易错06 几何初步与全等三角形（易错专练，6大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 几何基础与全等三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 相交线与平行线有关角度计算 易错点 2 忽略三角形三边的构成条件 易错点 3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 易错点 4 找证明三角形全等的条件不全或错误 易错点 5 等腰三角形的多解分类讨论 易错点 6 尺规作图及与三角形有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 相交线与平行线有关角度计算 错因剖析 概念混淆：混淆对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，概念与图形不匹配。 认知偏差：只看局部图形，忽略整体结构与隐含条件。 基础薄弱：基本运算能力不足，几何书写习惯差，不会用代数方法解决几何计算。 【例1】（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 1. 先认图，再认角，杜绝概念混淆 2. 折线模型统一方法 遇到 “拐弯” 的平行线图形，统一过拐点作平行线，转化为多组内错角或同旁内角： 猪蹄模型：∠1 + ∠3 = ∠2 铅笔头模型：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° 【知识链接】 核心定理回顾 对顶角相等 邻补角互补（和为 180°） 两直线平行⟹ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⟹ 两直线平行 2. 常用计算思路 直接计算：利用对顶角、邻补角、平行线性质代换； 方程计算：出现 “倍角、分角、比例” 时，设未知数列方程求解； 辅助线计算：折线、拐角必作平行线，化复杂为简单。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 【变式1-2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，，直线与射线相交于点．若，则_______．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 易错点2 忽略三角形三边的构成条件 错因剖析 概念混淆：误将“两边之和大于第三边”理解为“任意两边之和大于任意第三边”的简化版. 认知偏差：遇到“已知两边求第三边范围”的题目，只考虑“两边之和大于第三边”，漏掉“两边之差小于第三边”，导致第三边范围求解不完整。 基础薄弱：不等式计算能力薄弱，对三角形三边关系的应用不熟练，缺乏“计算—验证—排除”的完整解题思路，几何书写习惯较差。 【例2】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 避错秘籍 【防错指南】 步骤：① 明确已知条件（边长、图形类型）；② 应用三边关系列出不等式（或等式）；③ 求解不等式（或验证边长）；④ 排除不合理解，得出最终答案；⑤ 标注解题依据（如“三角形三边关系”）。 技巧：遇到多解情况（如等腰三角形、含参数边长），优先验证三边关系，再确定最终解，避免漏验导致错误。 【知识链接】三角形三边构成条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（可简化记忆：最长边<另外两边之和，最短边>另外两边之差）。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 易错点3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 错因剖析 概念混淆：只记住“从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段是高”，未掌握内高、外高的区别，以及不同类型三角形高线的分布规律。 认知偏差：画三角形的高，未能分类讨论高是内高还是外高，导致漏解。 基础薄弱：作图能力弱，无法将文字描述画出图形。 【例3】已知是的高，，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当高在内时，根据计算，当高在外时，根据计算． 【详解】解：当高在内时， ， ； 当高在外时， ， ． 避错秘籍 【防错指南】强化分类讨论意识，全面分析情况 先判断三角形的类型（锐角、直角、钝角），再分别画出内高、外高，结合图形分析计算，确保不重不漏。 规范画法与步骤，提升应用能力 1. 高线画法：① 确定顶点和对边（或对边延长线）；② 用直尺和圆规作顶点到对边（或延长线）的垂线，标注垂足；③ 区分内高、外高，标注高的位置； 2. 计算步骤：① 明确高对应的底边（无论内高、外高，底边均为三角形的原边长，而非延长线长度）；② 代入面积公式（面积=1/2×底×高）计算；③ 验证高的位置是否符合三角形类型，排除不合理解。 【知识链接】 不同三角形的高线分布：① 锐角三角形：三条高均在三角形内部，交于三角形内一点；② 直角三角形：两条高为直角边，一条高在内部，交于直角顶点；③ 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，三条高的延长线交于三角形外部一点； 变式迁移 【变式3-1】在中，为边上的高，，，则是___________度． 【答案】40或80/80或40 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 【变式3-2】在△ABC中，，，边上的高为，则△ABC面积为_____ 【答案】126或66 【分析】此题分两种情况：为锐角或为钝角，根据、的值，利用勾股定理即可求出的长，利用三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：当为锐角时，如图1， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴； 当为钝角时（如图2）， 同理可得：，， ∴， ∴， 综上，△ABC面积为或． 易错点4 找证明三角形全等的条件不全或错误 错因剖析 概念混淆：混淆SAS 与 SSA：误认为两边一角就能判定全等，忽略夹角这一关键前提。 混淆ASA 与 AAS：分不清 “两角及其夹边” 与 “两角及其中一角的对边” 的区别，导致对应边、对应角找错。 认知偏差：忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件，直接认为条件不足，或漏用这些条件。 证明时只关注题目明确给出的条件，忽略通过平行线性质、角平分线、垂直定义等推导出来的间接条件。 基础薄弱： 1、找错对应顶点、对应边、对应角，导致所用判定定理与实际对应关系不符。 2、书写不规范：未按 “对应顶点写在对应位置” 的格式写全等符号（如△ABC≌△DEF），导致后续推导对应边、角出错。 3、无法从复杂图形中剥离出全等的两个三角形，被干扰图形误导。 【例4】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 避错秘籍 【防错指南】三步走，找全隐含条件 1、标图：在图形上用相同标记标注已知的相等边（如双弧线）、相等角（如单弧线），直观呈现已知条件。 2、挖隐含： 找公共边、公共角； 找对顶角； 找平行线带来的内错角、同位角相等； 找角平分线、垂直带来的直角或等角。 3、补辅助：若条件仍不足，尝试作辅助线（如连接对角线、作垂线）来构造新的相等边或角。 【知识链接】 判定方法 内容 适用场景 关键提醒 SSS 三边对应相等 任意三角形 无 SAS 两边及夹角相等 任意三角形 必须是夹角，边对角不行 ASA 两角及夹边相等 任意三角形 夹边是两角的公共边 AAS 两角及一角对边相等 任意三角形 对边是其中一角的对边 HL 斜边 + 直角边 仅直角三角形 直角三角形专用，普通三角形不可用 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式4-2】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 【变式4-3】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得到，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，，， ， 又， ． 易错点5 等腰三角形的多解分类讨论 错因剖析 概念混淆：对等腰三角形的分类逻辑理解不透彻，未掌握“边不确定分腰底、角不确定分顶底”的分类标准，对等腰三角形的边、角限制条件记忆不完整，概念应用混乱。 认知偏差：思维片面，缺乏“分类—验证”的完整思路，对等腰三角形的隐含条件（三边关系、内角和限制）挖掘不充分，仅关注分类，忽略分类后的合理性验证，导致漏解、错解。 基础薄弱：分类讨论的思维能力薄弱，对等腰三角形多解问题的解题思路不熟悉，角度、边长计算不熟练，几何书写习惯较差，缺乏逻辑条理性。 【例5】过等腰三角形一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形内角和定理及外角性质，直角三角形的性质，分三种情况，根据题意分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，、、是等腰三角形，、， ∴， ∴，， ∴． 如图，，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，，，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图4，，，， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上，这个等腰三角形顶角的度数为或或或． 故答案为或或或 避错秘籍 【防错指南】明确分类标准 边长不确定（未明确哪条边是腰、哪条边是底） 角度不确定（未明确哪个角是顶角、哪个角是底角） 【知识链接】 定理回顾 等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）； 等腰三角形的限制条件：① 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；② 内角和限制：顶角+2×底角=180°，底角<90°，顶角<180°； 特殊等腰三角形：等边三角形（三边相等、三角均为60°），是等腰三角形的特殊形式，分类时需注意区分。 常用解题思路 边长类多解：已知两边求第三边/周长，先分腰底，再验证三边关系，排除无效解； 角度类多解：已知一角求另外两角，先分顶底，再结合内角和计算，排除底角≥90°的情况； 线段类多解（高、中线）：分线段在三角形内部/外部，结合等腰三角形性质，推导边长或角度。 变式迁移 【变式5-1】如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 【变式5-2】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定性质、角平分线的性质定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再由全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， 过点作于，于， ∴， ∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 易错点6 尺规作图及与三角形有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆尺规作图的“基本作图方法”，如分不清“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”的步骤。 认知偏差：思维片面，对尺规作图与三角形计算的关联认识不足，审题不细致，未挖掘作图过程中蕴含的几何条件，导致作图与计算脱节。 基础薄弱：结合尺规作图结果进行三角形计算时，角度、边长计算粗心，或不会利用全等、等腰三角形性质简化计算，导致结果错误。 【例6】（2026·江苏徐州·一模）如图，已知，．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (1)作的高，垂足为D； (2)在上求作点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧与有两个交点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径画弧，两条弧交于点P，作射线交于点D，则即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点F，以点F为圆心，为半径作，交于点E，连接、，此时． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点E即为所求． 避错秘籍 【防错指南】挖掘隐含条件，规避认知偏差 作图与计算的关联：尺规作图的结果（如角平分线、垂直平分线、全等三角形），本身就是三角形计算的重要条件，需主动挖掘： ① 作角平分线 ⇒ 角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）； ② 作垂直平分线 ⇒ 垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）； ③ 作全等三角形 ⇒ 全等三角形对应边、对应角相等。 必留作图痕迹：所有尺规作图都需保留“弧的痕迹”（画弧的圆心、弧的走向），痕迹是后续计算和证明的依据，不可省略。 【知识链接】 1. 五种基本的尺规作图 （1） 作一条线段等于已知线段 已知：线段 求作：线段，使 作法： ①作一条直线 ②在上任取一点A，以点A为圆心，以线段的长度为半径画弧，交直线于点B。 线段AB 即为所求作的线段。 图示： （2） 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB. 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P,Q； ②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D; ③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F; ④作射线EF.∠DEF即为所求作的角 图示： （3） 作已知角的平分线 已知： 求作：的平分线OP. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； ③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. 图示： （4） 作线段的垂直平分线 已知：线段。 求作：线段的垂直平分线。 作法： ①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ②过点M,N作直线.直线MN 即为线段AB的垂直平分线. 图示： （5） 经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线和上一点。 求作：直线的垂线，使它经过点。 作法： ⅰ)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线于A,B两点; ⅱ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ⅲ)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 图示： ②经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线和外一点M. 求作:直线的垂线,使它经过点M.作法: ⅰ)在直线的另一侧取点P; ⅱ)以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线于A,B 两点; ⅲ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点N; ⅳ)作直线MN. 直线MN 即为所求作的垂线. 图示： 变式迁移 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，D是的中点． (1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)连接，在（1）的条件下，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可； （2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，为的直径， ∴； ∵在中，，，， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式6-2】（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 1. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，即可求出答案． 【详解】解：如图，∵直线，，， ∴，                                                                                                                                                      ∴．                                                      故选：B． 2. （2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可； 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ． 3. 已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键； 先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足． 【详解】解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 4. 如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作法得平分，垂直平分，连接，根据角平分线的定义得出，根据垂直平分线的性质得出，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，如图； 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴，， 故， 解得， 即， 故， 解得，经检验，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，垂直平分线的作法，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 5. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论，当在的上方时，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，当在的下方时，同理可求得． 【详解】解：如图1，在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 6. （2025·江苏泰州·二模）在等腰中，，，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为腰两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当为腰时，则的三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴； 当为腰时，则的三边长分别为4，2，2， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， 综上所述，； 故答案为：4． 7. 已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①， 当为锐角三角形时，； 如图②，当为钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 8. （2026·江苏苏州·一模）如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 【答案】 【分析】根据旋转的定义得到，，证明，求出，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由旋转可知，，， ， ， ． 在和中，， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又， 则在中，． 9. 等腰三角形的腰长为13，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为3，则该等腰三角形底边上的高为_____________． 【答案】12或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及勾股定理，要求学生借助图形，采用数形结合及分类讨论的思想，求出底边的长，同时注意因为没有指明周长分成两部分的长短，故求出有两解，不要遗漏． 先根据题意画出图形，设为底边上的高，由为中点，得到，再根据将其周长分成两部分的差为3，分别表示出分三角形周长的两部分，相减等于 3 列出关于的方程，求出方程的解得到的长，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到为中点，由求出的得到的长，再由的长，在直角三角形中，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图所示，为中点，于． ∵为的中点， ∴， 根据题意得：或， 即或， 解得：或16． （1）当时， ， ， 在 中，， 根据勾股定理得：； （2）当时， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：． 综上，底边上的高为12或． 故答案为：12或． 10. （2025·江苏南京·三模）证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系，掌握相关知识点是解题关键．作的垂直平分线，连接，则，进而得到，从而推出点D落在边上，再利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】证明：如图，作的垂直平分线，连接， ， ． ． ． 点D落在边上． 在中，． ． ． 11. （2026·江苏徐州·一模）与为等边三角形．，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角定理． （1）根据等边三角形的性质证明，根据全等三角形对应边相等得到答案． （2）根据，得到对应角相等，根据已知条件得到，根据三角形外角定理得到，继而得到． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. （2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 13. （2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 14. （2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）点到边、的距离相等，由角平分线的判定定理可得点P在的角平分线上，先作的角平分线，再过点作的垂线，两线的交点即为点； （2）延长交于点，过点作的垂线，垂足为，则，，利用勾股定理得出，再结合等面积法求出，则，证明，得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作；    （2）解：如图，延长交于点，过点作的垂线，垂足为，   ， ， 平分， ， ，，， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 点与点之间的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 几何基础与全等三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 相交线与平行线有关角度计算 易错点 2 忽略三角形三边的构成条件 易错点 3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 易错点 4 找证明三角形全等的条件不全或错误 易错点 5 等腰三角形的多解分类讨论 易错点 6 尺规作图及与三角形有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 相交线与平行线有关角度计算 错因剖析 概念混淆：混淆对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，概念与图形不匹配。 认知偏差：只看局部图形，忽略整体结构与隐含条件。 基础薄弱：基本运算能力不足，几何书写习惯差，不会用代数方法解决几何计算。 【例1】（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1. 先认图，再认角，杜绝概念混淆 2. 折线模型统一方法 遇到 “拐弯” 的平行线图形，统一过拐点作平行线，转化为多组内错角或同旁内角： 猪蹄模型：∠1 + ∠3 = ∠2 铅笔头模型：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° 【知识链接】 核心定理回顾 对顶角相等 邻补角互补（和为 180°） 两直线平行⟹ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⟹ 两直线平行 2. 常用计算思路 直接计算：利用对顶角、邻补角、平行线性质代换； 方程计算：出现 “倍角、分角、比例” 时，设未知数列方程求解； 辅助线计算：折线、拐角必作平行线，化复杂为简单。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，，直线与射线相交于点．若，则_______．    易错点2 忽略三角形三边的构成条件 错因剖析 概念混淆：误将“两边之和大于第三边”理解为“任意两边之和大于任意第三边”的简化版. 认知偏差：遇到“已知两边求第三边范围”的题目，只考虑“两边之和大于第三边”，漏掉“两边之差小于第三边”，导致第三边范围求解不完整。 基础薄弱：不等式计算能力薄弱，对三角形三边关系的应用不熟练，缺乏“计算—验证—排除”的完整解题思路，几何书写习惯较差。 【例2】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 避错秘籍 【防错指南】 步骤：① 明确已知条件（边长、图形类型）；② 应用三边关系列出不等式（或等式）；③ 求解不等式（或验证边长）；④ 排除不合理解，得出最终答案；⑤ 标注解题依据（如“三角形三边关系”）。 技巧：遇到多解情况（如等腰三角形、含参数边长），优先验证三边关系，再确定最终解，避免漏验导致错误。 【知识链接】三角形三边构成条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（可简化记忆：最长边<另外两边之和，最短边>另外两边之差）。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 易错点3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 错因剖析 概念混淆：只记住“从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段是高”，未掌握内高、外高的区别，以及不同类型三角形高线的分布规律。 认知偏差：画三角形的高，未能分类讨论高是内高还是外高，导致漏解。 基础薄弱：作图能力弱，无法将文字描述画出图形。 【例3】已知是的高，，，则的度数为_______． 避错秘籍 【防错指南】强化分类讨论意识，全面分析情况 先判断三角形的类型（锐角、直角、钝角），再分别画出内高、外高，结合图形分析计算，确保不重不漏。 规范画法与步骤，提升应用能力 1. 高线画法：① 确定顶点和对边（或对边延长线）；② 用直尺和圆规作顶点到对边（或延长线）的垂线，标注垂足；③ 区分内高、外高，标注高的位置； 2. 计算步骤：① 明确高对应的底边（无论内高、外高，底边均为三角形的原边长，而非延长线长度）；② 代入面积公式（面积=1/2×底×高）计算；③ 验证高的位置是否符合三角形类型，排除不合理解。 【知识链接】 不同三角形的高线分布：① 锐角三角形：三条高均在三角形内部，交于三角形内一点；② 直角三角形：两条高为直角边，一条高在内部，交于直角顶点；③ 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，三条高的延长线交于三角形外部一点； 变式迁移 【变式3-1】在中，为边上的高，，，则是___________度． 【变式3-2】在△ABC中，，，边上的高为，则△ABC面积为_____ 易错点4 找证明三角形全等的条件不全或错误 错因剖析 概念混淆：混淆SAS 与 SSA：误认为两边一角就能判定全等，忽略夹角这一关键前提。 混淆ASA 与 AAS：分不清 “两角及其夹边” 与 “两角及其中一角的对边” 的区别，导致对应边、对应角找错。 认知偏差：忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件，直接认为条件不足，或漏用这些条件。 证明时只关注题目明确给出的条件，忽略通过平行线性质、角平分线、垂直定义等推导出来的间接条件。 基础薄弱： 1、找错对应顶点、对应边、对应角，导致所用判定定理与实际对应关系不符。 2、书写不规范：未按 “对应顶点写在对应位置” 的格式写全等符号（如△ABC≌△DEF），导致后续推导对应边、角出错。 3、无法从复杂图形中剥离出全等的两个三角形，被干扰图形误导。 【例4】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 避错秘籍 【防错指南】三步走，找全隐含条件 1、标图：在图形上用相同标记标注已知的相等边（如双弧线）、相等角（如单弧线），直观呈现已知条件。 2、挖隐含： 找公共边、公共角； 找对顶角； 找平行线带来的内错角、同位角相等； 找角平分线、垂直带来的直角或等角。 3、补辅助：若条件仍不足，尝试作辅助线（如连接对角线、作垂线）来构造新的相等边或角。 【知识链接】 判定方法 内容 适用场景 关键提醒 SSS 三边对应相等 任意三角形 无 SAS 两边及夹角相等 任意三角形 必须是夹角，边对角不行 ASA 两角及夹边相等 任意三角形 夹边是两角的公共边 AAS 两角及一角对边相等 任意三角形 对边是其中一角的对边 HL 斜边 + 直角边 仅直角三角形 直角三角形专用，普通三角形不可用 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【变式4-2】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式4-3】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错点5 等腰三角形的多解分类讨论 错因剖析 概念混淆：对等腰三角形的分类逻辑理解不透彻，未掌握“边不确定分腰底、角不确定分顶底”的分类标准，对等腰三角形的边、角限制条件记忆不完整，概念应用混乱。 认知偏差：思维片面，缺乏“分类—验证”的完整思路，对等腰三角形的隐含条件（三边关系、内角和限制）挖掘不充分，仅关注分类，忽略分类后的合理性验证，导致漏解、错解。 基础薄弱：分类讨论的思维能力薄弱，对等腰三角形多解问题的解题思路不熟悉，角度、边长计算不熟练，几何书写习惯较差，缺乏逻辑条理性。 【例5】过等腰三角形一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数为______． 避错秘籍 【防错指南】明确分类标准 边长不确定（未明确哪条边是腰、哪条边是底） 角度不确定（未明确哪个角是顶角、哪个角是底角） 【知识链接】 定理回顾 等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）； 等腰三角形的限制条件：① 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；② 内角和限制：顶角+2×底角=180°，底角<90°，顶角<180°； 特殊等腰三角形：等边三角形（三边相等、三角均为60°），是等腰三角形的特殊形式，分类时需注意区分。 常用解题思路 边长类多解：已知两边求第三边/周长，先分腰底，再验证三边关系，排除无效解； 角度类多解：已知一角求另外两角，先分顶底，再结合内角和计算，排除底角≥90°的情况； 线段类多解（高、中线）：分线段在三角形内部/外部，结合等腰三角形性质，推导边长或角度。 变式迁移 【变式5-1】如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 【变式5-2】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 易错点6 尺规作图及与三角形有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆尺规作图的“基本作图方法”，如分不清“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”的步骤。 认知偏差：思维片面，对尺规作图与三角形计算的关联认识不足，审题不细致，未挖掘作图过程中蕴含的几何条件，导致作图与计算脱节。 基础薄弱：结合尺规作图结果进行三角形计算时，角度、边长计算粗心，或不会利用全等、等腰三角形性质简化计算，导致结果错误。 【例6】（2026·江苏徐州·一模）如图，已知，．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (1)作的高，垂足为D； (2)在上求作点E，使． 避错秘籍 【防错指南】挖掘隐含条件，规避认知偏差 作图与计算的关联：尺规作图的结果（如角平分线、垂直平分线、全等三角形），本身就是三角形计算的重要条件，需主动挖掘： ① 作角平分线 ⇒ 角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）； ② 作垂直平分线 ⇒ 垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）； ③ 作全等三角形 ⇒ 全等三角形对应边、对应角相等。 必留作图痕迹：所有尺规作图都需保留“弧的痕迹”（画弧的圆心、弧的走向），痕迹是后续计算和证明的依据，不可省略。 【知识链接】 1. 五种基本的尺规作图 （1） 作一条线段等于已知线段 已知：线段 求作：线段，使 作法： ①作一条直线 ②在上任取一点A，以点A为圆心，以线段的长度为半径画弧，交直线于点B。 线段AB 即为所求作的线段。 图示： （2） 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB. 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P,Q； ②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D; ③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F; ④作射线EF.∠DEF即为所求作的角 图示： （3） 作已知角的平分线 已知： 求作：的平分线OP. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； ③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. 图示： （4） 作线段的垂直平分线 已知：线段。 求作：线段的垂直平分线。 作法： ①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ②过点M,N作直线.直线MN 即为线段AB的垂直平分线. 图示： （5） 经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线和上一点。 求作：直线的垂线，使它经过点。 作法： ⅰ)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线于A,B两点; ⅱ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ⅲ)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 图示： ②经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线和外一点M. 求作:直线的垂线,使它经过点M.作法: ⅰ)在直线的另一侧取点P; ⅱ)以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线于A,B 两点; ⅲ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点N; ⅳ)作直线MN. 直线MN 即为所求作的垂线. 图示： 变式迁移 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，D是的中点． (1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)连接，在（1）的条件下，求的长度． 【变式6-2】（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 1. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2. （2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3. 已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 4. 如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 6. （2025·江苏泰州·二模）在等腰中，，，则________． 7. 已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 8. （2026·江苏苏州·一模）如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 9. 等腰三角形的腰长为13，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为3，则该等腰三角形底边上的高为_____________． 10. （2025·江苏南京·三模）证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 11. （2026·江苏徐州·一模）与为等边三角形．，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12. （2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 13. （2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 14. （2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $