(七)利用导数解决实际问题- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (七)利用导数解决实际问题 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.一物体做加速直线运动，假设ts时的速度为v(t)=t十2025(m/s),则t=2时物体 的加速度为 A.1 m/s2 B.2 m/s2 C.3 m/s2 D.4 m/s2 2.在一次降雨过程中，降雨量(mm)与时间t(min)的函数关系可近似表示为f(t)= √/10t(t>0),若在t。时刻的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为 4mm/min,则t,= A.10 min B.20 min C.40 min D.50 min 3.某工厂要围建一个面积为512m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三 边需要砌新的墙壁，若要使新砌的墙壁所用的材料最省，则堆料场的长与宽的差为 A.16m B.20m C.24m D.32m 4.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种 植1千克莲藕，成本增加1元.若种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）为f(x)= 名女+十x,则要使利润最大，每年需种植蓬稍 A.8万千克 B.6万千克 C.5万千克 D.3万千克 5.在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数 W来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为r,则抗弯截面 系数W,=平，；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系 数W:=言m;若梁的截面形状是长方形，且长方形藏面的长为a,宽为6(6<a<2b)。 则抗弯截面系数W,=合6若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则 A.W2<W1<W3 B.W<W:<W C.W:<W><W D.W2<W:<W 数学（人教B版）选择性必修第三册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用 的是十进制，通常我们用函数f()-·n严表示在x进制下表达M(M>1)个 lnM·x 数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是 A.二进制 B.三进制 C.七进制 D.十进制 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组 针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球 形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是0.8π2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半 径.已知每出售1L的饮料，制造商可获利0.2分（在不考虑瓶子的成本的前提下）， 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.下列结论正确的是（注：1mL=1cm3) A.利润随着瓶子半径的增大而增大 B.半径为6cm时，利润最大 C.半径为2cm时，利润最小 D.半径为3cm时，制造商不获利 8.若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一 个无盖的方盒，则下列说法正确的是 A当x=号时，方盒的容积最大 B.方盒的容积没有最小值 C方盒容积的最大值为赞 D,方盒容积的最大值为，2 27 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.某产品的销售收入y(万元)与产量x(千台)的函数关系为y=17x2(x>0),生产成 本y2(万元)与产量x(千台)的函数关系为y2=2x3-x2(x>0),则利润的最大值 为 万元. 10.某校高二年级学生到工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型.某学生准备做一个 体积为54π的圆柱形模型，当该模型的表面积最小时，其底面半径为 高二同步周测卷七 数学（人教B版）选择性必修第三册第2页（共4页）】 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品 的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品需投入固定成本10万元，每年需 投入的流动成本c(x)(万元)与ln。成正比(x(台)表示年产量)，当生产20台该农 机产品时，需投入流动成本12万元，每台农机产品的售价(x)(万元)与年产量x (台)的两数关系为px)=一赢0+9+品（≥10.假设生产的农机产品当年能全 部售完，记年利润为f(x)万元. (1)求f(x)的解析式； (2)当年产量x为何值时，该工厂的年利润f(x)最大？最大年利润是多少？(5≈ 1.6,结果精确到0.1) 12.(本小题满分15分) 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度），该容器的中间为圆柱形，左、右两端均为 半球形，按照设计要求容器的容积为9立方米，且≥2.假设该容器的建造费用仅 与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3千元，半球形部分每平 方米的建造费用为4千元.设该容器的建造费用为y千元 (1)写出y关于r的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当r为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小值. 数学（人教B版）选择性必修第三册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，四边形ABCD是一块边长为4k的正方形地域，地域内有一条河流MD,其 经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽 略不计).以点M为坐标原点，建立直角坐标系. (1)求抛物线的方程； (2)某公司准备投资建设一个大型矩形游乐园PQCN.设点P的坐标为(t,t),记游 乐园PQCN的面积为S. (ⅰ)写出S关于t的函数表达式； (ⅱ)求游乐园面积的最大值. A 70 高二同步周测卷七 数学（人教B版）选择性必修第三册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 导数的实际意义 0.80 加速度 多 2 导数的实际意义 选择题 5 多 0.78 降雨强度 利用导数研究材料最 3 选择题 5 省问题 易 0.72 利用导数求利润最大 4 选择题 5 分 0.60 时自变量的取值 选择题 利用导数比较实际问 5 0.55 题中的大小问题 6 选择题 5 与导数有关的情境题 中 0.45 利用导数研究利润的 选择题 6 中 0.65 最值问题 利用导数研究几何体 8 选择题 6 / 0.45 容积的最值 公 填空题 5 利用导数求利润的最值 女 0.68 利用导数研究圆柱表 10 填空题 中 0.45 面积的最值问题 利用导数研究利润的 11 解答题 13 / 中 0.65 最值问题 利用导数研究费用的 12 解答题 15 / / 0.50 最值问题 的 抛物线方程，利用导数 解答题 20 分 0.40 研究面积的最值问题 ·83· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】由题得(t)=2t,所以t=2时物体的加 g)n=ge)=。又在a)中，xeN,所以比较 速度为4m/s2.故选D. 和号的大小即可，2-2-山2.23- 2 3 6 2.C【解析】由题得f)= ,所以f(to)= 血8。n<0,所以2<3所以3)最大，即三 6 正-子，解得。=40min.故选C 进制效率最高.故选B. 2√6 二、选择题 3.A【解析】要使材料最省，则新砌的墙壁的总长最 7.BCD【解析】由题意得每瓶饮料的利润为f(r)= 短，设堆料场的宽为xm,则长为2m,因此新砌的 0.2×5-0.8x=5(号-r）r∈(0,6]，则 墙壁的总长L=2a+2r>0,则上=2-52 x x2 f()=誓(-2)=誓r(-2),所以当r 2x512,令L=0,得x=16或x=-16(舍去)，所 (0,2)时，f'(r)<0,f(r)单调递减，故A错误；当 2 r∈(2,6]时，f(r)>0,f(r)单调递增，又f(0)= 以当0<x<16时，L<0,L单调递减：当x>16时， 0,所以当r=6时，f(r)取得最大值，故B正确；当 L'>0,L单调递增，所以当x=16时，L取得最小值， r=2时，f(r)取得最小值，故C正确；又f(3)= 此时堆料场的长为32m,故长与宽的差为32一16= 16m.故选A. 智×（号×3-3）=0，放D正确，故选CD, 4.C【解析】由题可知种植x万千克莲藕的销售额为 8.ABD【解析】由题意知方盒的底面是边长为4-2x )=-合r+号2十，成本为2十，则利润 的正方形，高为x,且0x一2，则方盒的容积为 V(x)=x(4-2x)2(0x2),.V(x)= 6x3+5 g(x)=f(x)-x-2=- (4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6x-4) 4 x2-2,x∈ 010]所以g()=-之父十号x=-号x(x 1 4(x-2)(3x-2),则当xe(0,号)时，V(x)>0: 5),当x∈(0,5)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈ 当x(号，2)时，V(x)<0,V(x)在(0，号)上 (5,10]时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以当x=5 时，g(x)取得最大值，所以要使利润最大，每年需种 单调递增，在（号，2）上单调递减，∴V(x) 植莲藕5万千克.故选C V(号)-织，无最小值，放ABD正确，C错误故 5,D【解析】记这三种截面的周长均为C,则C=2πr= 4细=2(a十b).所以W=子=云W,=日m 选ABD, 三、填空题 W,=古a6=日(-a+Sc）由b<a<2b,得 C 9.216【解析】设利润为f(x),则f(x)=y一y 17x2-2x3+x2=-2x3+18x2,x>0,所以f(x)= <a<号令fx)=-+,号<<号，则 6x2+36x=-6x(x-6),当0<x<6时，f(x)> 0,f(x)单调递增：当x>6时，f(x)<0,f(x)单调 f(x)=-3x2+Cx=-x(3x-C)>0,所以 递减，所以f(x)mx=∫(6)=216，即利润的最大值 fx)在（号·写）上单调递增，又f()-品 为216万元. 10.3【解析】设该圆柱形模型的底面半径为r f(号)-景所以g<w<因为2x<324 (>0),高为h(h>0),则该模型的体积V=πr2h 所以W2<W<W故选D. -54,则M-兰，所以该模型的表面积5=-2十 M 6.B【解析】因为M>1,所以nM>0,令g(x)= 2π2=2πr· 4+2mr=108+2a.令f() n2,x>0,则g(x)=n二，当0<x<e时， x2 108x+2产，r>0,则f()=4xr-108m= g(x)>0,g(x)在(0，e)上单调递增：当x>e时， g'(x)<0,g(x)在(e,十o∞)上单调递减，所以 4r-27),当r∈(0,3)时，f()<0,f()单调 12 ·84· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 递减；当r∈(3，十∞)时，f(r)>0,f(r)单调递 (2)由(1)可得y=-160x+16元r=16160x 增，所以f()在，=3处取得极小值，也是最小值，即 r 当该模型的底面半径为3时，该模型的表面积最小. 0, 四、解答题 所以y=160r+8mr在（0,2]上单调递减，(12分) 11.解：(1)设c(x)=ln, 故当r=2时，该容器的建造费用y最小，ymi=112元 将x=20代入，得ln2=ln2,则k=1, 千元. (15分) 所以c()=n贡， 13.解：(1)由题知D(4,2), (3分) 设抛物线的方程为y2=2px(p>0), 51 所以f(x)=xp(x)-c(x)-10=-100x+0x 点D在抛物线上， 1 “22=8p,解得p=交， -ln(x≥10，xeN). (5分) ∴.抛物线的方程为y=x(0≤x≤4,0≤y≤2). (2)因为f(x)=- r+品-hx≥10，x (5分) (2)(1)P(t,t)(0≤≤2)， N), ∴.|PQ=2+t,|PN|=4-t, 1 所以∫(x)=一 .矩形游乐园的面积S=PQ|·|PV|= x =-(x-1)(x-50) (2+t)(4-t)=-t-2t+4t十8,0t2. 50x (8分) (11分) 当x∈[10,50)时，f(x)>0,f(x)单调递增： (i)由(1)可得S=-3-4t+4 当x∈(50，十∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减， =-(3t-2)(t十2)，0≤t≤2， (11分) 当[0，号)时，S>0s单调递增： 所以当x=50时，该工厂的年利润最大， 最大为f(50)=-250+头×50-1n 50 当1（号2]时，S<0,S单调递减， 100 50 10 =26 1n5≈24.4万元. (13分) ∴当=号时，S取得最大值， (16分) 12,解：(1)由题意可得π1+红，=80r 3 31 此时1PQ1=2+1=2+号=号km,PN=4-t 则1-架一专r (3分) =4-(号)=号km, 由≥2r,得0<r2. 所以该容器的建造费用y=2πrlX3十4πr2×4= “游乐园面积的最大值为号×号-km。 6(器-亭r+16a=160x+8m,0<≤2. (20分) r (7分) ·85·