9.3.1 平面向量基本定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.1　平面向量基本定理 基础过关练 题组一　平面向量基本定理的理解 1.(教材习题改编)设e1,e2为平面向量的一组基底,则下面四组向量中不能作为基底的是(　　) A.e1+e2和e1　　　　B.4e1+2e2和e2 C.2e1-e2和e1-2e2　　　　D.e1-2e2和4e2-2e1 2.(多选题)(2025湖北咸宁联考)若e1,e2是平面内两个不共线的向量,则下列说法正确的是(　　) A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面内的所有向量 B.对于平面内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无数对 C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数λ,μ,使λe1+μe2=0,则λ=μ=0 3.(2025上海新川中学期中)已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,要使a,b是一组基底,则实数λ的取值范围是　　　　　.  题组二　用基底表示向量 4.(多选题)(2025江苏无锡第三高级中学期中)如图所示,已知P,Q,R分别是△ABC的边AB,BC,CA的四等分点,若=a,=b,则以下向量表示正确的是(　　) A.a-b　　　　B.a+b C.a+b　　　　D.=a-b 5.(2025湖南三湘名校联盟期中)如图,菱形ABCD中,AB=6,∠BAD=60°,,点M在线段EF上,且,则x+||=　　　　.  6.(2024重庆南开中学阶段测试)在平行四边形ABCD中,=a,=b. (1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b表示; (2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示. 　　 题组三　平面向量基本定理的应用 7.(2025江苏南通如皋中学适应性考试)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若,则λ+μ=(　　) A.1　　　　B. 8.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)在锐角△ABC中,AD为BC边上的高,tan C=2tan B,,则x-y的值为(　　) A.- 9.(2025河南驻马店高级中学月考)如图所示,平面内有三个向量的夹角为120°,的夹角为150°,且|,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.-4　　　　D.-5 10.(2025江苏江阴青阳中学阶段检测)如图,△ABC中,,设=a,=b,点E在线段AC上,AD与BE交于点F,,则 (1)=　　　　;(用a,b表示)  (2). 11.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点. (1)用; (2)求; (3)设,求xy的取值范围. 能力提升练 题组　平面向量基本定理的应用 1.(2024江苏南京模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记=a,=b,则=(　　) A.a+b　　　　B.a+b C.a+b　　　　D.a+b 2.(2025江苏常州期中)已知P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点,且,则λ+μ的最大值为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 3.(多选题)(2025江苏苏州大学附属中学期中)已知等边△ABC的边长为4,点D,E满足,AE与CD交于点O,则(　　) A.=8 C. 4.(多选题)(2024江苏南京江浦高级中学检测)如图所示,在△OAB中,,AD与BC交于点M.过点M的直线l与两边OA,OB分别交于点E,F,设,则(　　) A. B.=7 C.λ+μ=可能成立 D. 5.(2025江西赣州二十五校期中联考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且AE,BF,CD交于点M. (1)已知. (i)若O是△ABC所在平面内任意一点,证明:; (ii)若,求x的值; (2)若,证明:abc=1. 答案与分层梯度式解析 9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.1　平面向量基本定理 基础过关练 1.D　若两个向量能作为一组基底,则这两个向量不共线. A,B中两个向量显然不共线,可以作为基底; 对于C,假设两向量共线,则可设2e1-e2=c(e1-2e2)(c∈R),得(2-c)e1=(1-2c)e2, 由题意知e1,e2不共线,且e1≠0,e2≠0,则显然无实数解,假设不成立,因此向量2e1-e2和e1-2e2不共线,可以作为基底; 对于D,-2(e1-2e2)=4e2-2e1,所以e1-2e2和4e2-2e1是共线向量,不可以作为基底. 2.AD　因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,所以e1,e2可作为一组基底, 则由平面向量基本定理可知A、D正确,B错误; 对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,故C错误. 3.答案　 解析　当a∥b时,设a=mb(m∈R),则e1+2e2=m(λe1+e2),可得, 因为a,b是一组基底,所以a与b不共线,则λ≠. 故λ的取值范围是. 4.BC　由已知得=b-a,故D错误; a-(b-a)=-a-b,故A错误; b+(b-a)=-a+b,故B正确; a+b,故C正确. 5.答案　 解析　因为, 所以, 所以, 因为点M在线段EF上, 所以可设, 则 =, 而 所以, 则|=49, 所以|. 6.解析　(1)因为E,F分别是BC,DC的中点, 所以=b-a, =a-b. (2)因为O是AC与BD的交点,G是DO的中点, 所以), 所以a+b. 7.A　由题意知, 因为, 所以, 由平面向量基本定理可得 所以λ+μ=1. 8.C　由题图可知,tan C=, 又tan C=2tan B,所以, 所以BD=2DC,则, 所以, 又. 小题速解　爪子模型:在△ABC中,D在线段BC上,,进而得到结果. 9.D　由的夹角为120°,的夹角为150°得的夹角为90°,即. 由(λ,μ∈R)得 两边平方得(舍去). 所以λ+μ=-5. 10.答案　(1)a+b　(2) 解析　(1)由, 得a+b. (2)设,0≤λ≤1, 则, 所以, 因为A,F,D三点共线,所以可设(m∈R), 又, 所以, 则. 11.解析　(1)由题得①,②, 因为M为线段BC的中点,所以, 又AB∥DC,且AB=2CD,所以, ①+②,得2, 则. (2)由题知A,N,M三点共线,所以存在实数t,使得, 又B,D,N三点共线,故. 所以=4. (3)由题意可设, 则) =(x+ym). 又不共线, 所以由平面向量基本定理可知 解得 因为0≤m≤, 易知xy=(y-1)y=y2-y=上单调递增, 则当y=1时,xy取得最小值,为0, 当y=, 所以xy的取值范围为. 能力提升练 1.D　如图,过点F作FN平行于BC,交BE于点M,交AB于点N, 因为DF=FC,所以F为DC的中点,则N为AB的中点,所以MN∥AE且MN=×AD, 易知NF=AD,所以MF=NF-MN=AD-AD, 易知△AEG∽△FMG,所以, 所以a+b. 2.C　如图,连接AD,过P作PM⊥AD于M, 设正六边形ABCDEF的边长为a, 则AD=2a,∠BAD=∠FAD=, 则=a×2a×=a2, =a×2a×=a2, 因为, 所以=a2(λ+μ), 又|, 0≤||=2a, 所以0≤=4a2,即0≤a2(λ+μ)≤4a2, 所以0≤λ+μ≤4,故λ+μ的最大值为4. 小题速解　连接BF,交AD于Q,当点P在BF上时,λ+μ=1,由等和线知当点P在D处时,λ+μ取最大值,易知=4,故λ+μ的最大值为4. 3.ABD　对于A,,故A正确; 对于B,因为△ABC为等边三角形,|cos 60°=4×4×=8,故B正确; 对于C,设, 又O,A,E三点共线,所以,所以O为CD上靠近点D的四等分点,故C错误; 对于D,, 又O,C,D三点共线,所以=1,解得t=2, 所以O为AE中点,所以,故D正确. 4.ABD　对于A,由题知A,M,D三点共线,所以存在实数t,使得), 即, 所以, 又B,M,C三点共线,故4(1-t)+, 则,故A正确; 对于B,由, 由E,M,F三点共线,得=7,故B正确; 对于C,依题意知,0<λ≤1,0<μ≤1, 则λ+μ=, 当且仅当不可能成立,故C错误; 对于D,=λμ, 显然7=, 当且仅当μ=3λ=时取等号, 因此,故D正确. 5.解析　(1)(i)证明:因为. (ii)设, 又) =, 所以. (2)证明:因为), 则, 设=0①, 同理设,　 可得t=0②,c=0③, 联立①②消去=0, 联立①③消去=0, 因为中任意两个向量都不共线, 所以1-at=s-ab=ac-r=sc-1=0, 由1-at=0得t=,由s-ab=0得s=ab, 由sc-1=0得s==ab,故abc=1. 16 学科网（北京）股份有限公司 $