第11章 解三角形 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章 解三角形 综合测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2024南京期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，则角A的度数为(　　) A.30° B.45° C.45°或135° D.150° 2 (2025山西期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，且(a＋b＋c)(a＋b－c)＝(2＋)ab，则△ABC的形状是(　　) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰钝角三角形 3 在△ABC中，若AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高h的长度为(　　) A. B. C. D.3 4 (2025江门期中)奏唱中华人民共和国国歌需要46s.某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为(　　) A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 5 (2025常州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知C＝60°，a＋b＝5，S△ABC＝，则c的值为(　　) A. B. 3 C. D. 6 (2025保定开学考试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan B＝－，b＝，则的值为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 二、多项选择题 7 (2025南京外国语月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝，c＝，则下列结论中正确的是(　　) A.△ABC是锐角三角形 B. B＝ C.△ABC的面积为 D. AB的中线长为 8 (2025宿迁期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝60°，b＝3，则下列说法中正确的是(　　) A.若a＝2，则△ABC为锐角三角形 B.若c＝2，则△ABC只有一解 C.若B＝75°，则△ABC的面积为 D.若△ABC为锐角三角形，则a∈ 三、填空题 9 (2025运城月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则＝________． 10 (2025宿州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，c＝7，C＝，则△ABC的面积为________． 11 (2025宿迁期中)在△ABC中，sin2B＋2sin2A－sin2C＝0，若tanB＝x tan C，则实数x的值为________． 四、解答题 12 (2024南通期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋c2＝b2＋ac. (1) 求角B的大小； (2) 若c＝2a，求tan C的值． 13 (2025南京期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1) 求角A的大小； (2) 若b＝4，c＝2，D为BC的中点，求线段AD的长； (3) 若该三角形的面积为2，AE为内角A的平分线，交边BC于点E，求线段AE长的最大值． 参 考 答 案 1.B　因为a＝，b＝，即a<b，所以A<B，即0°<A<60°，由正弦定理＝，得sin A＝＝＝，所以A＝45°. 2.C　由正弦定理，得＝，所以tan A＝tan C.又A，C∈(0，π)，所以A＝C.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝(＋2)ab，得(a＋b)2－c2＝(＋2)ab，化简，得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝，所以A＝C＝，所以B＝，所以△ABC是等腰直角三角形． 3.B　由题意，得cos A＝＝，所以sin A＝.因为S△ABC＝AB·ACsin A＝·AC·h，所以h＝. 4.B　如图，由题意，得∠HAB＝30°＋15°＝45°，∠HBA＝180°－15°－60°＝105°，则∠AHB＝180°－45°－105°＝30°.在△HAB中，由正弦定理，得＝，即＝，解得HB＝20，则OH＝HB sin ∠HBO＝20sin 60°＝10，则v＝＝ m/s. 5.D　因为S△ABC＝ab sin C＝ab＝，所以ab＝4.又c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝25－3ab＝25－12＝13，所以c＝. 6.B　因为b＝，所以b2＝3ac，所以＝＝＋2.在△ABC中，tan B＝－，所以B＝，所以cos B＝－.由余弦定理，得cos B＝＝－，代入b2＝3ac，得＝－＝－，所以＝2，所以＝＋2＝2＋2＝4. 7.BC　对于A，由题意可知a最大，所以A为△ABC的最大内角，易知cos A＝＝＝－<0，则A为钝角，故A错误；对于B，cos B＝＝＝.又B∈(0，π)，所以B＝，故B正确；对于C，△ABC的面积S＝ac sin B＝×3××＝，故C正确；对于D，设AB的中线为CD，易知CD2＝a2＋－2a×cos B＝9＋－3＝，可得CD＝，故D错误．故选BC. 8.ACD　对于A，若a＝2，则c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×＝7，即c＝，所以180°>B>C>A>0°，且cos B＝＝＝>0，即B<，所以△ABC为锐角三角形，故A正确；对于B，若c＝2，则3sin 60°<c<b，所以△ABC有两解，故B错误；对于C，若B＝75°，则A＝45°，则a＝＝＝3(－1)，所以S△ABC＝ab sin C＝×3(－1)×3×＝，故C正确；对于D，由题意，得A＋B＝120°，若△ABC为锐角三角形，则解得30°<B<90°，所以tan B>，所以a＝＝＝＝＝＋∈，故D正确．故选ACD. 9.1　由余弦定理，得＝·＋·＝＝1. 10.　由余弦定理，得cos C＝＝＝－，解得b＝5(负值舍去)，所以△ABC的面积为ab sin C＝×3×5×＝. 11.－　由正弦定理，得b2＋2a2－c2＝0，则cos C＝＝＝－<0.因为C∈(0，π)，所以C∈，所以tan C≠0.又tan B＝x tan C，所以由正弦定理及余弦定理，得x＝＝＝＝＝＝＝－. 12.(1) 因为a2＋c2＝b2＋ac， 所以a2＋c2－b2＝ac， 则cos B＝＝＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2) 设a＝t，c＝2t，t>0，代入a2＋c2＝b2＋ac中，得t2＋8t2＝b2＋t·2t， 所以b2＝5t2，解得b＝t， 所以cos C＝＝＝－. 因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝. 故tanC＝＝＝－2. 13.(1) 在△ABC中，由＝及正弦定理，得＝， 即c2＋b2－a2＝bc. 由余弦定理，得cos A＝＝＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. (2) 由(1)知，A＝.因为D为BC的中点， 所以＝(＋). 又b＝4，c＝2， 所以||＝＝＝. 故线段AD的长为. (3) 由△ABC的面积为2， 得S△ABC＝bc sin A＝bc＝2，解得bc＝8. 由AE为内角A的平分线，得∠BAE＝∠CAE＝. 由S△AEB＋S△AEC＝S△ABC， 得AE·c sin ＋AE·b sin ＝bc sin ， 所以AE(c＋b)＝bc， 所以AE＝≤＝， 当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 所以线段AE长的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $