(五)利用导数研究函数的性质(一)- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (五)利用导数研究函数的性质（一） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=x3一3x一1的极小值点为 A.(-1,-2) B.(1,2) C.-1 D.1 2.若函数f(x)=一2x3十ax2一3的单调递增区间是(0,2)，则a= A.6 B.12 C.14 D.18 3.已知函数f(x)=lnx-ax在区间[1,3]上不单调，则实数a的取值范围为 A.[1,+∞) B(-,5] c(合 D[3 4.已知函数f(x)=x3十ax2+2x,则“a≤1”是“f(x)在R上单调递增”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)=ae- 号2在区间（合2）内存在两个极值点，则实数a的取值范围 为（参考数据：√e≈1.65，e2≈7.39） A(层 B(,) c() ( 6.定义在(0，)上的函数f(.x)的导函数为f(x),若f(x)<-tanx·f(x)恒成立， 则下列不等式一定成立的是 A.f(6) B.5f)>f() c.f()>3f(3） D.2f()<3fF) 数学（人教B版）选择性必修第三册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.定义在区 [-24上的函数fx)的导网数了'(x)的图象如图所示，下列结论正确 的是 A.f(x)在区间(1,3)上单调递减 B.f(x)在区间（一），0)上单调递减 3 C.f(x)在x=1处取得极大值 D.f(x)在x=0处取得极小值 8.若函数f()在定义域D内的某个区间I上是单调递增函数，且F(x)=C在区间 I上也是单调递增函数，则称f(x)是I上的“一致递增函数”.已知函数f(x)=x x 是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能为 A.(-∞，-2) B.(-o∞，-1) C.(0,+∞) D.(2,十∞) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=x(x一c)2在x=1处取得极大值，则c的值为 10.已知函数f(x)的定义域为R,导函数为f(x),若f(x)一f(x)>3,且f(1)=4,则 不等式f(x)一3>e1的解集为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.（本小题满分13分) 已知函数f(x)=(x一1)e一ax2十b,曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y=(e-2)x+3-e. (1)求实数a,b的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值， 高二同步周测卷五 数学（人教B版）选择性必修第三册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=十1 (1)判断f(x)的单调性，并画出f(x)的大致图象； -54-3:-2-1012345x 3 (2)若方程f(x)=2m2一m有2个解，求实数m的取值范围. 数学（人教B版）选择性必修第三册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=ae2r-2(a十2)e十4.x. (1)当a>0时，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)的极大值点为0，且极小值为4ln2一8，求实数a的值； (3)若f(x)的导函数f'(x)只有一个极值点，求实数a的取值范围. 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷五 数学（人教B版）选择性必修第三册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 函数的极小值点 易 0.80 由函数的单调区间 2 选择题 5 易 0.72 求参 3 选择题 5 由函数不单调求参 中 0.65 函数单调性与充要性 4 选择题 5 的综合 分 0.55 由函数极值点个数 5 选择题 分 0.45 求参 6 选择题 5 利用导数比较大小 中0.35 7 选择题 利用导函数图象研究 6 中 0.65 函数性质 与函数单调性有关的 8 选择题 6 新定义题 农 0.35 9 填空题 由函数的极值求参 易 0.72 利用导数解抽象不 10 填空题 等式 L L 分 0.35 由切线方程求参，利用 11 解答题 13 导数求函数的单调区 分 0.65 间和极值 12 解答题 15 函数的单调性及图象， / 由方程解的个数求参 分 0.45 判断含参函数的单调 13 解答题 20 / 性，由函数极值求参 L 中 0.35 ·75· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 昏考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】由题得f(x)=3(x2-1),则当-1<x< (赁)放选B 1时，f(x)<0:当x<-1或x>1时，f'(x)>0,所 6.C【解析】因为f'(x)<-tanx·f(x),所以f(x) 以f(x)在(-∞，一1)，(1，+∞)上单调递增，在 (一1,1)上单调递减，所以f(x)的极小值点为1.故选 十anx·f)<0构造两数g(x)=x D (0,牙)），则g(z)=osx·(x)+sinx·fx 2.A【解析】由题得(x)=-6x2十2ax=-2x· (3x-a),令∫(x)=0,得x=0或x=号，因为 -()+anx·f<0,所以g(x)在(0，受)上 cos f(x)的单调递增区间是(0,2)，所以号=2，则a= 单调递减，因为0<晋<平<号<受，所以g(告）> 6.故选A 3.C【解析】由f(x)=lnx-a,x>0,得(x)= (停)>s(爱)用(（停） ,所 -a,因为f(x)在区间[1,3]上不单调，所以f(x)= cos开 c0s号 0在区间1,3》上有变号实根，则a=子∈（行，1） 以了（晋）>f(任)>2f(号).对于A, 故选C 4.D【解析】由题意得f(x)=3x2十2ax十2，f(x)在 ()>(于)，但()>（平）不-定成 R上单调递增，∴.f(x)≥0恒成立，∴.△=4a2一24≤ 立，故A错误：对于B,5∫（石）>3f(牙)，但 0,解得-√6≤a≤6，.“a≤1”是“f(x)在R上单调 递增”的既不充分也不必要条件.故选D. f()>f(牙)不一定成立，故B错误：对于C, 5.B【解析】由题得f(x)=ae一x,因为f(x)在区 间（分，2）内存在两个极值点，所以了(x)在区间 f()>f(号)成立，故C正确：对于D, (分，2)内有两个变号零点，令了()=0，得a=兰， √Ef(否)>f(平)，故D错误.故选C. 二、选择题 则直线y=a与g(x)=二的图象在区间（侵，2）内 7.BD【解析】由图可知，当x∈(1,3)时，(x)>0, 则f(x)在区间(1,3)上单调递增，故A错误：当x∈ 有两个交点由g()=名，得g(x)=二，令 er (-,0)时，了(x)<0,则f()在区间 g(x)>0,得2<r<1:令g(x)<0,得1<x<2 (-合，0)上单调速减，故B正确：因为了(1)≠0，所 所以g(x)在（号，1）上单调递增，在(1,2)上单调 以f(x)在x=1处取不到极值，故C错误；由B可知 递减，所以)m=(D=÷,又（宁）=号 f(x)在区间(-方0）上单调递减，又当x∈ (0,4)时，f(x)>0,所以f(x)在区间(0,4)上单 g(2)= ,且e、2 2 调递增，所以f(x)在x=0处取得极小值，故D正 2e1 8(x)= 芒的图象如图所示， 确.故选BD. y=g(x) 2e 8ABD【解析】：fx)=x+号x≠0，F(x) 2 @=1+号r≠0，F()=C2,当xe (-o∞，0)U(2,十∞)时，F(x)>0,.F(x)在 (-0,0).(2,十∞)上单调递增.：f(x)=x+兰 结合图象可得 下a 。,所以实数a的取值范围为 ≠0，f(=1十g(),当x∈(2，十∞)时， ·76· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· f(x)>0,.f(x)在(2，十oo)上单调递增，.区间I 时，f(x)趋向0， 可能为(2，+∞).令g(x)=1+C(x1D,x≠0， 易知f(x)的图象经过点(-1,0)，(0,1)，且x>0 时，f(x)>0. 则g'x)=gd-2+2,e>0,x-2x+2>0 画出f(x)的大致图象如图所示. 3 恒成立，.当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0,g(x)即 广(x)单调递减，又∫(-1D=1-总>0， 3 了-专)=1是<0e(1,-号)，使得 543-2c012345 f(x)=0,则当x∈(-∞，x6)时，f(x)>0,f(x) 单调递增，结合选项可知AB满足.故选ABD, 3 三、填空题 9.3【解析】由题得f'(x)=(x一c)十2x(x-c)= (x-c)(3x-c),:f(x)在x=1处取得极大值， (9分) ∴.f(1)=0,即(1-c)(3-c)=0,解得c=1或3.经 (2)若方程f(x)=2m2-m有2个解， 检验当c=1时，f(x)在x=1处取得极小值，不符合 则f(x)的图象和y=2m2-m的图象有2个交点， 题意，故c=3. 结合(1)中f(x)的图象可得0<2m2-m<1, 10.(-∞，1)【解析】构造函数g(x)=x)-3 e (212-171>0 m<0或m>2 xeR,则g(x)=f)-f)+3<0,故 即 2m2-m<1 ,解得 (12分) 1 e 2≤m<1 g(x)在R上单调递减.由f(x)-3>e-1,得 >÷,因为f4)=4,所以g1)= 所以一 2 <m<0或 <m1, e 0》3=÷,所以g(2)>8(1,解得K1,所 故实数m的取值范围为(-名，0)U(31), e (15分) 以不等式f(x)-3>e1的解集为(-∞，1). 13.解：(1)因为f(x)=ae2x-2(a十2)e+4x 四、解答题 所以f(x)=2ae2x-2(a十2)e+4 11.解：(1)因为f(x)=(x-1)e-ax2+b, =2(e-1)(ae-2), 所以f(x)=e+(x-1)e-2ax=xe-2ax, (2分) 当a>0时，令f(x)=0,得x=0,=1n2 由题意得f(1)=e-2a=e-2,则a=1, (3分) (2分) 所以f(1)=-1+b=e-2+3-e=1, 当0<a<2时，ln2>0, 解得b=2. (5分) (2)由(1)得f(x)=xe-2x=x(e-2), 则当x∈(-o,0)时，f(x)>0,f(x)单调递增： 令f(x)>0,得<0或>h名 当x∈(0，ln2)时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(ln2,十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 令f)K0,得0c<ln兰 所以f(x)的单调递增区间是（一○，0）， 所以f(x)在(0，ln三)上单调递减，在(-©，0)， (ln2,十∞)，单调递减区间是(0，ln2). (10分) (3)由(1)得f(x)=(x-1)e-x2+2, (n2,十∞)上单调递增. (4分) a 则由(2)可得f(x)的极大值为∫(0)=1，极小值为 f(ln2)=ln2(2-ln2). (13分) 当a=2时，n2=0,此时f(x)≥0恒成立， 12,解：1因为/)=ER, 所以f(x)在(-∞，十∞)上单调递增 (5分) 当a>2时，ln2<0, 所以∫(x)=-工 a e 令f(x)>0,得x<0;令f(x)<0,得x>0, 令了(x)>0,得x<1n2或x>0: 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，十∞)上 令f(x)<0,得1n2<x<0, 单调递减， (4分) a 则f(x)的极大值为f(0)=1,无极小值， 且当x趋向一∞时，f(x)趋向一∞；当x趋向十o∞ 所以f(x)在(n名，0）上单调递减，在(-0， ·77· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 n名)，(0，十∞)上单调递增. (7分) 所以2=2，则a=1, (12分) 综上，当0<a<2时，f(x)在(0，ln2)上单调递 当a≤0时，令f(x)>0,得x<0,令f'(x)<0,得 x>0, 孩，在(-6,0).（吕，十∞）上单润递增： 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上 单调递减， 当a=2时，f(x)在（一∞，十o∞）上单调递增， f(x)没有极小值，不符合题意. 当a>2时，f(红)在(h名0)上单调递减，在 综上，a=1. (14分) (3)由(1)可得f(x)=2(e-1)(ae-2), (一，h兰)，(0，十四)止单调递增， (8分) 令h(x)=2(e2-1)(ae-2), 则h'(x)=2er(2ae-a-2), (2)由(1)可知当0<a<2时，f(x)在(0，ln2)上 因为f(x)只有一个极值点， 单调递波，在(-0,0)，(h名，十∞)上单调違增， 所以关于x的方程2ae一a-2=0只有一个异号 根. (17分) 此时f(x)的极大值点为0，极小值为了（血名）- 显然当a=0时，方程2ae-a-2=0无解， 所以e=a十2 -4合+h 2 (10分) 令4=名>1g)=-2-4, 则曲线)〔与直线)一实若兰只有一个交点， 则g)=4-2-22D 所以岩>0，解得a<-2或。>0， t 所以实数a的取值范围为（一∞，一2）U(0,十∞). 当1<t2时，g(t)>0,g(t)单调递增； (20分) 当t>2时，g'(t)<0,g(t)单调递减， 又g(2)=4ln2-8, ·78·