精品解析：2026年重庆市第一中学校八年级下学期阶段性消化作业数学试卷

2026年重庆一中初2027届初二下期阶段性消化作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得 故选：C． 2. 下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 如图，在平行四边形中，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形  ，，故选项A、B正确 ，不符合题意； ，故选项D正确 不符合题意； 而与是邻边，一般平行四边形的邻边不一定相等，只有菱形才满足，故C错误，符合题意 ． 4. 下列式子中，从左往右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 5. 估计的值应在（ ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【详解】解： ∵，且 ∴ ∴ ∴估计的值应在和之间． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同角的补角互补 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据补角的性质，平行线的性质与判定逐项判断即可． 【详解】解：同角的补角相等，原命题是假命题，故选项A错误； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原选项是假命题，故选项B错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原选项是假命题， 故选项C错误； 平行于同一条直线的两直线平行，真命题，选项D正确． 7. 某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据设定的单价分别表示出甲、乙两种鲜花的购买数量，再根据甲数量和乙数量的等量关系列方程即可 【详解】解：∵设购买一束甲种鲜花需元，购买一束乙种鲜花比甲多花费20元， ∴购买一束乙种鲜花需元， 根据题意得： 8. 已知，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 9. 如图，在中，，点是上一点，连接，过点作于点，若，，，则的面积为（ ） A. B. 13 C. D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，作，交于点，由等腰三角形的性质可得，，，从而可得，设，则，，，从而可得，由角平分线的性质可得，求出，从而可得，，，证明，得出，再结合勾股定理计算得出，最后由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，作，交于点， ∵在中，， ∴，，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 10. 已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得的值可能是，，，再逐项判断即可求解 【详解】解：∵，，，，为正整数，为整数，且， ∴ ∴的值可能是，，， ∵，，为正整数， ∴若整式为单项式，只能是，其中， 此时，解得，不为整数，与条件矛盾，所以不存在满足条件的单项式，故①正确； 当时，整式为，由可得： 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个，其中能进行因式分解的有，，，，，共个，故②错误； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 若，则，此时无解， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个， 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误， ∴正确的个数有个． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用提出公因式法因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式分法是解题的关键． 12. 若分式 的值为0，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，利用分式值为零的条件可得，且，再解方程和不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 故答案为：． 13. 在平行四边形中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和题意，可以计算出和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 已知，，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，把已知条件代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，以为边向上作等边，点在第一象限，连接交轴于点，交于点，若，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形的性质证明，求出，进而得到，过点作轴于点，解直角三角形求出和的长，再求出的长，利用等腰直角三角形性质求出的长，最后求出的长即可得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， 是等腰直角三角形，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ，， 点的纵坐标为， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】解：先分别解不等式，再根据不等式组的解集是，得到，解得，再解分式方程得到，根据关于的分式方程有非负整数解，得到且，是非负整数，即可求出的取值范围，最后求所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解得， 两边同乘得， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且，是非负整数， 解得，且，是奇数， 综上所述，的取值范围是，且，是奇数， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 17. 如图，在锐角中，，点是线段的中点，连接，过点作交的延长线于点，点是上一点，连接，，满足，，若，，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知角度关系  和 ，结合  为直角三角形，推导出 ．利用直角三角形斜边中线定理得出 ，进而证明  为等腰三角形，结合已知角度关系推导出 ．由  共线及  证明 ． 证明 ，得出 ．结合  求出  的长度，利用勾股定理构建方程求解 ． 【详解】解：      ，      是  的中点，      ，即     点  是  上一点，点  是  的延长线上一点   共线，且  与  是同一个角      在  和  中  ， ，      ，且 ，       过点  作  于点      是  的中点    在  中，  由面积法可知     在  中，      ，两边除以  得           18. 我们规定：一个四位正整数，各位上的数字均不为0，若满足千位数字比百位数字多2，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“平凡数”，例如：四位数3121，因为，，所以3121是“平凡数”．按照这个规定，最大的“平凡数”是_____；若“平凡数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得千位上的数字最大为，从而可得百位上的数字为，进而得出十位上的数字最大为，则个位上的数字为，从而得出最大的“平凡数”是；由“平凡数”的定义可得，，表示出，得出，结合题意可得为整数，求出，，且，分情况代入求出符合条件的的值，找出最大值与最小值并求和即可． 【详解】解：∵一个四位正整数，各位上的数字均不为0， ∴千位上的数字最大为， ∵千位数字比百位数字多2， ∴百位上的数字为， ∵十位数字是个位数字的2倍， ∴十位上的数字最大为，则个位上的数字为， 故最大的“平凡数”是； 由“平凡数”的定义可得，， ∴ ， ∴为整数， ∴为整数， ∵，，且、为正整数， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为， 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 综上所述，满足条件的的最大值为，最小值为， 故满足条件的的最大值与最小值的和为． 三、解答题：（本大题共8个小题，19、20题8分，21-25题各10分，26题12分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解不等式组、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到不等式组的解集； （2）解分式方程先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 将方程变形为 ， 方程两边同乘，得， 移项合并得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 20. 如图，中，，为延长线上一点，为中点． （1）请你利用尺规作图：作的平分线，作射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：为中点， ①_____， ， ②_____， ， 即， 平分， ， ③_____， 在和中， ， ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据等边对等角及角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，结合题意即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 证明：为中点， ， ， ， ， 即， 平分， ， ， 在和中， ， ． 21. 2026年全国两会期间，“人工智能”再次成为高频热词，人工智能这个“关键变量”正在成为经济高质量发展的“强劲增量”．为激发学生对人工智能的兴趣，学校开展了“智在少年，能创未来”的知识竞赛活动，从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：81，82，86，86，86． 八年级20名学生竞赛成绩是：66，68，72，75，76，77，78，80，81，82，83，85，85，85，88，93，94，96，97，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 86 八年级 83 82.5 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的人工智能知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩达到A等级的学生人数共是多少？ 【答案】（1）81.5，85，30 （2）八年级学生的人工智能知识竞赛成绩更好，理由见解析（答案不唯一，合理即可） （3）305 【解析】 【分析】（1）先求出七年级20名学生竞赛在C、D组中的数据的人数，再利用中位数定义求出的值，利用众数定义求出的值，再求出七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据的人数，即可求出的值； （2）根据平均数、中位数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛成绩在C、D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是81，82， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是85，共计3次， ∴， 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据有5人， ∴七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：该校八年级学生的人工智能知识竞赛成绩更好， 理由：∵该校七、八年级学生的人工智能知识竞赛成绩的平均数相同，但八年级竞赛成绩的中位数大于七年级竞赛成绩的中位数， ∴该校八年级学生的人工智能知识竞赛成绩更好（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩达到A等级的学生人数共305人． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则和分式的混合运算法则，分别化简整式部分与分式部分，合并得到最简结果，然后根据二次根式的性质和负整数指数幂的计算法则计算出x的值，再将x的值代入最简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 23. 如图，在中，，，，是边上的两个动点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度（），点与点两点之间的距离为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）；； （2）函数图象见解析，性质见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，由等腰三角形的性质和勾股定理得到，，再根据，相遇前后分情况讨论，求出；再求出，根据； （2）分别画出函数，的图象，结合函数图象分析的性质即可； （3）根据函数图象可以发现当时，或，再结合函数图象当时，函数图象在函数图象下方求解即可． 【小问1详解】 解：过作于， ∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，相遇于点处， 此时； 当时，即，相遇之前， 此时； 当时，即，相遇之后， 此时； 综上所述； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：函数，的图象如下所示： 当时，函数有最小值； 【小问3详解】 解：根据函数图象可以发现当时，或， ∴当时，． 24. 某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． （1）求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ （2）为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每天加工甲种面包100份，乙种面包50份 （2）当时，每天获得的利润最大，最大利润是2360元 【解析】 【分析】（1）设每天加工乙种面包份，则甲种面包为份，根据“加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天”列分式方程求解即可； （2）先表示出升级后甲、乙每天的加工数量，根据题目给出的两个限制条件列出不等式组，得到的取值范围，再列出总利润关于的一次函数，根据一次函数的性质求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设该面包店每天加工乙种面包份，则每天加工甲种面包份. 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该面包店每天加工甲种面包100份，乙种面包50份； 【小问2详解】 解：升级后，每天加工甲种面包的数量为份，每天加工乙种面包的数量为份. 根据题意列不等式组： ， 解第一个不等式得： ， 解第二个不等式得： ， 因此不等式组的解集为， 设每天获得的总利润为元， 根据题意得： ， ∵， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， ， 答：当时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大，最大利润是2360元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，点在轴负半轴上，，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． （1）如图1，请求出直线的解析式： （2）如图2，点是点关于点的对称点，点是射线上一点，点，点是直线上两动点（点在点的下方），且，连接，，，当时，求的最小值： （3）将绕点逆时针旋转得到，作直线，再将沿直线平移得，当平移后的点刚好落在直线上，此时点为直线上一动点，若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）先分别求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）利用对称求出，过点P作轴，交于点，设，则，得出，可得，解得，得出，此时，过点N作轴，过点M作轴，与交于点R，得出是等腰直角三角形，则，将点P沿方向平移个单位长度得点，即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，连接，得出，由平移性质得，作点关于的对称点，连接，，，由对称性可知，，，则，当且仅当、、共线时取得最小值，求出，即可求解； （3）利用旋转求出，，求出直线的解析式为，利用平移求出，由图可知是定角，不是直角，当时，设为，延长交轴于点Y，过点作轴于点S，求出，求出直线的解析式为，与联立求解即可；当时，设为，设，利用，列式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是点关于点的对称点， ∴，代入， 得， ∴， 如图，过点P作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，即，此时如图， 过点N作轴，过点M作轴，与交于点R， 当时，，得， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 将点P沿方向平移个单位长度得点，即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，连接， ∴，即， 由平移得平移得，由平移性质得， 作点关于的对称点，连接，，， 由对称性可知，，， ∴，当且仅当、、共线时取得最小值， 当时，，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转90°得到， ∴，，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 即，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， ∴设点到是水平向左平移m个单位长度，再竖直向下平移m个单位长度， 则， 代入，得， 解得， ∴， 由图可知是定角，不是直角， 当时，设为，延长交轴于点Y，过点作轴于点S， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； 当时，设为，设， ∴，，， ∵， 得， 解得， ∴， ∴； 综上，或． 26. 在等边三角形中，点是边上一点，连接． （1）如图1，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，，若，求的度数； （2）如图2，点是延长线上一点，连接，．点是边上一点，连接交于点，分别延长，相交于点，点是延长线上一点，连接．若，，，请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图3，当点是直线上一点时，，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段．当取得最小值时，在线段上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接．过点作于点，连接．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质得出，，再求出，再证明，得出，即可求解； （2）延长至点，使，过点B作于点W，利用等边三角形性质和，证明，即可证明，得出，，再利用角度推出，则可得，，再证明，得出，最后利用，即可证明； （3）先证明，推出点E的轨迹为过点，且的夹角为的如图的定直线，当时，取得最小值，求出，由将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，得出，是定值，则点Q的轨迹是以E为圆心，为半径的圆上部分，当、、依次共线时，取最小值，过点作于点，再求出和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 证明：延长至点，使，过点B作于点W， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， 当点E在上方时， ∴，即是定角， 当点E在下方时，同理可得是定角， 可知点E的轨迹为过点，且的夹角为的如图的定直线， 当时，取得最小值，此时如图， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在的平面内，得， ∴，是定值， ∴点Q的轨迹是以E为圆心，为半径的圆上部分， 当、、依次共线时，取最小值，此时如图， 过点作于点， 由，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆一中初2027届初二下期阶段性消化作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，从左往右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同角的补角互补 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 7. 某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点是上一点，连接，过点作于点，若，，，则的面积为（ ） A. B. 13 C. D. 23 10. 已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 因式分解：______________． 12. 若分式 的值为0，则_____________． 13. 在平行四边形中，，则__________． 14. 已知，，则代数式的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，以为边向上作等边，点在第一象限，连接交轴于点，交于点，若，则点的坐标是_____． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 17. 如图，在锐角中，，点是线段的中点，连接，过点作交的延长线于点，点是上一点，连接，，满足，，若，，则的长度为_____． 18. 我们规定：一个四位正整数，各位上的数字均不为0，若满足千位数字比百位数字多2，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“平凡数”，例如：四位数3121，因为，，所以3121是“平凡数”．按照这个规定，最大的“平凡数”是_____；若“平凡数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，19、20题8分，21-25题各10分，26题12分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解不等式组、解方程： （1） （2） 20. 如图，中，，为延长线上一点，为中点． （1）请你利用尺规作图：作的平分线，作射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：为中点， ①_____， ， ②_____， ， 即， 平分， ， ③_____， 在和中， ， ． 21. 2026年全国两会期间，“人工智能”再次成为高频热词，人工智能这个“关键变量”正在成为经济高质量发展的“强劲增量”．为激发学生对人工智能的兴趣，学校开展了“智在少年，能创未来”的知识竞赛活动，从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：81，82，86，86，86． 八年级20名学生竞赛成绩是：66，68，72，75，76，77，78，80，81，82，83，85，85，85，88，93，94，96，97，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 86 八年级 83 82.5 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的人工智能知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩达到A等级的学生人数共是多少？ 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在中，，，，是边上的两个动点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度（），点与点两点之间的距离为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． （1）求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ （2）为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，点在轴负半轴上，，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． （1）如图1，请求出直线的解析式： （2）如图2，点是点关于点的对称点，点是射线上一点，点，点是直线上两动点（点在点的下方），且，连接，，，当时，求的最小值： （3）将绕点逆时针旋转得到，作直线，再将沿直线平移得，当平移后的点刚好落在直线上，此时点为直线上一动点，若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 26. 在等边三角形中，点是边上一点，连接． （1）如图1，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，，若，求的度数； （2）如图2，点是延长线上一点，连接，．点是边上一点，连接交于点，分别延长，相交于点，点是延长线上一点，连接．若，，，请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图3，当点是直线上一点时，，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段．当取得最小值时，在线段上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接．过点作于点，连接．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $