(一)导数的概念及其意义、导数的运算- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (一)导数的概念及其意义、导数的运算 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知曲线C:y一x2-2上一点P(1,一)，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为 A.30 B.45° C.60 D.120° 2.已知函数f(x)在x=6处可导，且1imfx-2d）-fx）-4,则f'()= d0 d A.-8 B.-4 C.-2 D.8 3.函数f(x)=2x2在区间[0,4]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率的2倍，则 m= A.1 B.2 C.4 D.6 4.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组上线新成昆铁路和达成铁 路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原 版”复兴号动车组列车全长236.7m,由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等 座、642个二等座，最高运行时速达160k,全列定额载客676人.假设“高原版”复兴 号动车组开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v=1.4t十 0.3t,t∈[0,12]，则当t=10s时，该动车组的加速度为 A.4.4m/s2 B.7.4m/s2 C.17m/s2 D.20m/s2 5.当x≠0时，设函数f(x)存在导数f(x),且满足f(x)十xf'(x)=e,若f(1)=0,则 f(-1)= A.1-c B. C.0 e D.e-1 6.若直线l与函数f(x)=1十lnx,g(x)=e-1的图象都相切，则l的斜率为 A.0或1 B1或 C.1或e D.或e 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论正确的是 A.若y=cos2,则y=-sin2 B若y=log,则)=21 C.若y=2x+2026,则y=2xln2 n若左则 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题· 8已知函数f(x)和g()的定义域均为K,且g(x)=f(x),若f(层-小g1十x)均 为奇函数，则 Af2)=0 B.g(1)=1 C.g女)的图象关于直线=多对称 D.g(3)=0 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.写出同时具有下列性质①②的函数f(x)的一个解析式为f(x)= ①f(x)的值域为[-3，十∞)；②当x∈[0，十∞)时，f(x)≥0. 10.曲线y=一e2x一x十2上的点到直线3x十y一4=0的距离的最小值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 求下列函数的导数： (1)y=x-sin 2cos (2)y=2-x+1 x2+x+1 (3)y=3rex-2r+e; (4)y=In z x2+1 高二同步周测卷一 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3-3x2+1. (1)求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若直线l:9x-y-a=0与f(x)的图象相切，求a的值； (3)求过点(0,2)且与f(x)的图象相切的直线方程. 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿(Isaac Newton, 1643一1727)在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如 下：设r是函数f(x)的一个零点，任意选取x作为r的初始近似值，曲线y= f(x)在点(x,f(xo)处的切线为l1,设1与x轴交点的横坐标为x1,并称x1为r 的1次近似值；曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线为l2,设l2与x轴交点的横 坐标为x2,称x2为r的2次近似值.一般地，曲线y=f(x)在点(xm,f(xn) (n∈N)处的切线为1m+1,记Lm+1与x轴交点的横坐标为xm+1,并称xm+1为r的n十1 次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取xm为方程f(x)=0的近似 解.现在用这种方法求函数f(x)=x2一2的大于零的零点r的近似值，取x,=2. (1)求x1和x2; (2)求xm和xm-1的关系(n∈N*); (3)证明：n<空<2n+1m∈N。 y=f(x)/ 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷一 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 (主题内容) W ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 利用导数求切线的倾 1 选择题 0.80 斜角 选择题 5 导数的定义 易 0.72 平均变化率与瞬时变 3 选择题 5 易 0.70 化率 4 选择题 5 导函数的实际应用 中 0.55 5 选择题 5 借助导数构造函数求值 中 0.40 6 利用导数研究公切线 选择题 问题 分 0.30 7 选择题 6 导数公式 易 0.75 8 选择题 利用导数解决抽象函 6 L 中 0.40 数问题 9 填空题 5 与导数有关的开放题 W 易 0.72 利用导数解决曲线上 10 填空题 5 点到直线的距离的最 中 0.35 值问题 11 解答题 13 导数的计算 中 0.60 12 15 由切线方程求参，求切 解答题 / / 中 0.35 线方程 13 解答题 20 与导数有关的新定义题 / 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 1,所以曲线C在点P处的切线的斜率为1，则倾斜角 1.B【解析】因为y=号-2，所以=，则yL1= 为45°，故选B. ·49· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 2.C【解析】因为m-2d）-f(）=4,所以 直线x= 号对称，可得g(x)的一个周期T=4× 2m-24）-f)-lma-2a-f2 d -2d (受-1)=2，所以g(x=g(x+2)又g1)=0,所 =一2，由导数的定义可知f(x)=-2.故选C. 以g(3)=g(1)=0,故D正确.故选ACD. 3.A【解析】函数f(x)=2x2在区间[0,4幻上的平均 三、填空题 变化率为f④)二f0)=20=8,f(x)=2x2在x 9.x2-3(答案不唯一)【解析】令f(x)=x2一3，则 4一0 4-0 f(x)≥-3，且当x∈[0，十∞)时，f(x)=2x≥0，故 m时的瞬时变化率为f'()=4m,于是得2×4m=8, f(x)=x2-3符合题意. 解得m=1.故选A. 4.B【解析】因为v=1,4t十0.3t,t∈[0,12]，所以 10.30 10 【解析】假设P是曲线y=一e2x一x十2上 v=0.6t+1.4,故当t=10时，v'=6+1.4=7.4,即 的一个动点，当曲线在P处的切线与直线y= t=10s时，该动车组的加速度为7.4m/s2.故选B. 一3x十4平行时，所求的距离最小，设此时 5.D【解析】由f(x)十xf(x)=-e,即x'f(x)+ P(xo,y),由题意得y=-2e2x-1,由-2e2-1 xf(x)=e,得[xf(x)]'=e,所以xf(x)=e+ =一-3，得x%=0,则y=1,所以所求距离的最小值 c,c是常数，当x=1时，f(1)=e十c=0,所以c= -e,所以xf(x)=e-e,当x=-1时，-f(-1)= 为10+1-4=310 /10 10 e1-c,得f(-1)=e-故选D, 四、解答题 6.C【解析】设直线l的方程为y=kx十b,l分别与两 11.解：(1)因为y=x-sin乏cos乏=x-sinx, 1 函数图象相切于(x1y),(x2,y),(x)= 所以y=(x-分simx}=x-(sinx)'=1 k= 1 g'(x)=e,则 ,整理得b= 2cos r. (3分) kx+b=1十lnx x2-x十1= x2十x+1-2x k=e2 (2)因为y= -n友①：由k,十6=c-1:整理得血k+6一 x2十x十1 x2+x十1 2x k-1②，联立①②可得(k-1)nk=k-1,解得k 1 x2+x+1 1或k=e.故选C. 2(x2+x+1)-2x(2x+1) 二、选择题 所以y= (x2+x十1)9 7.BC【解析】对于A,因为y=cos2为常函数，则y 2x2-2 (x2十x+1) (6分) 0故A错灵号知C正确：对于D.因为y一言 (3)y=(3e)′-(2)'+e'=(3)'e2+3*(e)' x十，所以y=一之x子，故D错误故选C (2)'=3"e*.In 3+3"e-2"In 2=(3e)*In (3e)- 2'In 2. (9分) 8.ACD【解析】对于f(x),因为f(号-x)为奇函 (4)y=n)'(2+)-（x+1)'.lnz= (x2十1)9 数，所以（号-x)=-(号+x),即（是-x)十 (x+1)-2xlnr-2121n+ f(号+x)=0,所以f(x)的图象关于点（号，0）对 (x2+1)2 x(x2+1)2 .(13分) 12.解：(1)f(x)=3x2-6x,f(1)=-1,(1)= 称，则f(三）=0，故A正确：对于g(x),因为 一3， 即切点坐标为(1，一1)，切线斜率为-3，(2分) g(1十x)为奇函数，所以-g(1十x)=g(1-x),所 所以f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y十 以g(x)的图象关于点(1,0)对称，即g(1)=0,故B 1=-3(x-1),即3x十y-2=0. (4分) 错误：g(x)=f(x),[f(受-x)] (2)直线l:9x一y-a=0的斜率为9， 令f(x)=3x2-6x=9,解得x=-1或x=3, [-f(号+x)],即-了（号-）=-f(侵+) (6分) 当x=-1时，f(-1)=-3, 即-g(受-x)=-g(号+x)小，所以g(号-x) 将点(-1，-3)代入9x-y-a=0,得a=-6: g(受+x),所以g(x)的图象关于直线x=三对称， (7分) 当x=3时，f(3)=1, 故C正确：由g(x)的图象关于点(1,0)对称，且关于 将点(3,1)代入9x-y-a=0,得a=26.(8分) ·50· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 综上，a的值为-6或26. (9分) 令y=0,得xn= x1十2 (10分) (3)设切点坐标为(x0,x一3x8十1)，切线斜率k 2xm-1 3x-6x0, (3)由(2)知，xn= 片L十2 则切线方程为y-(8-36十1)=(3-6)(x- 2x-1 x6), (10分) 由切线过点(0,2)，得2-(x-3x8十1)= 所以=(++小 (12分) (3x8-6xo)(-x0), (11分) 由几何意义易知√2<xn≤2， 整理得(x。-1)2(2x。十1)=0，解得x。=1或x= (13分) 所以∑x>反n, Γ2 (13分) 当x6=1时，k=一3，此时切线方程为y=一3x十2： 由云>2，得名=(++4)< 当=一合时，k=只，此时切线方程为y=只十2. 15 }(x+号+4)=子(2+6) 综上，切线方程为3.x十y-2=0或15x-4y十8=0. 即<(21+6)， (15分) (15分) 13.解：(1)由题意得f(x)=2x,f(2)=4,f(2)= 所以x-2<}x-2)<<(）'(-2) 4-2=2, (2分) 则4：y-2=4(x-2), 令=0，得西=名 (3分) 所以x,<√2+名<厄+是 (18分) 又f(号)=（受）-2=十f(号)=3 所以-子=3(x-名)， (5分) 1一立 1 2=E+1-< 令y=0,得=品 (6分) √2n+1, (2)由题意得，ln:y-（x-1-2)=2xn-1(x一x-1), 所以2n<】 (8分) <Ea+1a∈N ·51·