精品解析：四川省内江市威远中学校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

威远中学2023—2024学年2025届高二下期第二次月考 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则求解判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 2. 的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质直接计算即可. 【详解】由二项式定理知其展开式有21项， 根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项. 故选：C 3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒成立，对参数的取值进行简单讨论，即可求得结果. 【详解】，故可得；由题可知在上恒成立， 当时，显然有恒成立； 当时，令，解得， 故当或时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 4. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 5. 已知曲线在处的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为， 所以，所以， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为， 因为与函数的图象只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 所以只有一个根， 故或， 所以或， 故选：C. 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法， 其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法， 故共有条路线. 故选：B 7. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 8. 过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可 【详解】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故. 此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有720种不同的排法 B. 男生甲排在两端的排法总数共有120种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D. 男女生相间排法总数为72种 【答案】AD 【解析】 【分析】利用排列组合以及分步计数原理用捆绑法和插空法求解. 【详解】选项A，3男3女排成一排共计有种不同的排法，故A正确； 选项B，先将男生甲排在两端有种排法，再将剩余的人排列有种排法， 根据分步计数原理可知男生甲排在两端的排法总数有种，故B错误； 选项C，现将甲乙捆绑看成一体的排法有种，再将剩余的4人与捆绑元素排列的排法有种， 根据分步计数原理可知男生甲、乙相邻的排法总数为种排法，故C错误； 选项D，现将男生排列有种排法，将3个女生排入形成的4个间隔，要求男女生相间，则中间的2个间隔必须排人，即要么排前3个间隔要么排后3个间隔，有种排法，根据分步计数原理可知男女生相间排法总数有种，故D正确； 故选：AD. 10. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. . 【答案】AD 【解析】 【分析】分别令，可判断A，B，利用二项展开式的通项公式可确定展开式系数的正负，去掉绝对值号，再赋值即可判断C，取导数后赋值即可判断D. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，令，可得，又， 所以，故B错误； 对于C，因为，展开式的通项公式为， 所以， 所以， 令，则， 故，故C错误； 对于D，因为 ， 所以， 令，可得，故D正确. 故选：AD. 11. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B. 第二次抽到红球的概率是 C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D. 小明获得块月饼的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出，，，，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，即可求出结果；选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果. 【详解】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项A正确； 对于选项B，因为，又，，， 由全概率公式知，所以选项B错误， 对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 所以选项C正确， 对于选项D，若小明获得块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得块月饼的概率是，故选项D正确， 故选：ACD. 12. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 的单调递减区间是 B. 存在，，使得直线与，都相切 C. 当时，关于的不等式在恒成立 D. 当时，则关于的不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，函数的定义域为，由的解为或，故选项A错误；对于B，通过令，求出直线与函数的切点，并带入对应函数中求值即可，故选项B正确；对于C，通过导数求函数的单调性，分别计算函数在的最值即可，故选项C正确；对于D，通过解关于的不等式即可，故选项D错误. 【详解】因为函数，， 对于A，因为，由，解得或， 所以的单调递减区间为，故选项A错误； 对于B，若直线与函数都相切切点分别为，且直线的斜率为0， ，则，解得， 所以直线与函数的切点为，与函数的切点为， 所以，化解为， 解得，故选项B正确； 对于C，当时，， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 当时，则， 令，在恒成立， 所以在单调递减， 所以； 所以在恒成立， 故在上单调递减，则， 所以在上，； 关于的不等式在上恒成立，故选项C正确； 对于D，当时，关于的不等式， 即，可转化为， 令，则， 令，解得；令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减，且，， 故只是不等式解集的一部分，故选项D错误. 故选：BC. 【点睛】易错点睛：本题考查导数的应用，解题的关键是求出导数，利用导数求函数单调区间、极（最）值的方法，并灵活应用，计算分析难度大，属于中档题. （1）利用导数求函数的单调性，分式导数容易出错，且函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； （2）直线与两个函数相切，可以是一个公共切点，也可以分别相切一点，容易出现理不清思路； （3）解关于不等式，利用导数求解时，要注意构造辅助函数来判断. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 设随机变量X的概率分布为，则_____． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1即可求得m值，即可求解． 【详解】∵随机变量X的概率分布为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 已知函数，使得成立，则实数的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先不等式参变分离为在能成立，再构造函数，利用导数求函数的最大值，即可求解. 【详解】在能成立，即在能成立， 即，， 令，则，令有， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故，即实数的最大值为. 故答案为： 15. 已知的展开式中的系数为，则实数a的值是________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出的通项公式为，从而可得的通项为，分别求出和的展开式中的系数, 再根据运算即可求得 的值. 【详解】的通项公式为， 所以， 令，则的展开式中的系数为； 令，则的展开式中的系数为； 故的展开式中的系数为, . 故答案为：2. 16. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题（17题10分，其余各题12分） 17. 用二项式定理展开， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答） 【答案】（1） （2）495 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式，令的次数为0，即可解得常数项. （2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数最大项. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. 【小问2详解】 设第项的系数最大，则， 解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项二项式系数为. 18. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值点的定义待定系数计算并验证即可； （2）根据（1）的结论得出极大值，极小值，再计算端点值比较即可. 【小问1详解】 易知，由题意可知是其一个变号零点， 即或， 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极小值，符合题意； 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极大值，不符合题意； 综上，此时； 【小问2详解】 由上可知在和上单调递增，在上单调递减， 即时取得极大值，处取得极小值， 又， 所以在上的最大值为，最小值为. 19. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： （1）小明通过第一次考试的概率； （2）小明在一年内参加考试次数的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由全概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式、全概率公式及离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【小问1详解】 记事件A为考前复习，事件为第i次通过， 则小明通过第一次考试的概率； 【小问2详解】 易知可取，则由上知：， 则 ， ， 所以分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.24 0.56 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值的正负即可得解. （2）由（1）求出函数的极大值与极小值，求出极大值与极小值的差，构造函数并求出其范围即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，单调递增； 当时，令，解得或， 则当时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，由（1）知，，， 因此，设， 求导得，函数在上单调递增，， 所以的取值范围是. 21. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 【答案】（1）； （2）0.9； （3）小张答对题数的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案； 【小问1详解】 设小张答对的题数为，则. 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知，，， 则， ； 【小问3详解】 设小张答对的题数为，则的可能取值是， 且，， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则，， ， . 22. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知为定义在上的偶函数，下取， 可知，令， 因为，则， 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为， 结合偶函数性质可知：. （3）证明：由（2）可得：当时，，当且仅当时，等号成立， 即，令，则， 当时，， 即，则有： ，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值； （2）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明； （3）由（2）可得：，分和两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 下取， 当时，，则， 当时，则，可知在内单调递增， 当时，令，则， 可知在内单调递增， 因为，则，使得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为， 又因为为偶函数，所以在内的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2023—2024学年2025届高二下期第二次月考 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 5. 已知曲线在处的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 8. 过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有720种不同的排法 B. 男生甲排在两端的排法总数共有120种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D. 男女生相间排法总数为72种 10. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. . 11. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B. 第二次抽到红球的概率是 C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D. 小明获得块月饼的概率是 12. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 的单调递减区间是 B. 存在，，使得直线与，都相切 C. 当时，关于的不等式在恒成立 D. 当时，则关于的不等式的解集为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 设随机变量X的概率分布为，则_____． 14. 已知函数，使得成立，则实数的最大值为___________． 15. 已知的展开式中的系数为，则实数a的值是________. 16. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题（17题10分，其余各题12分） 17. 用二项式定理展开， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答） 18. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值. 19. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： （1）小明通过第一次考试的概率； （2）小明在一年内参加考试次数的分布列. 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围． 21. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 22. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $