第9章 平面向量 综合练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章 平面向量 综合练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025泰州期末)已知向量a＝(4，2)，b＝(8，t).若a∥b，则实数t的值为(　　) A.16 B.4 C.－4 D.－16 2 (2025盐城清源中学期末)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝ 3 (2025邵阳期末)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋.若＝λ(λ∈R)，则λ的值为(　　) A.4 B.5 C.－4 D.－5 4 (2025无锡月考)已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A.4e B.－4e C.2e D.－2e 5 (2025朝阳月考)若在四边形ABCD中，满足＝＋，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状一定是(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 6 (2025河南期中)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，·＝0，AD＝AB＝3，BC>AB，M，N分别为边AB，BC上的动点，且MN＝2，则·的最大值为(　　) A.6 B.9 C.12 D.15 二、多项选择题 7 (2025汕头期中)已知平面向量a＝(－1，1)，b＝(3，4)，则下列说法中正确的是(　　) A.|a＋b|＝ B.与b方向相反的单位向量是 C.a与b夹角的余弦值为 D.b在a方向上的投影向量为a 8 (2025龙岩期末)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，M为正方形ABCD所在平面上一点，且＝x＋y，x，y∈R，则下列结论中正确的是(　　) A.若x＝1，y＝，则||＝ B.若x＝y＝，则＝＋ C.若x＋y＝1，则·＝4 D.若x＋y＝1，则·的取值范围是[－2，0] 三、填空题 9 已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 10 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角是________． 11 (2025南京期中)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x，＝y，则x＋4y的最小值为________． 四、解答题 12 (2025东丽期中)已知向量a＝(1，3)，b＝(－3，k). (1) 若a∥b，求|b|的值； (2) 若a⊥(a＋2b)，求实数k的值； (3) 若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 13 (2025浙江期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是AB的中点，F是线段AD上靠近点A的三等分点，＝λ(λ∈R)，设＝a，＝b，向量a，b的夹角为θ. (1) 若λ＝，求∠FEG的大小； (2) 若λ＝，·＝，求cos θ的值． 参 考 答 案 1.B　因为a∥b，所以4t－16＝0，解得t＝4. 2.B　因为e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)不共线，其余选项中e1，e2均共线，所以B中的两向量可以作为基底． 3.D　因为＝－＋＝－＋＋，所以－＝－(－)，即＝－，即＝－5，所以λ＝－5. 4.D　向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×e＝－2e. 5.B　由＝＋，得－＝＝，即四边形ABCD为平行四边形．又|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，整理得·＝0，即⊥，所以四边形ABCD为矩形． 6.C　因为·＝0，所以⊥.如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(3，3)，设M(0，y)，N(x，0)，其中x∈[0，2]，y∈[0，2]且x2＋y2＝4，所以＝(－3，y－3)，＝(x－3，－3)，所以·＝－3x＋9－3y＋9＝－3(x＋y)＋18.因为x＋y＝BM＋BN≥MN＝2，当且仅当点M或点N与点B重合时，等号成立，所以·的最大值为12. 7.AC　对于A，因为a＋b＝(2，5)，所以|a＋b|＝＝，故A正确；对于B，与b相反的单位向量为－＝－＝，故B错误；对于C，设向量a，b的夹角为θ，因为a＝(－1，1)，b＝(3，4)，所以cos θ＝＝＝，故C正确；对于D，由投影向量的定义知，b在a方向上的投影向量为·＝a，故D错误．故选AC. 8.AC　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，＝x(2，0)＋y(0，2)＝(2x，2y)，可得M(2x，2y).对于A，当x＝1，y＝时，＝(2，1)，则||＝，故A正确；对于B，当x＝y＝时，M，则＝＝－＝＋，故B错误；对于C，＝(2，2)，当x＋y＝1时，·＝4x＋4y＝4，故C正确；对于D，当x＋y＝1时，＝(2－2x，2－2y)，则·＝2x(2x－2)＋2y(2y－2)＝4(x2＋y2)－4＝4[x2＋(1－x)2]－4＝8x2－8x＝8(x－)2－2≥－2，故D错误．故选AC. 9.2　由题意，得|a|＝2，则|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2. 10.　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，所以2a2＋a·b＝0.设a与b的夹角为θ，则2|a|2＋|a||b|·cos θ＝0.因为a≠0，所以|a|≠0，所以2|a|＋|b|cos θ＝0.又|b|＝4|a|，所以cos θ＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 11.3　因为点G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＋.又G，M，N三点共线，所以＋＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)＝(5＋＋)≥＝3，当且仅当x＝1，y＝时，等号成立，所以x＋4y的最小值为3. 12.(1) 因为向量a＝(1，3)，b＝(－3，k)，且a∥b， 所以1×k－3×(－3)＝0，解得k＝－9，即b＝(－3，－9)， 所以|b|＝＝3. (2) 因为a＋2b＝(－5，3＋2k)，且a⊥(a＋2b)， 所以1×(－5)＋3×(3＋2k)＝0，解得k＝－. (3) 因为a与b的夹角是钝角， 所以a·b<0且a与b不共线， 可得1×(－3)＋3×k<0且k≠－9，解得k<1且k≠－9， 所以实数k的取值范围为(－∞，－9)∪(－9，1). 13.(1) 由题意，得＝－＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝a＋b， 所以·＝·＝b2－a2＝×32－×22＝0， 故∠FEG＝. (2) 由题意，得＝b－a，＝a＋b， 所以·＝＝b2－a·b－a2＝， 所以a·b＝2， 故cos θ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $