(六)利用导数研究函数的性质(二)- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (六)利用导数研究函数的性质（二）】 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) l.设x∈R,则“x-sinx<0”是“x<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数f(x)=(x十1)e+1在区间[-3,4]上的最大值为 A.2e2 B.5e5 C.4e5 D.-e1 品函数f)-的大致图象为 A B D 4.若函数了x)一了十2在区间a一1，a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围为 A.[-5,1) B.(-5,1) C.[-2,1) D.(-2,1) 5.若e+1+x+2>y+1+lny,则 A.x+1>In y B.x+1<In y C.<y D.2>y 6.若曲线f(x)=(k<0)与g(x)=e恰有2条公切线，则k= B.1 e e2 D.-1 数学（人教B版）选择性必修第三册第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知函数f(x)=2x3+2x一1，则 A.f(x)存在极值点 B.f(x)有一个零点 C.点(0，-1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为2x一y一1=0 8.已知可导函数f(x)(x≠0)的导函数为f(x)=x(1nx十x2一1)，则 A.f(x)有2个极值点x=士1 B.f'(x)有3个零点 C.f(x)只可能在x=1或x=一1处取得最小值 D.对Vx∈(-1,0)U(1,十∞)，f(x)>0恒成立 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若函数f(x)=3x2+(2a十8)x一4lnx在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范 围为 10.已知函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,若对Vx1∈「-1,1]，3x2∈ [一1,1]，使f(x)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2x3-6x2-18x十3. (1)求f(x)的极值； (2)若3x∈[一2,4]，使得f(x)<a一1，求实数a的取值范围. 高二同步周测卷六 数学（人教B版）选择性必修第三册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e2x十(2-2a)ex-2ax-a. (1)判断f(x)的单调性； (2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围. 数学（人教B版）选择性必修第三册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 若函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),使得f'(x1)=f(x2)= fb)-fa),则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，其中x,为f(x)在[a,b上 b-a 的中值点 (1)判断函数f(x)=x3一3x2十1是否是[一1,3]上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数f()=2x2-nx-a,存在m>n>0,使得f(m）=fn）,且f(x) 是[n,m]上的“双中值函数”，x1,x2是f(x)在[n,m]上的中值点. (ⅰ)求实数a的取值范围； (ⅱ)证明：x1十x2>2. 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷六 数学（人教B版）选择性必修第三册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 利用导数研究函数的 选择题 6 单调性与充要性的 易 0.80 综合 选择题 求函数的最值 √ 易 0.72 3 选择题 函数图象的识别 √ L 中 0.65 4 选择题 由函数存在最值求参 中 0.55 5 选择题 构造函数比较大小 中 0.45 6 选择题 5 由曲线的公切线求参 / 难 0.28 利用导数研究三次 选择题 6 / 0.65 函数 8 选择题 6 利用导数研究绝对值 难 0.28 函数 L 填空题 由函数存在最值求参 / 中 0.68 利用导数研究双变量 10 填空题 0.35 问题 函数的极值，不等式有 11 解答题 13 0.60 解问题 中 判断含参函数的单调 12 解答题 15 中 0.50 性，研究函数的零点 与导数有关的新定 13 解答题 20 换 0.28 义题 ·79· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 依题意知直线y=一4k与函数h(m)=(1一m)2e"的 1.C【解析】令f(x)=x-sinx,则f(x)=1-cosx 图象有两个不同的交点.由h(m)=(1一m)2e,得 ≥0，故f(x)在R上单调递增，又f(0)=0,所以当 h'(n)=-2(1-m)em十(1一m)2em=em(m-1)(m十 f(x)=x一sinx<0时，x<0,所以“x一sinx<0”是 1),令h'(m)>0,得m<-1或m>1;令h'(m)<0, “x<0”的充要条件.故选C. 得-1m1,所以h(n)在（一o∞，一1），(1，十∞)上 2.B【解析】因为f(x)=(x+1)e+1,x∈[-3,4]， 单调递增，在(-1,1)上单调递减，则h(m)极小值= 所以f(x)=e+1+(x+1)e+1=(x十2)e+1,则当 一3≤x<一2时，∫(x)<0,f(x)单调递减；当一2<x 1)=0,A(m)=h(-1)=冬，且A(m)≥0恒 ≤4时，f(x)>0,f(x)单调递增，又f(一3)= 成立，又当m→-∞时，h(m)→0：当m→十c∞时， -2e2,f(4)=5e,所以f(-3)<f(4),所以f(x)在 h(m)→十o,所以要使直线y=-4k与h(m)= 区间[一3,4]上的最大值为5e.故选B. 3.D【解析】：f()=(21D,定义域为{xx≠1， (1-m)。”的图象有两个不同的交点，则一4k=4, e x-1 1 f(x)=[e(2x-1)+2e](x-)-e(2x-1D 解得=一 .故选B. (x-1)2 二、选择题 g232,令了(x)>0,得<0或>名：令 7.BCD【解析】由题得f(x)=6x2十2>0，所以f(x) (x-1)9 在R上单调递增，故f(x)不存在极值点，故A错误； f(x)<0,得0<x<1或1<x<号，所以f()在 f(-1)=-5<0,f(1)=3>0,又f(x)在R上单调 递增，所以f(x)有一个零点，故B正确；因为f(一x) (-∞，0)，（号，十∞）上单调递增，在(0,1）， 十f(x)=一2，f(0)=-1,所以点(0，一1)是曲线 y=f(x)的对称中心，故C正确；因为∫(x)=6x2+ (1,号)上单调递减，故排除A,C:当x<0时，2x-1 2,所以(0)=2，又f(0)=一1，所以曲线y=f(x) <0,x-1<0,e>0,所以f(x)>0,故排除B.故 在点(0，f(0))处的切线方程为y+1=2x,即2x-y 选D. 一1=0，故D正确.故选BCD. 4.C【解析】由题得f(x)=x2十2.x,令∫(x)>0,得 8.ACD【解析】易知f(x)=x(lnx|+x2-1)为 x<-2或x>0:令f(x)<0,得-2<x<0,所以 奇函数，令h(.x)=lnx+x2-1,x≠0，当x>0时， f(x)在（一c∞，一2）上单调递增，在（一2,0）上单调递 h(x)=1nx十x2-1,则/(x)=1+2r>0,故 减，在(0，十∞)上单调递增，所以f(x)在x=0处取 得极小值0)=0，令f(x)=号2+x2=0,得x=0 h(x)在(0，+o∞)上单调递增，又h(1)=0,所以 h(x)在(0，十∞)上存在唯一零点，则f(x)在 或x=-3,若f(x)在区间(a-1,a十5)上存在最小 (0,十∞)上存在唯一零点x=1,所以当x∈ 值，则-3≤a-1<0<a十5，解得-2≤a<1.故选C. (0,1)时，f(x)<0:当x∈(1，+∞)时，f(x)> 5.A【解析】构造函数f(x)=lnx十x十1，x>0,则 0,故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 f(.x)=+1>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递 递增，同理可得f(x)在（一o,一1）上单调递减，在 (一1,0)上单调递增，易知f(x)的定义域为 增，又e+1+x+2>y+1+lny,即f(e+1)>f(y), (-∞，0)U(0,十∞)，所以f(x)存在2个极值点 所以e+1>y,则x十1>lny.故选A. 一1,1，故AC正确：因为f(x)为奇函数，所以 6.B【解析】设曲线g(x)=e上的切点为(m,e),由 f(x)有2个零点一1,1，且当x∈（一1,0）时， g'(x)=e,得g'(m)=e,则切线方程为y一em= 子(x)>0,故B错误，D正确.故选ACD. e"(.x-m),即y=e"x+(1一m)e",设切线y=ex十 三、填空题 (1-m)e与曲线f(x)=冬(<0)切于点(，合）小 9.(-9,-5)【解析】由题得f(x)=6.x+2a+8 0≠0，由了（)=-名，得了()=- 因为函数y=6x十2a十8y=-兰在区间 x (1,2)上均单调递增，所以f(x)在区间(1,2)上单 n 调递增，若f(x)在区间(1,2)上存在最值，则 ,消去n得-4k=(1-m)2em, f(x)在(1,2)上有变号零点，即f(1)·f(2)<0, =em+(1-m)e 即(a十5)(a+9)<0,解得-9<a<-5,所以实数a ·80· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 的取值范围为（一9，一5）. 时，f(x)趋向+∞， 10.[13,+∞)【解析】若对x1∈[-1,1]，3x2∈ 若f(x)有两个零点， [-1,1],使f()≤g(x2)成立，则当x∈ f (x)min=f(In a)=a2+(2-2a)a-2aln a-a [-1,1]时，f(.x)mx≤g(x)m·因为f(x) 0, 8x2+16x-k=8(x十1)-8-k,其图象开口向上， 即1一a一2lna<0. (12分) 对称轴为直线x=一1，所以f(x)在[-1,1]上单 令g(a)=1-a-2lna,a>0, 调递增，则f(x)x=f(1)=24一k.由题得 g(x)=6.x2+10x+4=2(3.x+2)(x+1),则当 则g(a=-1-名<0 a -1≤x<- 号时，g(x)<0:当- 则g(a)在(0，十∞)上单调递减，且g(1)=1-1 3 <x≤1时， -21n1=0, g(x)>0,所以g(x)在[-1，-号)上单调递减， 则当0<a<1时，g(a)>0; 当a>1时，g(a)<0, 在(-号1]上单调递增，又8(-1)=-1 所以实数a的取值范围为(1，十∞). (15分) 13.解：(1)由题得f(x)=3.x2一6.x,f(3)=1, g(1)=11,所以g(x)mx=g(1)=11,则24-k≤ f(-1)=-3, 11,解得k≥13，所以实数k的取值范围 为[13，十∞). 所以f3)f1D=1, (2分) 3-(-1) 四、解答题 11.解：(1)由题得(x)=6x2-12x-18 令f（)）=8r-6x=1,得石=1-2,6 6(x+1)(x-3), 则当x∈(-o∞，一1)时，f(x)>0,f(x)单调 1+23 3 递增； 当x∈(-1,3)时，(x)<0,f(x)单调递减； 显然-1<=1-2<=1+2<8，符合“双 3 当x∈(3，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 中值函数”的定义， (4分) 所以f(x)=x3-3.x2+1是[-1,3]上的“双中值函 所以f(x)的极大值为f(-1)=一2-6+18+3 数 (5分) =13,极小值为f(3)=54-54一54+3=一51. (6分) (2)(1)因为fm)=f),所以m)-fm=0, m-n (2)若3x∈[-2,4]，使得f(x)<a-1, 因为f(x)是[，m]上的“双中值函数”， 则f(.x)min<a-1. (8分) 所以(x1)=f(x2)=0. (7分) 由(1)可知f(x)在[一2，-1]上单调递增，在 由题得(x)=x一lnx-a-1, (-1,3)上单调递减，在[3,4]上单调递增， 令g(x)=x-lnx-a-1, 又f(-2)=-16-24+36+3=-1,f(3)= -51,所以f(x)mm=一51. 则)=1士， 所以a-1>-51,解得a>-50, 当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)即f'(x)单调 所以实数a的取值范围为（一50，+∞）.(13分) 递减； 12.解：(1)由题得f(.x)=2e2r+(2-2a)e-2a= 当x∈(1，+o∞)时，g'(x)>0,g(x)即f'(x)单 (2er+2)(er-a), (2分) 调递增， 若a≤0，则f(.x)>0,f(x)单调递增； (3分) 所以f(x)mim=f(1)=-a. (10分) 若a>0,则当x∈(na,+oo)时，f(x)>0,f(.x)单 因为f(x1)=f(x2)=0,且x趋向0时， 调递增； (x)趋向十∞，x趋向十∞时，f(x)趋向十∞， 当x∈(-o∞，lna)时，f(x)<0,f(x)单调递减. 所以-a<0,则a>0, (5分) 所以实数a的取值范围为(0，十∞)， (12分) 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增： (i)结合(i)不妨设0<x<1<x2, 当a>0时，f(x)在(-o∞，na)上单调递减，在 因为f(x)=x-lnx-a-1, (lna,十o∞)上单调递增. (6分) 所以f(01)=x-ln-a-1=0,f(x2)=x2- (2)由(1)可知当a0时，f(x)在R上单调递增， lnx2-a-1=0, 则f(x)至多有一个零点，不符合题意， x-In zi=a+1,2-In xa=a+1. (13分) 所以a>0, (8分) 要证1+x2>2,可证1+x2>a十2， 由(1)可知当a>0时，f(x)在（一∞，lna)上单调 即证x2>a十2-x1=1-nx1. (14分) 递减，在(lna,十o∞)上单调递增， h(z)=f(z)-f(1-In z)=x-1+In(1- 又当x趋向十o∞时，f(x)趋向十co;当x趋向一∞ In x),0<<1, ·81· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 1 则W'(x)=1-x(1-1nx)' 所以(x)>f(1-lnx). (17分) 因为0<x<1,所以f(x)>f(1-lnx1) 令9(x)=x(1-lnx),0<x<1, 因为f(x)=f(x2)=0, 则9'(x)=-lnx>0, 所以f(x2)>f(1-lnx1), 所以p(x)在(0,1)上单调递增， 因为0<x<1,所以1-lnx>1, 所以0<gp(x)<gp(1)=1, 由(i)可知f(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以h'(x)<0, 所以x2>1-lnx, 则h(x)在(0,1)上单调递减， (16分) 所以x1+x2>2得证. 所以h(x)>h(1)=0, ·82·