易错点3专项突破：圆锥的体积-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

第二单元 圆柱和圆锥 易错点3专项突破：圆锥的体积 1．计算下面各图形的体积。 【答案】1507.2立方厘米； 25.12​立方分米 【分析】（1）先根据直径求出外圆和内圆的半径，再分别算出外圆柱和内圆柱的底面积；用外圆柱底面积减去内圆柱底面积得到环形底面积，再用环形底面积乘高算出空心圆柱体积； （2）先根据底面半径分别求出圆柱体积和圆锥体积，将圆柱体积与圆锥体积相加，得到组合体的总体积。 【详解】（1）3.14×（8÷2）2－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×42－3.14×22 ＝3.14×16－3.14×4 ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方厘米） 37.68×40＝1507.2（立方厘米） （2）3.14×12×6＋×3.14×12×6 ＝3.14×1×6＋​×3.14×1×6 ＝18.84＋​×18.84 ＝18.84＋6.28 ＝25.12​（立方分米） 2．求出下图正方体中挖去最大的圆锥后剩下的体积。（单位：厘米） 【答案】159.48立方厘米 【分析】分别求出正方体的体积和挖去的最大圆锥的体积，再用正方体体积减去圆锥体积，得到剩下的体积。 正方体的体积公式为V＝a×a×a（其中a为正方体的棱长）。已知正方体的棱长为6厘米，将其代入公式可得：6×6×6＝216（立方厘米）。 要在正方体中挖去最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，即圆锥的底面直径为6厘米，所以半径为6÷2＝3厘米，高为6厘米。圆锥的体积公式为V＝πr2h（其中π取3.14，r是底面半径，h是高），将数据代入公式计算可得出圆锥的体积。剩下的体积就是用正方体的体积减去圆锥的体积。 【详解】6×6×6＝216（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝56.52（立方厘米） 216－56.52＝159.48（立方厘米） 剩下的体积是159.48立方厘米。 3．以图中直线为轴旋转一周，求旋转后得到的图形的体积。 【答案】43.96cm3 【分析】观察可知，旋转一周得到一个高是6cm，底面直径是4cm的圆锥和一个高是6cm，底面直径是2cm的圆柱，根据圆锥的体积公式，以及圆柱的体积公式，分别代入数据计算再相加即可。 【详解】 （cm3） 所以旋转后得到的图形的体积为43.96 cm3。 4．求如图图形的体积。（单位：cm） 【答案】2072.4cm3；150.72cm3 【分析】第一幅图，由两个同高的圆柱组成，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出大圆柱以及小圆柱的体积，再相减即可；第二幅图，由同底的圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝把数据代入公式分别求出求出圆柱和圆锥的体积，再相减即可；据此计算即可。 【详解】左图： 3.14×（14÷2）2×20－3.14×（8÷2）2×20 ＝3.14×72×20－3.14×42×20 ＝3.14×49×20－3.14×16×20 ＝3.14×20×（49－16） ＝3.14×20×33 ＝2072.4（cm3） 则左图的体积为2072.4cm3。 右图： 3.14×（8÷2）2×4－×3.14×（8÷2）2×3 ＝3.14×42×4－3.14×42 ＝3.14×16×（4－1） ＝3.14×16×3 ＝150.72（cm3） 则右图的体积为150.72cm3。 5．计算下图的体积。 【答案】长方体体积180cm3；圆锥体积565.2dm3 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，半径＝直径÷2，圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【详解】长方体的体积：20×3×3 ＝60×3 ＝180（cm3） 圆锥体的体积：3.14×（12÷2）2×15 ＝3.14×62×15 3.14×36×15 ＝565.2（dm3） 6．计算下面圆锥的体积。（单位：厘米） 【答案】 47.1立方厘米；200.96立方厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×32×5× ＝3.14×9×5× ＝3.14×（9×）×5 ＝3.14×（3×5） ＝3.14×15 ＝47.1（立方厘米） 圆锥的体积是47.1立方厘米。 8÷2＝4（厘米） 3.14×42×12× ＝3.14×16×（12×） ＝3.14×16×4 ＝50.24×4 ＝200.96（立方厘米） 圆锥的体积是200.96立方厘米。 7．灯罩是一种可以用来遮挡光线的器具，而图1这样的灯罩能够更好地向下聚集光线，使得光线更加柔和。手工课上，丽丽用麻布制作了一个类似形状的灯罩，数据如图2所示，那么这个灯罩的内部空间是多少立方厘米？（灯罩的厚度忽略不计） 【答案】立方厘米 【分析】观察图2可知，灯罩的内部空间的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积，由圆锥的体积＝πh，代入数据即可求出结果。 【详解】大圆锥的体积： ×3.14××（10＋5） ＝×3.14×81×15 ＝1271.7（立方厘米） 小圆锥的体积： ×3.14××5 ＝×3.14×9×5 ＝47.1（立方厘米） 1271.7－47.1＝1224.6（立方厘米） 答：这个灯罩的内部空间是1224.6立方厘米。 8．一个底面直径为10cm的圆柱形容器内装有水，水里面完全浸没了一块高为6cm的圆锥形铁块，取出铁块后，水面下降了0.6cm。这块圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（铁块上的水忽略不计） 【答案】23.55平方厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁块完全浸没在水中，取出铁块后水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积。首先根据圆柱的体积公式V＝Sh，计算出取出铁块后水面下降部分水的体积，即圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算即可求出圆锥形铁块的底面积。 【详解】3.14×（10÷2）2×0.6 ＝3.14×52×0.6 ＝3.14×25×0.6 ＝78.5×0.6 ＝47.1（立方厘米） 3×47.1÷6 ＝141.3÷6 ＝23.55（平方厘米） 答：这块圆锥形铁块的底面积是23.55平方厘米。 9．一个密闭的粮仓形状如下图，如果每立方米小麦的质量为720千克，这个粮仓最多能装多少千克小麦？（结果保留整数） 【答案】1384千克 【分析】看图可知，粮仓的容积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此计算出粮仓的容积，粮仓的容积×每立方米小麦的质量＝能装的质量，据此列式解答。最终结果根据四舍五入法保留整数即可。 【详解】 （m³） （千克） 答：这个粮仓最多能装1384千克小麦。 10．沙漏也叫作沙钟，它是通过测量沙子从上容器流到下容器所需的时间来计量时间。如图，如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分钟？ 【答案】20分钟 【分析】观察图形可知：沙漏上方所剩的沙子是一个圆锥型，且圆锥的底是2厘米，高是3厘米；沙漏下方漏下来的沙子形成了一个圆柱型，圆柱的底面直径是4厘米，高是5厘米。由题意知：如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，则沙子一分钟的流量＝上面圆锥型沙子的体积。用下方的圆柱型沙子的体积÷上方圆锥型沙子的体积＝已经计量过的时间，再根据，，分别代入数据计算即可求解。 【详解】 （分钟） 答：现在下部的沙子已经计量了20分钟。 11．如图，将一个底面直径是10厘米的圆锥形零件完全浸没在一个圆柱形容器的水中，水面上升了2厘米，这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】根据题意，水面上升的体积就是圆锥形零件的体积，圆柱形容器的底面积×水面上升的高度＝圆锥形零件的体积，再根据圆锥的高＝圆锥体积×3÷底面积，求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆锥的体积： 3.14×（20÷2）2×2 ＝3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝628（立方厘米） 圆锥的高： 628×3÷[3.14×（10÷2）2] ＝1884÷[3.14×52] ＝1884÷[3.14×25] ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是24厘米。 12．科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图），该整流罩模型的体积是多少？如果用一个长方体玻璃罩对这个模型进行防尘，制作这个玻璃罩至少要用多少平方分米的玻璃？（不计接头处的损耗） 【答案】150.72立方分米；288平方分米 【分析】第一问：该整流罩模型的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 第二问：玻璃罩的表面积就是求一个长是4分米，宽4分米，高16分米的长方体的表面积，根据，代入数据计算即可。 【详解】 （立方分米） （平方分米） 答：该整流罩模型的体积是150.72立方分米；制作这个玻璃罩至少要用288平方分米的玻璃。 13．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【答案】314立方厘米 【分析】1．求上升的水的体积：放入铁块后水面上升，上升的水的形状为圆柱体。根据圆柱体积公式V＝πr2h（其中r为底面半径，h为高），已知圆柱形容器底面半径r＝10厘米，水面从5厘米上升到9厘米，则上升的高度h＝9－5＝4厘米，可求出上升的水的体积。 2．分析等底等高圆柱和圆锥体积关系：因为圆柱和圆锥等底等高，根据所学知识，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥体积看作1份，那么圆柱体积就是3份，它们的体积和就是1＋3＝4份。 3．求圆锥体积：上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积和，已求出体积和以及它们体积份数关系，用体积和除以总份数4，就可得到1份的体积，也就是圆锥的体积。 【详解】上升水的体积： V＝πr2h ＝3.14×102×（9－5） ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆锥体积为： 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 14．某餐厅为了get完美餐品，上餐用如图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施。周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由。 【答案】不能；理由见详解 【分析】从图中可知，沙漏上部的沙子是一个底面直径为2厘米、高为3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这部分沙子的体积； 因为上部沙子漏下去正好需要1分钟，已知沙漏下部沙子的体积是94.2立方厘米时，菜正好上齐，那么用除法求出94.2里面有几个上部沙子的体积，即可求出正好上齐菜的时间，与30分钟进行比较，得出结论。 【详解】×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（立方厘米） 94.2÷3.14＝30（分钟） 答：不能免单，因为餐厅30分钟时正好上齐菜品。 15．（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【分析】根据题意可知，模具的容积、水的体积不变，则正放时空白部分的容积与倒放时空白部分的容积相等，所以模具的容积＝正放时水的体积＋倒放时无水部分的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出模具的容积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14 ＝3.14×42×6＋3.14×42×14 ＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 【点睛】理解正放和倒放时水的体积是不变的，也就是容器中空的部分体积是一样的，利用转化思想将其转化成圆柱进行计算。 16．有一种陀螺（如下图），上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆柱的体积与圆锥的体积之比为4∶1时，陀螺会转得又稳又快。已知圆锥的底面直径是4厘米，高是1.5厘米。请你算一算，这个陀螺的体积是多少时才能使陀螺转得又稳又快？ 【答案】31.4立方厘米 【分析】先利用“”求出圆锥的体积，已知圆柱的体积与圆锥的体积之比为4∶1，所以陀螺的体积是圆锥体积的（4＋1）倍，据此即可求出陀螺的体积。 【详解】 ＝ ＝ ＝（立方厘米） ＝ ＝31.4（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是31.4立方厘米时才能使陀螺转得又稳又快。 17．一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所示），如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【答案】1.2厘米 【分析】圆锥形铝块的放入使得杯子中水面上升，那么把铝块从水中取出，相当于与铝块同等体积的水排除，所以水面下降。先根据求出圆锥的体积，它等于下降那部分水的体积，变化圆柱体积，得到下降水面的高度，据此解答。 【详解】 （立方厘米） （厘米） 答：容器中的水面高度将下降1.2厘米。 18．如图，将一个高为50厘米的圆锥从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是20平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？（π取3.14，得数保留两位小数） 【答案】83.73立方分米 【分析】将一个高为50厘米的圆锥从顶点向下垂直切开，纵切面时一个三角形，这个三角形的底相当于圆锥的底面直径，高相当于圆锥的高，再结合三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出圆锥的底面直径，最后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】50厘米＝5分米 20×2÷5 ＝40÷5 ＝8（分米） ×3.14×（8÷2）2×5 ＝×3.14×42×5 ＝×（3.14×16×5） ＝×251.2 ≈83.73（立方分米） 答：这个圆锥的体积是83.73立方分米。 19．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 【答案】122.46立方厘米 【分析】由图可知，求这个冰淇淋需要多少立方厘米的奶油，就是求一个底面半径为3厘米，高为4厘米和一个底面半径为3厘米，高为9厘米的两个圆锥体积之和，根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×32×4×＋3.14×32×9× ＝3.14×9×4×＋3.14×9×9× ＝28.26×4×＋28.26×9× ＝113.04×＋254.34× ＝37.68＋84.78 ＝122.46（立方厘米） 答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油。 20．淇淇自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如下图所示。将污水倒入上方的近似圆锥形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与近似圆锥形容器底面积相同）。 （1）这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入多少毫升的污水？ （2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米？（不考虑过滤掉的杂质体积） 【答案】（1）235.5平方厘米；（2）3厘米 【分析】（1）求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是10cm，高9cm的圆锥的体积，利用公式求解即可； （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【详解】（1）10÷2＝5（厘米） ×3.14××9 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（平方厘米） 答：这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入235.5毫升的污水。 （2）9×＝3（厘米） 答：圆柱形容器中水的高度大约是3厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 第二单元圆柱和圆锥 易错点3专项突破：圆锥的体积 1.计算下面各图形的体积。 6 dm 40 cm r=1 dm 6dm 2.求出下图正方体中挖去最大的圆锥后剩下的体积。（单位：厘米） 6 3.以图中直线为轴旋转一周，求旋转后得到的图形的体积。 6cm 2dm 第1页共9页 西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4.求如图图形的体积。（单位：cm) 20 5.计算下图的体积。 3cm 20cm 3cm 15dm 12dm 6.计算下面圆锥的体积。（单位：厘米） 8 3 12 第2页共9页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7.灯罩是一种可以用来遮挡光线的器具，而图1这样的灯罩能够更好地向下聚集光线，使得 光线更加柔和。手工课上，丽丽用麻布制作了一个类似形状的灯罩，数据如图2所示，那么这 个灯罩的内部空间是多少立方厘米？（灯罩的厚度忽略不计） 5cm 10cm 6cm 18cm 图1 图2 8.一个底面直径为10cm的圆柱形容器内装有水，水里面完全浸没了一块高为6cm的圆锥形 铁块，取出铁块后，水面下降了0.6©m。这块圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（铁块上 的水忽略不计) 9.一个密闭的粮仓形状如下图，如果每立方米小麦的质量为720千克，这个粮仓最多能装多 少千克小麦？（结果保留整数） 第3页共9页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0.6m 1.5m 1.2m 10.沙漏也叫作沙钟，它是通过测量沙子从上容器流到下容器所需的时间来计量时间。如图， 如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分 钟？ 10cm 2cm 10cm 5cm 4cm 11.如图，将一个底面直径是10厘米的圆锥形零件完全浸没在一个圆柱形容器的水中，水面 上升了2厘米，这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 第4页共9页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 20cm 12.科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图），该整 流罩模型的体积是多少？如果用一个长方体玻璃罩对这个模型进行防尘，制作这个玻璃罩至少 要用多少平方分米的玻璃？（不计接头处的损耗） 4dm 13.一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一 个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多 少？ 9cm 5cm 第5页共9页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.某餐厅为了gt完美餐品，上餐用如图的沙漏计时，并推出菜品30分钟不上齐免单”措施。 周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由。 10cm 如果这一部分漏下 去正好需要1分钟。 2cm 在3cm 4cm 沙漏下部沙子的体积 是94.2cm时，菜正 好上齐啦！ 15.(如图)一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米， 倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 8cm 4cm 第6页共9页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 16.有一种陀螺（如下图），上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆柱的体积与 圆锥的体积之比为4：1时，陀螺会转得又稳又快。已知圆锥的底面直径是4厘米，高是1.5厘 米。请你算一算，这个陀螺的体积是多少时才能使陀螺转得又稳又快？ 17.一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所 示)，如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 10 cm 18.如图，将一个高为50厘米的圆锥从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是20平方分米。这 第7页共9页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 个圆锥的体积是多少立方分米？（π取3.14，得数保留两位小数） …B 19.冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一 个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 3cm cm 9cm 20.淇淇自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如下图所示。将污水倒入上方的近似圆锥 形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与近似圆锥形容器底面积相同）。 第8页共9页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10cm 石头 沙子 过滤管 L砂 (1)这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入多少毫升的污水？ (2)如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是 多少厘米？（不考虑过滤掉的杂质体积） 第9页共9页