精品解析：四川内江市威远中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段检测数学试题

威远中学校2027届高二下期第一次阶段检测 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 3. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 4. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 35 B. 11 C. D. 5. 如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 8. 若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在点处的切线的斜率为0 D. 有1个极大值点 10. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项的和为 D. 的前项的和小于 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分,满分15分）． 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 17. 已知是数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数，且. （1）求的值及曲线在点处的切线方程； （2）设，求过点的切线方程. 19. 若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”. （1）若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”； （2）若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2027届高二下期第一次阶段检测 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为数列为等比数列，且，， 所以， 又因为， 所以. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 4. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 35 B. 11 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 5. 如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原函数的图形可得导数的符号，从而可得正确的选项. 【详解】由的图象知，的单调性为：先增后减再增再减， 故的函数值先正，再负，再正，再负． 故选：A 6. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知， . 7. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 8. 若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在点处的切线的斜率为0 D. 有1个极大值点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数图象得出的正负，求出函数的单调性，可判断AB；利用导数的几何意义可知C正确，根据极值点定义可得D正确. 【详解】根据图象可知在上满足，所以可知在上单调递减，即A错误； 在上满足，且不恒为0，即在上单调递增，B正确； 易知曲线在点处的切线是水平的，其斜率为0，C正确； 根据已有分析，在处取得极小值，其仅有1个极小值点，没有极大值点，D错误． 故选：BC 10. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项的和为 D. 的前项的和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由前项和，利用与求出通项，再逐一验证各选项：A 判断数列类型，B 比较​与​，C 求的前n项和，D 用裂项相消法求的前项和并判断范围，最终确定正确选项. 【详解】对于A：根据题意，，当时，， 所以满足，所以数列是等差数列，正确； 对于B：，显然，不正确； 对于C：因为，所以，所以其前项的和为，正确； 对于D：因为，所以， 所以的前项的和为，正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分,满分15分）． 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】39 【解析】 【详解】由等比数列满足， 可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得. 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数在上恒成立，再通过分离参数，求出在区间内的最大值，进而确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，得到，转化为，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，进而求得的取值范围. 【详解】由数列满足， 当时，可得； 当时，， 两式相减得，所以， 所以数列的通项公式为， 当时，； 当时，， 当时，适合上式，所以 由不等式，即， 当为奇数时，不等式恒成立，即为， 可得，所以， 当时，可得取得最大值，所以； 当为偶数时，不等式恒成立，即为， 可得，所以， 设， 令，因为是不小于2的偶数，所以为正奇数，且， 当时，即时，取得最小值，最小值为，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，可求出的值. 【小问1详解】 等差数列中，，， ，解得，， . 【小问2详解】 ，， . 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在、上单调递增，在上单调递减 （2）最大值为9，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导后利用导数正负判断即可得； （2）结合（1）中所得，列出函数与在的变化情况即可得解. 【小问1详解】 ， 令，解得， 由得或，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，函数与的变化如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值， ， 又， 可知函数的最大值为9，最小值为. 17. 已知是数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系及构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 则，由，得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 故，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以数列的前项和 18. 已知函数，且. （1）求的值及曲线在点处的切线方程； （2）设，求过点的切线方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导由计算可得，代入并利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）设出切点坐标，根据切线过点得出方程解得切点坐标，即可求出切线方程. 【小问1详解】 易知的定义域为， 由可得， 又，可得，解得； 因此在点处的切线的斜率为，又此时， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得的定义域为，且，则； 设切点坐标为， 所以切线斜率为，此时切线方程为， 又点在切线上，即， 整理可得，即，解得或（舍）； 当时，切线方程为； 综上可得过点的切线方程为. 19. 若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”. （1）若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”； （2）若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：. 【答案】（1） ，令，则， 令，则；由①， 当时，②， 由①②得，当时，， 所以数列和数列是等比数列. 因为，所以， 所以，因此， 从而，所以数列是“型数列”. （2）（i）； （ii）， 因为，所以， 所以，令，当时，， 当时， 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，合理构造等比数列，结合新定义求解即可. （2）利用给定新定义结合放缩法证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为数列的各项均为正整数，且为“G型数列”， 所以，所以，因此数列递增.又， 所以，因此递增， 所以公比.又不是“型数列”，所以存在， 使得，所以，又公比为正整数， 所以，又，所以，则. （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理构造等比数列，然后利用放缩法得到所要求的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $