3.与概率有关的计算- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

与概率有关的计算 必然事件、不可能事件与随机事件 1.下列事件中是必然事件的是（    ） A．买一张彩票，一定会中奖 B．经过十字路口，遇到绿灯 C．任意画一个平面三角形，内角和是 D．打开电视机，正在播放《新闻联播》 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意； B、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个平面三角形，内角和是，是必然事件，符合题意； D、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.数学课上老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ）    A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”． B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花． C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球． D．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面． 【答案】D 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意； C、不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率为；符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键． 摸球实验中的概率计算 1.一个袋中有3个红球，5个白球，2个黑球，这些球除颜色外均相同，小强任意摸出一个是红球的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可求得摸到红球的概率. 【详解】解：∵袋中有3个红球，5个白球，2个黑球，这些球除颜色外均相同， ∴任意摸出一个是红球的概率为， 故选：B. 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率一所求情况数与总情况数之比. 2.一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6, ∴共有4种等可能的结果， ∴这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6， 共1种情况， ∴能构成等腰三角形的概率是， 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 3.（23榆林）一个不透明的盒子中装有个除颜色外无其他差别的小球，其中有个黄球和个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据盒子中共有个球，有个黄球和个绿球，可知红球的数量是个，再根据概率的计算公式即可解答． 【详解】解：∵盒子中有个球，有个黄球和个绿球， ∴红球的数量为（个）， ∴红球的概率为：， 故答案为． 【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键． 4.在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． (1)求出摸出的球是红球的概率； (2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球．那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 【答案】(1) (2)这9个球中红球有7个，则黄球为2个 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球， ∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是红球的概率为． （2）解：设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据题意得： ， 解得：， 黄球个数为：（个）， 答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个． 【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式． 5.（23西安）甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的可能性大？ 【答案】乙袋中取出黑球的可能性大 【分析】分别计算两个袋子中取出球的可能性的大小，然后比较即可得到答案． 【详解】解：甲袋中取出黑球的可能性为：； 乙袋中取出黑球的可能性为：； ， 乙袋中取出黑球的可能性大． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题关键是了解如何球可能性的大小． 6.一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的小球，它们除颜色不同外其余都相同，其中红球有10个，黄球有6个，白球有4个，搅匀袋中的球． (1)随机地从袋中摸出1个球，求摸到白球的概率； (2)随机地从袋中摸出1个球，求摸到黄球或红球的概率； (3)若先从袋中取出2个红球和2个白球，将它们放在桌上，再随机地从袋中摸出1个球，求这时摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用袋中白球的个数除以球的总个数即可； （2）用袋中黄球或红球的个数除以球的总个数即可； （3）求出剩下的球数和白球数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：袋中共有个， ∴摸到白球的概率为：． （2）解：∵红球有10个，黄球有6个， ∴摸到黄球或红球的概率为． （3）解：∵先取出2个红球和2个白球， ∴袋中剩下16个球，其中白球有2个， ∴摸到白球的概率为． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 7.现有红球和黄球若干个，每个球除颜色外其余都相同．将4个红球和5个黄球放入一个不透明的袋子中． (1)将袋子中的球搅匀后任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？ (2)如果再拿3个球放入袋子中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和黄球的可能性大小相等，那么应放入几个红球，几个黄球？ 【答案】(1) (2)应放入2个红球，1个黄球 【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）设放入x个红球，根据摸到红球和黄球的可能性大小相等，即摸到红球的概率为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有个球，其中有4个红球，且每个球被摸到的概率相同， ∴将袋子中的球搅匀后任意摸出1个球，摸到红球的概率是 （2）解：设放入x个红球， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应放入2个红球，1个黄球． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． 根据概率求事件发生的次数 口袋里有除颜色外其他都相同的6个红球和4个白球． (1)从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件，则事件是______事件．（从“随机”“必然”“不可能”中选一个填入） (2)先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，若摸出一个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1)随机 (2)2 【分析】（1）根据简单事件的概率公式计算即可得出答案； （2）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件， 则事件是随机事件， 故答案为：随机； （2）根据题意得： 解得， 则m的值是2． 【点睛】此题考查了基本概率的计算，熟练掌握随机事件的概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 掷色子实验中的概率计算 1.掷一个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： (1)向上一面的点数为奇数； (2)向上一面的点数为的倍数； (3)向上一面的点数大于1且小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用奇数的个数除以总数的个数即可得出答案； （2）先找出点数为3的倍数的个数，再除以总个数即可得出答案； （3）先找出点数大于1且小于6的个数，再除以总个数即可得出答案． 【详解】（1）解：点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5， ∴P（点数为奇数）； （2）解：点数为3的倍数的有2种可能，即点数为3，6， ∴P（点数为3的倍数）； （3）解：点数大于1且小于6有4种可能，即点数为2，3，4，5， ∴P（点数大于1且小于6）． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 2.笑笑做掷骰子游戏，她掷一枚质地均匀的骰子． (1)求笑笑掷出的点数小于1的概率； (2)求笑笑掷出的点数是质数的概率； (3)求笑笑掷出的点数不小于3的概率． 【答案】(1)P（笑笑掷出的点数小于1）； (2)； (3)． 【分析】（1）根据概率公式进行求解即可； （2）根据概率公式进行求解即可； （3）根据概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：掷出的点数小于1的情况不存在，是不可能事件， ∴P（笑笑掷出的点数小于1）； （2）掷出的点数共有6种等可能的结果，其中掷出的点数是质数的结果有2，3，5三种等可能的结果， ∴； （3）掷出的点数共有6种等可能的结果，其中掷出的点数不小于3的结果有3，4，5，6四种等可能的结果， ∴． 【点睛】本题考查求概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 3.淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率； (3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用“1点朝上”的频率除以总试验次数，即可求出“1点朝上”的频率；用“6点朝上”的频率除以总试验次数，即可求出“6点朝上”的频率； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为， “6点朝上”的频率为． （2）解：朝上的点数为1的概率． （3）解：∵朝上的点数不小于4， ∴有4、5、6这3种可能性， ∴朝上的点数不小于4的概率． 【点睛】本题主要考查了频率，用概率公式求概率，解题的关键是掌握频率=频数和试验总次数之比，概率=所求情况数与总情况数之比． 其他游戏中的概率计算 1．桌上放有20张卡片，正面分别标有数字 1到 20，这些卡片除所标数字外完全相同，将背面朝上混合在一起，小乐从这20张卡片中任取一张，求下列事件发生的概率： (1)抽到的卡片上数字比15小的概率； (2)抽到的卡片上数字是6的倍数的概率； (3)抽到的卡片上数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有20张卡片，其中卡片上的数字比15小的卡片有14张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小乐从这20张卡片中任取一张，抽到的卡片上数字比15小的概率； （2）解：∵一共有20张卡片，其中卡片上的数字是6的倍数的卡片有3张（数字为6，12，18），且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小乐从这20张卡片中任取一张，抽到的卡片上数字是6的倍数的概率； （3）解：∵一共有20张卡片，其中卡片上的数字既是2的倍数，又是5的倍数的卡片有2张（数字为10，20），且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小乐从这20张卡片中任取一张，抽到的卡片上数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． 2．在单词（数学）中随机任意选择一个字母，求下列事件的概率：（元音字：） (1)字母为“”的概率； (2)字母为元音字母的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的定义及概率的计算公式即可解答； （2）根据概率的定义及概率的计算公式即可解答； 【详解】（1）解：∵单词中字母为“”共有个， ∴（字母为“”）； （2）解：∵单词中元音字母有a、e、i共4个， ∴字线为元音字字母）． 【点睛】本题考查了概率的定义及概率的公式，理解概率的定义是解题的关键． 3．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据：频率频数试验次数，即可求解； （2）随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】（1）解：；． （2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是． 【点睛】本题考查事件的频率、频率的稳定性等相关知识点．掌握频率与概率的区别与联系是解题的关键． 4．（23西安）一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫，由于包装工人的疏忽，在部分包裹中混入了型号为M的衬衫，混入的M号衬衫的件数(件)与对应的包数(包)如下表： M号衬衫数(件) 0 1 4 5 7 9 10 11 包数（包） 7 3 10 15 5 4 3 3 一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率： (1)包中没有混入M号的衬衫； (2)包中有混入M号的衬衫且件数小于7件； (3)包中混入M号衬衫的件数大于9件． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：没有混入的号衬衫的包数是7包， 所以（没有混入的号衬衫）； （2）有混入M号的衬衫且件数小于7件的包数是包， 所以（有混入M号的衬衫且件数小于7件）； （3）混入的号衬衫数大于9件的包数是包， 所以（混入的号衬衫数大于9件）． 【点睛】本题考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．根据概率公式分别计算即可． 几何概型下的概率计算 1．如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【分析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：∵正方形的面积为，阴影部分占5份， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 2．（23咸阳）如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为 ．    【答案】 【分析】用阴影部分的小三角形的个数除以正方形的小三角形的个数即可得． 【详解】∵正方形中所有的小三角形都全等， ∴阴影部分的小三角形的个数为12个，正方形的小三角形的个数为32个， ∴它停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率．解题的关键是熟练掌握几概率的公式．用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $