(六)利用导数研究函数的性质(二)-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考北师大版）

网，解答题（木题共3小题，共8分。解容风写出必要的文字说明，正明过程或消算步露） 13,木小题满分20.分) 11.(本小题离分13分) 已细两数)-血r兰 已知南数-r-号+6r十a (1)当“=一1时，求f》的极值： (1)求fz)在[一2,3]上的最大值： (2)若八x)≥0相城立，求实数：的取值范用： 〔2)若两数f()恰有三个零点，求实数4的取值范周。 《a)证明1e十中>(m+1)(知EN). 12.(本小圈满分15分) 己知雨数/(x)=lnx一z一2（其巾e为自然对数的底数：∈R), (1)讨论f(x)的单翼性： (2)当a>0时，若存在>0：使得(x)>0成立求4的取值范用. 萱学（北防大版引漫择性必修第二册第多更{共4页引 衡水会幕·究草最·喜二同步丽测卷大 数学（北师大震}法择性业修篱二册第4页「共4页）高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（六） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) ②③ ④ 档次系数 1 选择题 5 单调性与充要性的 综合 易 0.80 2 选择题 5 求函数的最值 易 0.72 3 选择题 函数图象的识别 易 0.70 4 选择题 5 由函数存在最值求参 的 0.55 5 选择题 利用导数研究函数图 0.45 象的对称性 分 6 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.30 选择题 借助函数图象判断不 6 等关系 多 0.75 利用导数研究函数的 8 选择题 6 班 0.28 性质 9 填空题 由函数的极值求参 易 0.72 10 填空题 利用导数研究双变量 / 问题 农 0.45 11 解答题 利用导数求最值，由函 13 数零点求参 第 0.60 12 解答题 讨论含参函数的单调 15 性，由不等式有解求参 中 0.35 利用导数求函数的极 13 解答题 20 值，由不等式恒成立求 难 0.28 参，证明数列型不等式 ·87 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1.A【解析】由题意知(x)=3x2十a,若f(x)在R (e,十o)内单调递增，又因为a=π 上单调递增，则f(x)≥0，即a≥一3x恒成立，故 2 4 a≥0，所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分 n2=n4所以f（4)>f(r)>f(e)=e,即c>a> 不必要条件，故选A. e构建函数g(x)=x-sinx,x>0,则g'(x)=1 2.B【解析】因为f(x)=ax十bx十2，a,b为正实数， cosx≥0在(0，十∞)内恒成立，所以g(x)在 所以了(x)=3ax十b>0恒成立，所以∫(x)在R (0,十∞)内单调递增，则g(x)>g(0)=0,即x> 上单调递增，所以f(x)在[0,1]上的最大值为 f(1)=a+b十2=4，即a十b=2,所以∫(x)在 im,r>0,所以>如是，且e>0,所以c [-1,0]上的最小值为f(-1)=-(a十b)十2=0. 故选B. csin上，即e>h,综上所述，c>a>h.故选B. 3.D【解析】易知fx)=的定义城为xx≠ 二、选择题 x 7.BC【解析】由函数∫(x)的图象可知，f(x)的单调 o1,因为f(-x)=二=f(x),所以 一x 递增区间为(-©，一1).（受，十∞），单调递减区间 f(x)为偶函数，故B错误：又当x>0时，f(x) 为(-1，号)，所以当K-1或x>2时，x)>0: x血，则f(x)=lnx十1，令f(x)>0,得x>⊥ 了()<0，得0<x<马，故f(x)=nx在 当-1<x<号时了(x)<0,所以了（号）<0， 了(-1)=0，/(-2)>0，（三）=0.故选BC (0,二)上单调递减，在（日十）上单调递增，结合 8.ABD【解析】对于A,因为y=sinx的周期T=2π， 选项A,C,D中的图象可知只有D中的图象符合题 意.故选D. 所以顿率为云，所以y=子in的频率为2X云 4.C【解析】由题可得f(x)=(x-2)e+x一2= ，所以周期为T=,所以经=，解得=2，所以 1 (x-2)(十1)，则当x>2时，f(x)>0:当x2 时，了(x)<0,所以∫(x)在区间（一∞，2）上单调递 1 减，在区间(2，十心)上单调递增，所以当x=2时， f(x)=sinx+zsin2x(x∈R),因为y=sinx的周 f(x)取得最小值，则有2m一2<2<3十m,解得 期T=2m,y= 交in2x的周期T=元，所以f(x)的 一1<n<2.故选C. 5.C【解析】因为函数f(x)与g(x)的图象上恰有两 最小正周期为2π，所以A正确：对于B,因为f(x)的 对关于x轴对称的点，所以一f(x)=g(x),即一ar十 最小正周期为2π，不妨设x∈[0,2π]，由f(x)= nx=e-1有两解，所以a=血I二e土士有两解， simx+号sm2红，得了(x)=c0sx+c0s2x 令h（x)=血二c+出(>0)，则(x) 2cos'x+cosx-1=(cos x+1)(2cos x-1),f(x) (e-1)-x2,所以当x∈(0,1)时，(x)>0, >0,得c0s>或c0sK-1(舍去)，则0<<号 r 或亚<x<2元，此时f八x)单调递增：由(x)<0,得 h(x)单调递增：当x∈(1，十oo)时，h(x)<0, 3 h(x)单调递减，所以h(x)在x=1处取得极大值 -1<0sx<子，则号<x<警，此时f(x)单调递 h(1)=1-e,且当x∈(0,1)时，h(x)的值域为 (-∞，1一e):当x∈(1，十∞)时，h(x)的值域为 减，所以当x=号时，∫(x)取得极大值∫（号） （一0，】一e),因此a=血1二C+1有两解时，实数 a的取值范围为（一c,1一e).故选C sm号+7sin要-号+=3，因为f(2x)=0. 32 6.B【解析】构建函数f(x)=nxr>e,则f(x)= 所以f(:)的最大值为2，所以B正确：对于C,因 号>0在(e,+四)内框度立，所以fx)在 为f(+2)=in(x+2m)+号m2(x+2m)= ·88· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· sinx+合in2x,f(-x)=-sinx-号sin2x,所以 所以当r=1时，f(x)取得极大值f)=号十a: f(x十2π)≠f(-x),所以f(x)的图象不关于直线 当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=2+a, x=π对称，所以C错误：对于D,由f(x)=sinx十 且当x趋向于一o时，f(x)趋向于一∞：当x趋向 乞sin2x=sinx+sin rcos=0,得sinx=0或 1 于十o时，f(x)趋向于十∞， 10分) 因为f(x)有三个零点， cosx=一1，因为x∈[0,2π]，所以由sinx=0,得r= 0或x=π或x=2π，由cosx=一1，得x=π，所以 所以号+a>0, (12分) f(x)在区间[0,2π]上有3个零点，所以D正确.故 2+a<0 选ABD 三、填空题 解得-号<a<-2 9.[0,8)【解析】因为f(x)=(x2-a)c在区间 (一2,2)内只有极小值，无极大值，所以广(x)= 故实数。的取值范围为(-号，-2) (13分) (x十2x-a)e=0在区问（一2,2）内只有一个左负 -2x=a-2x .rE 右正的异号根，即关于x的方程x十2r-a=0在区 12.解：)由题可知f(x)=是 x 间（一2,2）内只有一个左负右正的异号根，所以 (0,十80) (1分) 1(-2)2+2×(-2)-a≤0 当a≤0时，广(x)<0, 2:+2×2-a>0 解得a∈[0,8). 则∫(x)在区间(0，十∞)上单湖递减： (3分) 10.[日十）【解折】不等式2红十f)>2十 当a>0时，令了x)>0,得0<<√受。 f(1)等价于f()一2x1<f(x1)一2x1,令 F(x)=f(x)-2x,x∈(0，+∞)，F(1)< 令f)<0,得>√受 F(x),又x>z>0,所以函数F(x)=f(x) 2x在(0，十∞)上单调递减，所以F(x)=(x) 故f()在区间(0√受 上单调递增，在区间 2=2lnx-2ax≤0在(0，+o)上恒成立，即ln≤ (√受，+)上单测递减 (5分) a在0，十)上恒成立.令g)=兰上 综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，十∞)上单调递 (0,+四)，则g(x)=1-h三，所以当x∈ 减：当a>0时，f(x)在区间(0√号)上单调递 (0,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增：当x∈ 增，在区间（√受，+∞）上单调递减 (7分) (e,十∞)时，g”(x)<0,g(x)单调递减，所以 g)=g(e)=是，所以a≥是，所以实数a的取 2)当a>0时，结合I)知f)=f(√号】 值范周为[片+)力 =aln√z --e. (8分) 四、解答题 若存在x>0,使得f(x)>0成立， 11.解：(1)由题可知(x)=3x2-9x十6=3(x-1)· (x-2), (1分) 则)-=aln√号-号-e>0, (9分) 当x∈[-2,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(1,2)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 令ga)=受h受-受 -e2(a>0), 当x∈(2,3]时，了(x)>0,f(x)单湖递增，(4分) 则g'a)=n号， (11分) 所以f（x).=max{f(1),f(3)}, 因为1)=号+a,3)=号+a, 当a∈(0,2)时，g(a)<0;当a∈(2，十c∞)时， g'(a)>0, 所以f1)<f(3), 所以g(a)在区间(0,2)上单调递减，在区间 所以x在[-2,3]上的最大值为号十a,(6分 (2,十0∞)上单调递增， (13分) 又因为在区间(0,2)上，g(a)<0,g(2)=-1-c (2)由(1)知f(x)=3x-9x+6=3(x-1)(x-2), <0,g(2e)=0. 当x<1或x>2时，f(x)>0:当1<x<2时， 所以a的取值范围是(2e,十∞. (15分) 广(x)<0, 所以f(x)在（一∞，1），(2，十)上单调递增，在 1,解：(1)当a=-1时，f()=nx十子 (1,2)上单调递减， (8分) x∈(0，十o∞)， ·89 则f()=-=二， (2分) (3)由(2)知，当a=-时，h≥- 当0<x<1时，f(x)<0:当x>1时，f(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 所以>h子 递增， 所以x≥elnx,当且仅当x=e时等号成立，(12分) 所以f(x)有极小值f(1)=1,无极大值. (5分) 所以+1>cdh+=cln(m十1)-lnn], (2)由f(x)≥0桓成立，得Vx>0,a≤xlnx, 令g(x)=xnxx>0,则g'(x)=1十nx, nI>eln n=eCIn n-In(n-1)]. 当0<r<时g'()<0:当x>时g'()>0, 子>dn是=eda2-la1D,neN, 2 所以g)在(0，)上单调递减，在（日，十）上 (16分) 单调递增， (8分) 所以中+马十+是>n(a+1)-nn+ 所以当x=。时，g(x)取得最小值g(日) In n-In(n-1)++In 2-In 1]=eln(n+1), (18分) 所以e+子++出>(n十1)r(n∈N). (20分) 则a<-, 所以实数a的取值范围是(-©，-]】 (10分)