查了事件的概率，事件的分类，理解概率、事件分类的概念是解题的关键．根据概率、事件分类的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意； B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意； C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意； D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 3．如图，已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，再根据垂直的定义以及角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将都转化为底数为3的幂，利用幂的乘方法则化简得到各自的指数，再根据底数大于1时，指数越大，幂越大，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，且 ∴ 即． 6．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，先计算已知数据中“针与直线相交”的频率，观察频率的稳定值，再用该稳定值乘以投掷次数，估算频数． 【详解】解：计算各组“针与直线相交”的频率： 频率稳定在0.314附近， 当投掷次数为时，频数， 最接近选项中的． 故选B． 7．观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据已知等式归纳出通用规律：(为正整数)，再结合已知等式变形求解． 【详解】解：∵，，，……， ∴， ∴当时，． 又， ， ． 8．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，根据平分，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】观察到，，三个表达式之间存在连续整数关系，可将、用表示，再代入 已知等式求解． 【详解】解：∵ ， 将、代入 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用与代数式的整体代换，解题关键是通过观察变量间的连续关系，将、转化为含的表达式，从而简化计算． 10．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点B作，则，由平行线的性质可得，判断①；同①可知，由平行线的性质可推出再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可判断②③． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 同①可知：； ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 过点D作，则， ∴， ∴ ；故②正确； 过点B作，过点D作，则，   同理可得，， ∵，， ∴，， ∴ ． ∴．故③正确； 综上：正确的有①②③，共3个． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 【答案】/度 【分析】过C作，根据平行线的判定与性质可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：过C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．已知，，则________． 【答案】9 【分析】把变形为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 14．社团课上A、B、C三人玩足球传球游戏，游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（注：球从一人传给另一个人就记为传球一次）．若这样传球三次后，要使球传到B脚下的概率最小，应该从________的脚下开始传球． 【答案】B 【分析】分别计算从，，开始传球，传球三次后球传到脚下的概率，比较概率大小即可得到结论． 【详解】解： 若从开始传球，有，，，，，，，，共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在脚下的结果有种， 此时球传到B脚下的概率为； 若从开始传球，同理共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在脚下的结果有种， 此时球传到B脚下的概率为； 若从开始传球，同理共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在脚下的结果有种， 此时球传到B脚下的概率为； 因为， 所以要使球传到脚下的概率最小，应该从的脚下开始传球． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：                                 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴展开式中含项的系数是． 16．已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 【答案】/50度 【分析】过G点作，过E点作．设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得 ，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作. ∵， ∴， 设，则． ∵平分， ∴． ∴． ∵, ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴． ∵, ∴ ∴, ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】作平行线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图1，交于点O，，且平分． (1)求的度数； (2)过O点作射线，且，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】（1）利用垂线性质得到，又利用角平分线性质得到，与是对顶角，即可得到的度数； （2）分三种情况讨论，根据角的和与差列式计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在内部时， ∵，， ∴ ， ∴，不符合题意，舍去； 当在内部时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 18．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【答案】(1)平方米 (2)此时种植区的总面积S为108平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：此时种植区的总面积S为108平方米． 19．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过P点作直线，则可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得． （2）如图，过E点作直线，过F点作直线，则可得．根据平行线的性质可得， ， ．根据角平分线的定义可得，．由可得，结合（1）中的结论可得，进而可得 ． （3）如图，过F点作直线，则可得．由（1）得，，，进而可得．由角平分线的定义可得，，由（1）得 ． 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，过E点作直线，过F点作直线． ∵， ∴， ∴， ， ， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， 即， ∴， 由（1）知， ∴， ． （3）解：如图，过F点作直线． ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， 由（1）得 ． 20．将幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)填空： ； (2)已知，求的值；（用含a，b的式子表示） (3)已知，求x的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可； （3）同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 解：由， ∴． （3）解： ， ， ， 解得． 21．如图1，，点为边上一动点，连接，且． (1)求证：； (2)当点在的平分线上时，若，求的度数； (3)在点移动的过程中，当的长最小时，此时点恰好也在的平分线上，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质和补角的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义等知识进行解答即可； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ， 如图，过点作， ， ， ． ， ， ， ， ； （3）解：如图，当时，的长度最小， ， 由（1）可得 点恰好在的平分线上， ， ， ， ． 22．在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 【答案】(1)3 (2)D 【分析】（1）通过图2的折叠与分割，确定区域⑥的边长和区域⑦的边长关系，进而推出两者的周长关系； （2）根据概率与区域面积的关联，逐一判断各选项的正确性． 【详解】（1）解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长： ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3. 故答案为：． （2）解：A：找到宝藏的概率与区域面积有关，与形状无关，故错误，不符合题意； B：区域③是存在的区域，有找到宝藏的可能，故错误，不符合题意； C：宝藏藏在哪个区域是随机的，区域①不一定能找到，故错误，不符合题意； D：区域④⑥⑦的面积相等，因此找到宝藏的概率相同，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质、周长计算及概率的概念，掌握利用折叠的全等性分析线段长度，以及概率与区域面积相关的特点是解题的关键． 23．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）设，则，根据得到，再化简，配方求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （2）解： ， ， 当时，有最小值； （3）解：设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 24．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟试卷（培优提升卷） 北师大版 考试范围：第1章 整式的乘除~第3章 概率初步 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 2．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 3．如图，已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 7．观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 8．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 10．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．计算_________ 12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 13．已知，，则________． 14．社团课上A、B、C三人玩足球传球游戏，游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（注：球从一人传给另一个人就记为传球一次）．若这样传球三次后，要使球传到B脚下的概率最小，应该从________的脚下开始传球． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：                                 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 16．已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图1，交于点O，，且平分． (1)求的度数； (2)过O点作射线，且，求的度数． 18．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 19．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 20．将幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)填空： ； (2)已知，求的值；（用含a，b的式子表示） (3)已知，求x的值． 21．如图1，，点为边上一动点，连接，且． (1)求证：； (2)当点在的平分线上时，若，求的度数； (3)在点移动的过程中，当的长最小时，此时点恰好也在的平分线上，求的度数． 22．在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 23．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 24．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $