甘肃平凉市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题

平凉一中 2027届高二级第二学期第一次阶段性考试数学试题 命题教师：魏绮芸 审题教师：柳曦 1、 单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2.设是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C．1 D．2 3．设为实数，若函数在处取得极小值，则（     ） A．1 B． C．0 D． 4.等比数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记 ，则（     ） A． B． C． D． 6.给出下列说法，其中不正确的是（     ） A．若,则,与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B．若,则A，B，C，D四点共面 C．在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点为点，若点关于Oxz平面的对称点为点，则 D．若平面，的法向量分别为，，且，则 7.已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 10.已知空间向量，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 11.设函数，则（    ） A． B．当时，存在，使得 C．当时， D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．向量在向量上的投影为___________. 13．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为__________. 14．已知函数的定义域为，，，若，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 15 . ( 本小题满分 13 分 ) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值. 16.( 本小题满分 15 分 )如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 17.( 本小题满分 15 分 ) 设函数． (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值并求的单调区间和极值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 18．( 本小题满分 17 分 ) 已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 19．( 本小题满分 17 分 ) 对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由. (2)已知数列具有性质T， (i)求集合中元素个数的最大值； (ii)证明：存在正整数l，对任意，有． 试卷第1页 共4页 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $平凉一中2027届高二级第二学期第一次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量a=1,1,0),b=(-1,0,2),则3a+b=（) A.(0,1,2) B.(1,1,0) C.(-3,0, D.(2,3,2) 【答案】D 【详解】3ā+b=31,1,0)+(-1,02)=(2,32) 2设f)是可导函数，且1mf0-3△9-f0-2,则了0=（) △x A.2 C.-1 D.-2 【答案】B 【详解11m0-34)-f0-3×1m0+(341-f0-2 △文一0 △x -3△x0 -3x .lim (-0子即0=号 -3△x 3.设a为实数， 若函数f(x)=x-m2+3在x=1处取得极小值，则a=（) A.1 B.月 C.0 D.-1 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据极值点求出α的值，然后根据极值的概念检验即得， 【详解】由题可得f'(x)=x2-2ar=x(x-2a), 令'(x)=0,解得；x=0或x=2a, 因为函数/()-吉式-m+3在=1处取得极小值， 所以2a=1,即a= 2 当a=时，f)=xk-),f"(x)>0→x<0或x>1,f'(x)<0→0<x<1 2 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(-0,0)，1，+w)上单调递增，满足题意. 4.等比数列{a}中，4+3a=7,a24=2a,则a,=() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 试卷第1页 共12页 【详解】因为{a,}为等比数列，所以a,a,=(a)2-2%,解得a4=2或4=0（舍）， 则a=7-3a,=1,设公比为g,则q2=2=2, 所以a=a,92=2×2=4. 5.如图，M,P分别是四面体OABC的棱BC,BA的中点，且OM=3ON,记 QA=a,OB=B,OC=c,NP=() 1 。11 B.-a+b+二c 236 11.1 C.-a+*b+c D.-1a+16-1c 1 236 236 【答案】A 【详解】因为OM=3ON,所以M:OM=2:3; 又因为M,P分别是棱sC,B4的中点，所以PM-4C, 所u7-+而-0+a-丽+o0-o+a两 3 2 o丽+oc+50o-i-oi-0丽-oc-a+5-e 2 2 2 3 6 2 6给出下列说法，其中不正确的是() A.若ā/1b,则a,b与空间中其它任何向量c都不能构成空间的一个基底向量 B.若OA=OB+2OC-OD,则A,B,C,D四点共面 C.在空间直角坐标系中，B(1,2,3)关于x轴的对称点为点B',若点C(1,1,-2)关于Oxz 平面的对称点为点C',则B'C=√6 D.若平面a,B的法向量分别为h=(2,1,-1),n,=(-1,t,1),且a1B,则t=3 【答案】B 【详解】对于A,因ā/1乃，则a,与空间中其它任何向量c都是共面向量，故不能构成空 间的一个基底，即A正确，不合题意： 对于B,因OA=OB+20C-OD,因1+2-1≠1，由共面向量基本定理可知A,B,C,D四 点不共面，故B符合题意： 对于C,B(-1,2,3)关于x轴的对称点为点B'(-1,-2,-3),点C1,1,-2)关于Oxz平面的对称点 为点C1,-1,-2),故B'C1=V-1-1)2+(←2+1)2+（←3+2=6，故C正确，不合题意： 试卷第2页 共12页 米米淋 对于D,由a⊥B可得2·2=2×(-1)+1xt+(-1)x1=t-3=0,解得t=3,故D正确，不合 题意故选：B 7.已知函数f(x)=sin 2@x- 6 (0<0<1)的图象关于点 ,0对称，将函数f(x)的图象 向左平移”个单位长度后得到函数8(x)的图象，则g(:)的一个单调递增区间是() 3π 兀3π A. 22」 B.[-兀， 2’2 D.[0,2π] 【答案】B 【分析】首先确定函数∫(x),g(x)的解析式，再利用正弦函数单调性求解即可. 【详解1由题可/m0，令0-名e2 6 整理得ω= 1 二k+,k∈Z,结合0<o<1,得k=0时，w 4 Γ4 +骨）引+号)}时 令一 +2流≤号2keZ.解得-+4c≤≤π+4keZ, 2 当k=0时，g(x)的一个单调递增区间为[-兀， x2+6x+3(x≤0) 8.己知函数f(x)= emx(x>0) 若函数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点则m的 取值范围是() 2 A. B 22 3 33 3’3 【答案】B 【详解】由题当x>0时，f)=eh,所以y)-e1-血) x2 所以当xe(0,e)时，f'(x)>0,当x∈(e,+o)时，f'(x)<0: 所以f(x)在区间(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 3 当x=e时f(e)=1,当x→0时，f(x)-→-o: 当x→+o时，f(x)→0；所以可作出函数的图象，如下图， 试卷第3页 共12页 若要使函数g(x)=f(x)-3有4个不同的零点， 所以=f()的图象与直线=3m有4个交点，即0<3m<1,解得0<m<兮 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.如图所示是y=f(x)的导函数y=∫'(x)的图象，则下列结论中正确的是() A.∫(x)在区间(1,2)，(4，+∞)上单调递增 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上单调递减 23 D.x=2是f(x)的极小值点 【答案】ABC 【详解】由图象知，当x∈(-1,2)和x∈(4，+∞)时，'(x)>0,所以函数f(x)在(-12)，(4，+) 上单调递增，故A正确； 当x∈(2,4)时f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(2,4)上单调递减，故C正确： 当x∈(-3，-1)和xe(2,4)时，(x)<0,当xe(1,2)时'(x)>0,所以函数f(x)在(-3，-1)和 (2,4)上单调递减，在(1,2)上单调递增， 所以x=-1是f(x)的极小值点，x=2是∫(x)的极大值点，故B正确，D错误. 故选：ABC. 10.已知空间向量α=（-2，-1,1)，b=(3,4,5),下列结论正确的是() A.a.b=5 B.a+b=35 C.若i=（42,k),且m/a,则k=-2 D.若直线l的方向向量为a,平面a的法向量为n=(1,1,t),且111a,则t=3 【答案】CD 【详解】由题意得，a.b=-2×3+（1)×4+1×5=-5,故A错误： 试卷第4页 共12页 ā+b=(1,3,6),则a+=V1+32+62=√46，故B错误： 因为ma,所以专子-片利=2，放c正确： 由题意得，a1i,则a.1=-2-l+t=0,得t=3,故D正确. 故选：CD 11.设函数f(x)=血r ,则() A.f(1+x)f(1-x)≤0 B.当x>e时，存在x。∈R,使得f(x)<0 C.当0<x<2时，f(x)<f(4-x) D <f(3) 【答案】ACD 【分析】求出x的范围，再分段讨论判断A;求出函数在x>时的值域判断B;构造函数并 利用导数确定单调性判断C:令1=x有两个解为，x,利用导数证明xk,>c判断D, 【详解】对于A,设=f0+/0-x)=+.h1-,F(的定义域为←1)， 1+x 1-x 当x∈(-L,0)时，易得1+<0,1-卫>0，则此时F)<0, 1+x 1-x 当x∈(0,1时，易得1+>0，-<0，则此时F)<0, 1+x 1-x 当x=0时，r=+0.0-0=0, 1+01-0 综上，F(x)=f1+x)f1-x)≤0，故A正确； 对于B,函数f)加，求导得∫9=1-r,当e时，f<0, x2 函数fm)在(G,+m)上单调递减，x>e,0<f)<,故不存在x,使得f(飞，)<0，B e 错误； 对于C,令8(x)=f(x)-f(4-x),0<x<2,求导得 8'(w=f)+f(4-)=1-nx+1-n(4-) (4-)2, 由4-9-r=l6-8r>0,得(4->r,则g>n+1-h4-9_2-h(-) (4-x)2(4-x)2 (4-x)2 由4x-t=4-(2-e0,40,得n(4x-)<血4，因此8'(0>4-对 2-n4 >0 函数g(x)在(0,2)上单调递增，g()<g(2)=0,即f(x)<f(4-x),C正确： 对于D,由上可知函数f(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 试卷第5页 共12页 则有f)m=回=，且当x→0时，f)→-0，当x→切时，fm→0， 如图： 若t=血有两个解X,,则有 y=fx) 即t=h,即nx=在，t=h,即ln花=代， x, 则血x2-hx=t(x2-x),即t= Inx2 Inx X2-X1 且有血+血=血5=，+，即无十水=血， t 因为号>L3>1,不纺设g(y=nr-2-（x>, x+1 厕g'Cwx0,即在0，+O)上递增 所以8(y>80)=0,即在(1，+∞)上，1r≥2r-, x+1 2-1 令x=名>1，则有点，玉 2(32,即nx-血> 2(x2- x+1 X2+x X2+x1 两边同时除以正数x,一x得 h,->2 X2-x1X2+X1 即ts2 X,+X1 因为气+草，则有1>式 2t t 因为1>0，则有1n,即n西>2，即西>≥e, e2 所以当无=3时，有头>，即%号，又因为<c,则有e> 3 因为f(x)在(1，e)上单调递增，且fx)=f3)=t,所以f 6-3 <f(x)=f(3),故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.向量a=(2,2,0)在向量b=(2,0,2)上的投影为 【详解】向量a在向量五上的投影√2. 13.己知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，若M,A,B,C四点共面，O不 在该平面上，且OM=xO+O5-0Ck>0.y>0)则4+的最小值为一 x V 试卷第6页 共12页 【塔1 【详解】根据共面向量定理的推论，因为M,A,B,C四点共面，O不在该平面上，满足 OM=xOA+yOB-OC, 所以x+y-1=1,即x+y=2(x>0,y>0), x 因为4y+之2-4当且仅当y=5,即- 2 3 时等号成立， 3 9 4.1 代入得4+上≥15+4)三2，故十的最小值为” x y 2 x v 2 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和 性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 14.已知函数f(x)的定义域为(0，+o),f(1)=0,g(x)=f(x),若g(x)=nx,则不等 品 式f(x+同)s 的解集为 【答案】（么，） 【详解】解：了)=8四x>0,)=8'(田)-8田-血-. h(x)=xInx-g(x),x>0,h'(x)=1+Inx-g'(x)=1+Inx-Inx=1>0, .h(x)在(0，+w)上单调递增，又h(1)=0-g(1)=-f(①)=0， 当0<x<1时，h(x)<0,即f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x>1时，h(x)>0,即f'(x)>0,函数f(x)单调递增， x+√e>0 20 ’解得x>1, Inx 令u)六x>1,“)-:-0,解得x=心， In2x .l<x<e时，(x)<0,u(x)单调递减，x>e时，(x)>0,u(x)单调递增， (=a@-c,+1+6>l2e1 试卷第7页 共12页 又数f(在+)上单调道摊，水+J)】 :+6<,又x>lhx>0,即xhx+Enx-x<0: 令)-=xhx+inx-x,>1,v(x)-1+nx+e1=6h>0, ∴v(x)在(，+o)上单调递增，又(E)=√nVE+velnve-√e=0, :xlnx+√Enr-x<0的解为L,VE), 故不等式（收+0品）的解为、同.。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC为锐角三 角形，己知b=2,且满足条件(a+b+c)(a-b+c)=3ac. (1)求B的大小： (2)求△ABC面积的最大值： 【详解】(1)由(a+b+c)(a-b+c)=3ac→(a+c)-b2=3ac→a2+c2-b2=ac 由余弦定理，c0SB=Q+C6=)=2；且B为三角形内角，所以B=亚 (2)由b=2,a2+c2-b2=得ac=d2+c2-4≥2c-4, 所以aC≤4（当且仅当a=c=2,即△ABC为等边三角形时取等号）. 所以se—osis×4xsm票-5 2 2 3 所以△ABC面积的最大值为√ 16.(本小题满分15分)如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形， ∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD: (2)证明：平面PAD1平面PAB --- 【详解】(1)证明：取BC的中点O,连接PO, B 因为平面PBCL底面ABCD,△PBC为等边三角形，所以 PO⊥底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴， 过点 M.P 试卷第8页 共1 O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=√5， 所以A1,-2,0),BL0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3). 所以BD=（-2,-1,0),PA=(1,-2,-5). 因为BD.PA=(-2)×1+(-1)-2)+0√3=0，所以PA1BD,所以PA⊥BD. (2)取PA的中点M,连接DM, 因为DM 0) 2 PB=(1,0,-5), 前应西子1+0x0:()0,所以D丽1防，即0e 因为成两-(20，所以m万：田M11. 又因为PA≤PB=P,PA,PBC平面PAB,所以DM⊥平面PAB, 因为DMC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB. 17(本小题满分15分)设函数f(W)=nx+冬，keR. (1)若曲线y=f(x)在点(e,f(©)处的切线斜率为0，求k的值，并求f(x)的单调区间和极 小值： (2)若g(x)=f(x)-x在(0，+o)上单调递减，求k的取值范围. 【样样】0山可得e0=士奈-0 因为曲线y=f)在点(efe)处的切线斜率为0所以f⊙=e二k=0,解得k=c: 知)=>0，令e四-0.解得=e 由f'(x)<0,解得0<x<e,由f"(x)>0,解得x>e, 所以f(x)的单调减区间为(0，e),单调增区间为(e,+w),当x=e时，f(x)取得极小值f(e)=2; (2)由g(x)=f(x)x=lnx+-x在(0，+m)上单调递减， 1 即g)士套10在0网上立 x2 试卷第9页 共12页 即k≥-x2+x在(0，+∞)上恒成立，所以k≥(r+x), 令)=+x(>0),易知)在0，宁上单调递增，在兮+)上单调速减， 则()==（+ 11 1 24 ,所以k≥ 41 1 即k的取值范围为 18。（本小意满分17分)已知精圆C:等+。-1a>b>0过点8@1)，以c的长轴为 直径的圆与y轴上半轴交于F,且E=1. (1)求C的方程： 2 (2)若过点F的直线1与C交于M,N两点，满足直线EM,EN的斜率之和为三，求△EMN 的面积。 【详解】（1)因为椭圆过点8(0,1，所以行1，即公-1 又因为以长轴为直径的圆与y轴上半轴交于F(0,a),且EF=1,即a-1=1, 所以a=2,故椭圆的方程为 4+y2=1. (2)由(1)知F(0,2),设过点F的直线1的方程为y=a+2,设M(,y),N(x2,y2), 「y=c+2 联立方程组x2 代入化简得：1+4k)x2+16+12=0, 4 +y2=1’ 16k 12 由韦达定理：x+x2=- 1+4=1+4: 又因为直线M的斜率为：点。=5，直线N的斜率为：w上 且y=c+2,y=2+2所以 16k kw+kw=1+当1-区+1a,+12k+5+32k4 34k xx2 12 3 3 1+42 解得k=1,此时直线1：y=x+2,方程变为5x2+16x+12=0, 判别式△=16-4×5x12=16>0满足题意，且+x,=-16, 此时弦长01+F+-4一1+F户-4号+ 5 5 试卷第10页 共12页