(三)数列求和、数列的应用、数学归纳法- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (三)数列求和、数列的应用、数学归纳法 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.用数学归纳法证明：1十2+·十(2n十3)=(n十2)(2n十3)，在验证n=1成立时，左边 所得的代数式是 A.1 B.1+3+5 C.1+2+3+4 D.1+2+3+4+5 2.已知等差数列{an}的公差为3，若a1,a2,a4成等比数列，则a1十a2= A.-10 B.6 C.9 D.12 3.已知数列(a}满足a,=2sim2+）,其前n项和为S.,则Ss A.√3-1 B.-1 C.√3 D.2 4.19×号+17×交+15×2+…+1×六= A18+品 B.17+3 C18+是 D17+2是 5.已知函数f(x)满足f(x十1)一f(x)=2x一1，且f(0)=1,设数列{am}满足am f(n),则数列{an}的前n项和的表达式为 A.n2-2n+2 B.n2-n+1 C.n(n-1)(2n-1) 6 D.a(n+1)n+1 2 6.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡于2025年5月1日向银行贷款α元 用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息（复利即利生利）.若每月 月底还银行相同金额的贷款，到2026年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则 小胡每个月月底需要还款 A.a(1+t)12元 B.a(1+t)2 12 元 C元 at(1+t)12 D.12a+)-1万元 数学（人教B版）选择性必修第三册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7用数学归纳法证明不等式，十+十…叶。>的过程中，下列说达正 确的是 A.使不等式成立的第一个自然数o=1 B.使不等式成立的第一个自然数=2 C.n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是(2十1)(2k+2) D.m=k推导n=k十1时，不等式的左边增加的式子是(2十2)(2k+3) 1 8.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大的数学家，用他名字定义的函数f(x) [x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列{an}的前n项和为 S,且S一a,十2)令6，一s,十则下列结论正确的有 A.an=n(n∈N*) B.Sn=√n(n∈N*) C.[b1+b2+…+b3]=6 1>18 S10 班级 姓名 分数 题号 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知数列{am}的前n项和为Sn,且am=(一1)"n,则S1= 10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动 的民间艺术.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为⊙O, 在⊙O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为⊙O,并裁去该正方形与 内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作 次，最终得到该剪纸，则第9次操作后，所有被裁部分的面积之和为 高二同步周测卷三 数学（人教B版）选择性必修第三册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(本小题满分20分) 11.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且a1=2,2Sn=(n十1)an,n∈N. 设数列{an}满足a1=3,且am+1=a元-(n十1)am十1(n∈N*). (1)求数列{am}的通项公式； (1)求a2,a3,a4,并由此猜想出(an}的一个通项公式； 令b=,2一，数列b,的前n项和为M,是否存在正整数m,n(2<m<n),使 (2)用数学归纳法证明你的猜想成立. 得M2,Mm,Mn成等差数列？若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由； ③》记6=(2-1证明：公若<3a∈N) 12.(本小题满分15分) 已知数列a的首项a=号，且清足a,2a行 3a (1)求证：数列上-1为等比数列： an (②)记数列日的前a项和为5 (i)求Sn; (iⅱ)求满足条件Sm>2026的最小整数n. 数学（人教B版）选择性必修第三册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷三 数学（人教B版）选择性必修第三册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第三册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 工.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力 Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ⅢW ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 数学归纳法，验证初值 易 0.80 2 选择题 等差数列与等比数列 的综合 易 0.72 3 选择题 5 周期数列与三角函数 的综合 中 0.65 4 选择题 5 错位相减法求和 / / 中0.60 5 选择题 5 累加法求数列的通项 L 中 0.55 6 选择题 5 分期还款 难 0.28 数学归纳法，确定n= 选择题 6 至n=k十1时增加 / 邻 0.75 的项 8 选择题 6 与数列有关的数学文 难 0.28 化题 9 填空题 并项求和法求数列前n 项和 务 0.55 10 填空题 等比数列的实际应用 中 0.35 11 解答题 利用数学归纳法证明 13 L L L L 中 0.65 命题 12 解答题 15 等比数列与不等式的 综合 中 0.60 13 解答题 20 裂项相消法求和 难 0.25 香考答案及解析 一、选择题 边为1十2+3+4十5.故选D. 1.D【解析】当n=1时，2n十3=2×1十3=5，所以左2.C【解析】·数列{am}是公差为3的等差数列，a= ·67· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 a2一3，a=ag十6，a1,a2,a4成等比数列，a号= Sn=√n,am=√n-√n-1,故A错，B对；对于C, a1a4,即ai=(a2-3)(a2十6)，解得a2=6,故a1十 a2=a2-3十a,=9.故选C. 6.-s+8后+Vnz(v干2-)， 3.A【解析】因为{an}是周期为4的周期数列，且 a1=3,a2=-1,a=-√3，a4=1,所以S=0,则 +b:+…+=号(6丽+6-2-1)- S202s=S×06+2=a1十a2=√3-1.故选A. (V俪+7-2∈(6,1)[a+6+…+b6a]= 4.D【解析】令S=19X号+17X+15×分十十 1X六，则号s=19×安+17×分+15×士+…+1 6放C对：对于D:支- > √n+I+√m ×六，两式相减得5=19×-2（十十…十 2-m.g++…+>[- +(√3-√2)+…+（√101-√/100）]=2（√/10I 六)-1X品-号+品，所以S=17+品故选D 1)>18,故D对.故选BCD. 三、填空题 5.C【解析】由题意可知am+1一an=2n一1，则an 9.一11【解析】根据题意得S1=a1十a2十…十a21 a-1=2n-3,…,a2一a1=1,累加可得an-a1=2n -1十(2-3)+(4-5)十(6-7)+…+ 3+…+1=(2m-3+1)X(n-1D=(m-1),且 (20-21)=-11. f(1)-f(0)=-1=a1一1，即a1=0,满足上式，所 10.2044511r【解析】设⊙0，的半径为R,易知 512 以am=(n一1)2，所以{an}的前n项和的表达式为 公。，--n-山.枚选C R-号，001的半径为号R即R1-号R,所 6 6.C【解析】设小胡每月月底还款x元，根据等额本息 以(R}是以R-为育项，号为公比的等比数 还款法可得：第1次还款后欠银行贷款为A= a(1十t)一x,第2次还款后欠银行贷款为A2 列，故=R(停)=()广=(2)，得到 a(1十t)2-x(1十t)-x,…,第12次还款后欠银行 贷款为A2=a(1十t)12-x(1十t)1-x(1十t)0 ⊙0.的面积为S.=元R=x(分)”=是，又第n次 …-x(1+t)-x=a(1+t)2-x[(1+t)1十 (1十t)+…十(1+t)+1]=a(1十t)2 裁剪操作的正方形边长为2R。=(兮)广，故第” [q+2]-41+)+1=+) 次裁剪操作裁掉的面积为(2R)2 -S= 1-(1十t) t 因为贷款12个月还清，所以A12=0,即a(1十t)12十 3))=一所以第 2 1-（1+)]=0,所以x=at1t) t (1十t)2故选C. 次裁驹操作后，裁掉的面积之和为(4一x)(分+ 二、选择题 7.风【解标】当n=1时，可得号<是：当=2时，可 -()] …十 2m/ E(4-π) 得写十子=品>品即使不等式成立的第一个自然 数=2，故A错误，B正确；当n=k时，可得左边= (4一)(1一是)，所以第9次操作后，所有被裁部 十+中十十中当=+1时，可得 1 1 分的面积之和为(4-)(1-)】 2044-511π 512 1 1 1 1 左边=干2十干3十…十干及十2k十市十2十2，两 四、解答题 11.解：(1)由a1=3,得a2=a-2a1十1=4， (1分) 1 1 式相减得2欢十十2k十2一十1-(2k+1)(2k十2)， 由a2=4,得a3=a-3a2+1=5, (2分) 所以n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加的式 由a=5,得a4=a3-4a+1=6, (3分) 由此猜想{an}的一个通项公式：an=n十2. (6分) 子是(2+)(2h+2),故C正确，D错误.故选BC, (2)用数学归纳法证明： 8.BCD【解析】对于AB,:S,=(a,十士)，当 ①当n=1时，a1=3满足a,=n十2，命题成立； (8分) n≥2时，25=5.-81十588=1 ②假设当n=k(k≥1)时命题成立，即a4=k十2， (9分) 又S=号(a十d）=aa>0,则a=1,数列 则当n=k+1时，ak+1=a2一(k十1)as十1= (k+2)2-(k十1)(k+2)+1=k+3=(k+1)+2, S是首项为1，公差为1的等差数列，.S号=→ 命题仍然成立， (12分) ·68· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 由①和②可知an=n十2对Hn∈N“都成立.(13分) (2)因为b.= 2 ，所以b= 2 12解：1由题意，数列a,满足a= 2nX2(n+1) 1 可得1=20，+1=1.1+2 所以M=号[(1-合)+（侵-含）+…十 a4+1 又a音所以-1号， 日+)]=(1) (7分) 假设存在正整数，n(2<m<n),使得M2,Mm,Mn 1一1 成等差数列，则M2十Mn=2Mn, 所听以a上二=支， 1一1 十即m=5- 即2 n+4: (9分) 显然n十4是18的正约数， 所以数列日一1是首项为号，公比为宁的等比数 又因为n>m>2, 列。 (7分) 所以n十4>6， 21)由4)可得是-1=号×（兮）广=2· 所以n十4=9或18， 当n十4=9，即n=5时，m=3; (兮)广，所以士-2（号）+1. 当n十4=18，即n=14时，m=4. 所以存在正整数m,n(2<m<n),使得M2,Mn,Mn 则s=++上+…+1 成等差数列， al a2 a3 此时=3，n=5或m=4,n=14. (12分) =2(+++…+)+n (3)由题意知，cm=2”-1, (13分) -(哈门a+1 当=1时，号=2<3，不等式成立。 (14分) =2X P. 1日 (11分) 当2引，图为后-”<2可 2-1 (i)若S>2026,即n十1- >2026 22-D2十与16分) 因为函数y=x十1一号为单调递增函数， 以空导<+（六+ 所以满足Sm>2026的最小整数n的值为2026. (15分) t叶与)-2+(1) 13.解：(1)因为2S=(n十1)am,n∈N*, =3- 1 所以当n≥2时，2Sa-1=naw-1, 2m-1 (18分) 两式相减得2a.=(n十1)a.一a1,即a=” an-1 n-1. 因为2-1>0，所以2与>03-2<3， 果乘得a-二×8X…×鲁Xa=× a 所以0≥2时空兰<8 g×…x异×2=2n 惊上空等<e (20分) 经检验a1=2也符合上式，所以an=2n.(4分) ·69·