题号猜押06 北京中考数学20～21题（解答题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 北京中考数学20~21题（解答题） 考点1 尺规作图 1．（25-26·北京门头沟·模拟测试）如图，在同一平面内有三点A、B、C．    （1）作射线CA，连接BC； （2）延长线段BC，得到射线CD，画∠ACD平分线CE； （3）在射线CD上取一点F，使得CF = AC； （4）在射线CE上作一点P，使PF + PA最小； （5）第（4）步作图的依据是 ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析；（5）两点之间线段最短. 【分析】（1）根据射线、线段的概念求解可得； （2）根据射线、角平分线的作法可得； （3）根据作一条线段等于已知线段的作法可得； （4）连接AF交CE于点P，点P就是所求的点； （5）根据线段的性质：两点之间线段最短，即可得出结论． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）如图所示， （4）如图所示，    （5）两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，掌握直线、射线、线段及角平分线的作法是解题的关键． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，点，在直线上． 按要求补全图形，并回答问题： (1)画直角（点在直线下方），画的平分线； (2)在射线上截取，画直线，在直线上作点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)设，则线段的长为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查了尺规作图（作垂线，作角平分线，画直线，作线段），熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． （1）首先过点作直线的垂线，然后作的平分线即可； （2）首先作直线，然后分点在点上方和点下方两种情况，分别取点，使得即可； （3）由图形即可直接得出答案． 【详解】（1）解：如图，和即为所求作； （2）解：如图，点、即为所求作； （3）解：由图可知，线段的长为或， 故答案为：或． 3．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中， (1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)14 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据点到边的距离与到边的距离相等的，故作的角平分线交边于点，即可作答． （2）根据角平分线的性质，以及三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， 则的面积． 4．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作直线，线段，角平分线，解题的关键是熟练掌握直线，线段以及作角平分线的方法． （1）根据直线的定义即可作图； （2）根据线段的定义即可作出线段，再延长，截取即可； （3）作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：直线和直线即为所求； （2）解：如上图，线段和点即为所求； （3）解：如上图，射线即为所求． 5．（2026·北京·一模）如图，已知，点D在边上．请用尺规作图法，求作等腰，使得点P在内部，，且线段为等腰的底边．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【分析】先作的平分线，再作边的垂直平分线，与角平分线的交点即为点，连接、． 【详解】解：如图，即为所求．（作法不唯一） ． 6．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】解：如图，等腰即为所作： 7．（25-26·北京东城·模拟测试）课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，点，处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心，使得活动中心到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心的位置？ (1)利用尺规作图确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出作图的两条依据． 【答案】(1)见详解 (2)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【分析】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点的位置是解题的关键． （1）作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点； （2）根据（1）中图形证明即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所求； （2）解：作的平分线，线段的垂直平分线交于点， 连接，过点作于点于点． ∵， 且点在的平分线上， ∴(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)， 即活动中心到两条马路的距离相等， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， 即活动中心到两个小区的距离也相等， ∴点为所求作的点． 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．（2025·北京·二模）已知：点和直线 求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图，解题关键是熟练掌握基本图形的性质，结合几何图形的特征把复杂作图分解为基本作图． 【详解】解：先过点作直线的垂线，垂足为点，再在直线上截取，连接、， ∵要在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆， ∴圆与、相切时，面积最大，即该半圆的半径为边上的高，也是的角平分线， 则，接着作的角平分线交于点，然后以点为圆心，为半径在内部作半圆即可． 如图，和半圆为所作． 考点2 三角形全等证明与线段相等 1．（25-26·北京密云·模拟测试）已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证明，，对应边相等． 【详解】证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 2．（2026·北京·模拟测试）如图，中，，，，，，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 3．（25-26·北京西城·模拟测试）如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定： （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，，进而得到，即可解答； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴，． ∵点A，C，D在同一条直线上， ∴． ∴． ∴． （2）证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 4．（25·北京朝阳·一模）如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，则可求，，然后根据等边三角形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ． 在和中， ． （2）证明：， ， ， ． ． ． 是等边三角形． 5．（25·北京密云·二模）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 6．（25·北京门头沟·三模）已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据对应角相等得出，根据等角对等边可得． 【详解】证明：在与中， ， ， ， ． 7．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，与相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．先证，推出，，根据等边对等角可得，，结合三角形外角的性质证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ． ，． ，． ，． ． ． 8．（25-26·北京顺义·模拟测试）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形性质和判定，根据平行线性质推出，再利用“”证明，进而即可证明． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ． 9．（25·北京大兴·二模）如图，，，，与，分别相交于点F，G，与相交于点H．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等式的性质得出，进而利用SAS证明可得，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：∵ ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 10．（25·北京西城·一模）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由题意可得，由可得，再证明即可证得； （2）由可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． （2）解：， ． ∴在中， ． ， ． ， ． ． 考点3 平行四边形、菱形、矩形基础性质与计算 1．（25-26·北京·模拟测试）如图，中，对角线相交于点O，点E是上一点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由条件可知， 又∵， ∴．（三线合一） （2）解：由（1）得， ∴四边形是菱形，， 在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质得，证明，可得，利用菱形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 3．（25·北京·二模）如图，在平行四边形中，E、F分别是边、上的点，且，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形性质得出，，再证明即可； （2）先利用平行四边形性质得出，，得出，可得四边形是平行四边形，再结合，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 4．（25·北京·一模）如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先由平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，然后再由菱形的性质得到，故四边形是矩形； （2）证出为等边三角形，得，则，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 5．（25-26·北京·模拟测试）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是菱形，再证明，即可得出结论 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形； ， ，即， 菱形是正方形． 6．（2025·北京西城·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 7．（2025·北京朝阳·二模）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 8．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据条件先证明四边形是平行四边形，再利用等角对等边证明即可； （2）过点作于点，利用三线合一和锐角三角函数比求得，进而利用勾股定理可求和的长度． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ，，且， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 9．（25-26·北京·模拟测试）如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】对于本题，重点掌握折叠的不变性，即对应边相等，以及正确利用方程的思想解决问题． （1）根据折叠得到，，再设，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）直接根据折叠得到对应边相等即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 落在边的中点处， ， ， 解得：， ； （2）证明：如图，由折叠可得． 10．（25·北京海淀·二模）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线AC于点E，F． (1)求证：； (2)当四边形是菱形时，请说出四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，，结合已知，证明即可； （2）根据菱形的判定定理解答即可． 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连接， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴, ∴四边形是菱形． 考点4 勾股定理与直角三角形计算 1．（25-26·北京密云·模拟测试）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理； （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，得到，，然后证明即可； （2）证明，得到，进而得到，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点， ∴，，， ∴， ∴； （2） 解：在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25·北京·二模）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A作于点E，在中，由勾股定理得出的长可推出结果； （2）假设能上升，如图，延长至点F，使，连接，根据勾股定理求出的长，可推出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， 则，，， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 不能上升． 3．（25-26·北京平谷·模拟测试）某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键． 连接，由垂径定理得出，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，设． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径为5米． 4．（25·北京平谷·一模）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，根据平行线的性质和勾股定理解答是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （2）由（1）得，再根据平行线的性质得，然后由勾股定理求得，再利用等积法求出，最后由勾股定理求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 5．（25·北京·一模）如图，在中，点E为边上的一点，连接，过点A作，交延长线于点F，过点A作，垂足为D．已知，，，． (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）由（1）知，利用勾股定理逆定理易证是直角三角形，则，进而推出，利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵，， ； （2）证明：由（1）知， ∵，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26·北京·模拟测试）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 7．（25-26·北京·模拟测试）如图，分别是的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用30度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ，为的中点， ， 是中点， ． （2）解：由（1）可得， ， ， 是的外角， ， 同理可得， ， 是的外角， ， ， ， ， 是中点， ， ∴， ． 答：的长为． 8．（2025·北京·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 9．（25-26·北京石景山·模拟测试）如图，在中，，为边的中点，过点作的平行线，交边于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．若，，求和的长． 【答案】，． 【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据角的和差关系得出，根据，利用三角函数得出，根据证明，得出，根据平行线的性质得出，利用三角函数求出，利用勾股定理求出、即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·北京海淀·一模）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含30度角的直角三角形的边长关系即可解答； （2）设，得到的长为，过点D作，垂足为F，利用三角函数列方程即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， 即的长为； （2）解：设． 在中，， ， 在中，由，，得， ，即的长为， 如图，过点D作，垂足为F． 根据题意，， ∴四边形是矩形， ，， 可得， 在中，，， ．即． ． 答：塔的高度约为． 考点5 圆的基本性质 1．（2026·北京密云·二模）如图，四边形内接于，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)延长 ，交于点，过点作的切线交于点．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得，由 D是的中点得，，最后由等式传递性即可得证． （2）由 D是的中点得 ，结合直径所对圆周角为直角，在中用勾股定理算出的长度，利用垂径定理、切线性质，推出，进而证明 ，通过求出，再得到的长度,再由得 ，，列出关于的方程，求解出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， D是的中点， ， ， ； （2）解：如图，补全图形，连接交于点，连接， ，， ， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得， 由（1）知， ， ，， ， DN是的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ，解得． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可得，然后根据直径所对的圆周角是直角和两直线平行内错角相等可推出，进而可证得结论； （2）通过证明和，得到，然后设，，则，根据比例式代入解方程即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接交于点F． 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 3．（2026·北京西城·一模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，，可以求出，利用三角函数求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 弦直径， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ，， ， 在中，， ，解得， ，， 弦直径， ，， 在中，， ，， ，， 在中，， 为切线，是半径， ， ， 在中，， ， ， ． 4．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，于点，在上取一点，以点为圆心作圆，经过，两点，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）连接，先证明，则，由条件可知是等腰三角形，利用“三线合一”的性质即可证明； （2）结合已知条件，先证明，．设，在Rt中，根据勾股定理列方程可求出的长，继而求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 经过两点， . 在和中， ， （）， ． 又， ； （2）补全图形，如图所示． 由（1）知， ， ， ． ， ， ， ，， ， ， ． 设，则， ． 在Rt中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， ， ， ． 5．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用圆的切线性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质进行证明即可． （2）通过证明三角形相似，得到线段之间的比例关系，再结合勾股定理进而求解即可． 【详解】（1）证明：是的切线，为直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， 设，则， ， ， 过点作于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得（负值舍去）， ． 在中，， ， ． 6．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，过点作交延长线于点，可得，再分别解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，为半径， ∴，即， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 7．（2026·北京顺义·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理，得到，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形求出的长，求出的长，解直角三角形，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数： （1）连接，利用等边对等角和直角三角形性质，经角度代换算出，从而得出结论； （2）作于点，构造矩形和直角三角形，设，结合三角函数和已知条件求出长度，因，进而得到长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ． ， ． ． ． 直线是的切线． （2）解：如图，作于点． ，． ， ． ， ． ． 四边形是矩形． ． ， ． 设，则． ， ． ，． ． ， ． ． 在中，， ． ． 9．（2026·北京昌平·一模）如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由切线长定理可得，又，则，所以，然后通过圆周角定理得，则，再由平行线的判定方法即可求证； （）连接，由切线长定理可得，所以，然后通过圆周角定理得，所以，故有，再由垂径定理得，所以，证明，则，再证明，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 与相切，切点分别为， ， ， ， ， 为直径， ， ， ； （2）解：连接， 与相切，切点分别为， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，可得， 的半径为． 10．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，垂径定理得出，垂直平分线的性质得，则，根据，得，根据是半圆O的切线，得出，则，即，即可证明为圆O的切线； （2）作于M，如图2，根据垂径定理和，求出，，根据，得出，则，则，求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线． （2）解：作于M，如图2， ∵半圆O的直径为10，为半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴设， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 1．（25-26八年级上·北京密云·月考）如图，，点在上． (1)求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是，则的长是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线与线段的垂直平分线，两线的交点即为满足条件的点； （2）先利用角平分线的性质、含角的直角三角形性质求出高的长度，再结合垂直平分线的性质证明，将四边形面积转化为，最后代入三角形面积公式列方程求出的长． 【详解】（1）解：如图，点即为所求: （2）解： 如图，线段的垂直平分线交于点，过点作垂足为，连接， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∵直线为的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，将四边形面积转化为两个的面积是解题关键． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点正确作图是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于长度为半径画圆弧，连接两交点，交，于点D，E，即可求解； （2）连接，根据垂直平分线的性质，可得，通过角度变换可得，，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所作． （2）解：线段与的数量关系为； 证明，连接， ， ， 又， ， 点E在线段的垂直平分线上， ， ， ， 在中，， ， ． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点O在直线上，点C为平面内一点，是的平分线，． (1)根据题意，在图中作出点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明是否平分并给出理由． 【答案】(1)见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，余角的性质，熟练掌握等角的余角的相等，是解题的关键． （1）以点O为圆心，为角的一条边，在上方作，则点C即为所求； （2）根据等角的余角相等证明即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求． （2）解：平分．理由是： 因为平分， 所以． 因为， 所以，． 所以，（等角的余角相等） 即平分． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据等边三角形性质推出，进而得到，再利用“”证明即可． （2）根据全等三角形性质推出，再结合三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ． 5．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点D是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，菱形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）先证明四边形为平行四边形，再证明﹒即可得到平行四边形为菱形； （2）根据菱形性质求出，得到，根据勾股定理求出，即可求出﹒ 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为中点， ∴﹒ ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵菱形的周长为20， ∴， ∴， 在中，， ∴﹒ 故答案为：24． 10．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在边长为的等边中，分别为的中点，于点，为的中点，连接． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用三角形中位线定理进而得出，且，再利用勾股定理即可得到结论； （）根据直角三角形的性质得出以及的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵在边长为的等边中，分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且，， ∵于点，， ∴，， ∴， ∴， （2）解：∵为的中点， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，得到，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 13．（25-26九年级上·北京·月考）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握圆周角定理，切线的判定，能熟练利用三角函数进行求解是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角得，由圆周角定理，由切线的判定方法即可得证； （2）由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质得，由正切函数得，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线： （2）解：，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 解得． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【详解】（1）解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． （2）解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，一个弓形零件，高为，长． (1)请用直尺和圆规画出弓形所在圆的圆心． (2)请计算弓形所在圆的半径长． 【答案】(1)图见详解 (2)弓形所在圆的半径长为． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴弓形所在圆的半径长为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 题号猜押06北京中考数学20~21 押题预测 >考点1尺规作图 1. (1)如图所示， (2)如图所示， (3)如图所示， (4)如图所示， D B (5)两点之间线段最短. 2 (1)解：如图，∠ABE和BM即为所求作； (2)解：如图，点C、C即为所求作； 1/44 上好每一堂课 题（解答题） 函学科网·上好课 (3)a或3a. 3. （1)如图，线段BD即为所求： B D (2)14 4. (1)直线AD和直线BC即为所求； A D (2)如上图，线段BD和点F即为所求； (3)如上图，射线EM即为所求. 5 www zxxk com 2/44 卷系一每并丁 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7 A 空场头 P (2)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到 线段两端点的距离相等， m B >考点2三角形全等证明与线段相等 1. 证明：：△ABC和△DEF均为等边三角形， ∠C=∠A=60°，∠DFE=60°，EF=DF, ∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°， 又：∠AFD+LADF=180°-LA=120°， ,.∠EFC=∠ADF, 3/44 函学科网·上好课 www zxxk.com 在△EFC和△FAD中， ∠C=∠A ∠EFC=∠ADF, EF=DF :△EFC≌△FAD(AAS), .CF=AD, 同理可证：△DBE≌△EFC(AAS), .BE=CF, .AD =BE CF. 2. 解：如图，延长BD交AC于F, D. E :AD⊥BD, ∠ADB=∠ADF=90°， 在△ABD和△AFD中， ∠BAD=∠FAD AD=AD ∠ADB=∠ADF .△ABD≌△AFD(ASA, :BD DF,AF=AB=4, .BE CE, DE是BCF的中位线， .CF=2DE=3, .AC=AF+CF=4+3=7. 3. (1)解：：将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE, 4/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk com .△ABCDBE,∠ABD=60°. AB=BD,∠CAB=∠EDB. :点A,C,D在同一条直线上， .LDAB=∠CAB=∠ADB=60°. .∠EDB=LADB=60°. LADE=LADB+∠EDB=120°. (2)证明：：将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE, ∴△ABC DBE,∠CBE=60°. .BC=BE. LBCP=∠BEC=∠ADB=60°. :∠FPD=∠CBD+LBCP,∠FDP=LCDF+∠ADB,LCDF= ∠FPD=LFDP· :DF=PF. 4. (1)证明：AD⊥AB,BC⊥AB, .∠DAB=∠CBA=90°， BD=AC, 在Rt△ABD和Rt△BAC中， AB=BA, .Rt△ABD≌RtABAC(HL. (2)证明：：Rt△ABD≌Rt△BAC, ∠CAB=LABD=30°， ∠DAB=∠ABC=90°， ∠ADB=∠DAC=60°. ∠A0D=180°-∠ADB-∠DAC=60°. :∠DAC=∠ADB=∠AOD. △A0D是等边三角形. 5. (1)证明：：ABC是等边三角形， .AB=CB, 5/44 上好每一堂课 ∠CBD, 函学科网·上好课 www zxxk com 又：AE=BD,BE=CD, △ABE≌△BCD(SSS): (2)解：：△ABE≌△BCD, ∴∠ABE=∠BCD=36°，∠DBC=∠EAB=18°， :ABC是等边三角形， .∠ABC=60°， .∠EBD=∠ABE+∠ABC+∠DBC=114° 6. 证明：：在ABC与△DCB中， AB=DC ∠ABC=∠DCB, CB=BC :△ABC≌△DCB(SAS, .∠ACB=∠DBC, ·EB=EC. 7. 证明：在AOB和△COD中， ∠AOB=∠COD ∠OAB=∠OCD, AB=CD .△A0B≌△C0DAAS). 0A=0C,0B=0D. :Z0AC Z0CA,Z0BD =Z0DB :∠0CA=∠01C+∠0CA_∠4OB,∠0BD=∠OBD+∠ODB 2 2 2 .∠OCA=∠OBD. AC∥BD. 8. 解：“BF∥CE, 6/44 上好每一堂课 ∠AOB 2 函学科网·上好课 www zxxk.com LCED=∠BFA, 在△CED与BFA中， ∠B=∠C BF=CE ∠CED=∠BFA :△CED≌△BFA(ASA, :AB =CD 9. 解：：∠BAC=∠DAE=80° .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△BAD与△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △BAD≌△CAE(SAS, .∠ABD=∠ACE, :∠CFG=∠BFA, ,LCGF=∠BAC=80°， .∠ECD=25°， .LBDC=LCGF-∠ECD=80°-25°=55°. 故答案为55°. 10. (1)证明：：DB⊥AB,EC⊥AC, LB=LC=90°. ∠BAC=LDAE, ∠BAC-∠DAC=∠DAE-LDAC,即LBAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， 7/44 系一母拼丁 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠C, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, △ABD≌△4CE(ASA. :AD =AE. (2)解：：∠BAD=20°， .∠CAE=20°. .在RtAACE中， ∠CEA=70°. AD=AE, .∠ADE=∠AED. :∠DAE=110°， ∴.∠AED=(180°-∠DAE)÷2=35°. :∠CED=LCEA-∠AED=35°. ◆考点3平行四边形、菱形、矩形基础性质与计算 1. (1)证明：由条件可知OB=OD, 又，EB=ED, ∴.E0⊥BD.(三线合一) (2)解：由(1)得AC1BD, ∴.四边形ABCD是菱形，∠AOB=90°， 在Rt△A0B中，∠BAC=60°， .∠AB0=30°， .'40 =5cm,BO=53cm, .BD=2BO=103cm,AC =240 =10cm, 1 .S.A0Cp=ACx BD=503cm2. 8/44 函学科网·上好课 证明：：四边形ABCD是平行四边形， LA=∠C, 在△ABE和CBF中， ∠ABE=∠CBF ∠A=∠C AE=CF .△ABE≌△CBF(AAS, .AB=CB, :四边形ABCD是平行四边形，且AB=CB, :四边形ABCD是菱形 3. (1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD=CB,∠A=∠C, 在ADE和CBF中， AD=CB ∠A=∠C, AE=CF ·△ADE≌△CBF (SAS, .ZADE ZCBF (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, AE=CF, .AB-AE=CD-CF, 即BE=DF, :四边形DEBF是平行四边形， 又：∠DEB=90°， :四边形DEBF是矩形 www.Zxx k com 9/44 系一母拼丁 高学科网·上好课 www zxxk com 4. (1)证明：：BE‖AC,CE‖BD, .BE OC,CE l OB :四边形OBEC是平行四边形， :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∴.∠BOC=90°， :四边形OBEC是矩形； (2)解：：四边形ABCD是菱形， .AB=AD=4, AC⊥BD,O是AC、BD的中点， ∠ABD=60°，AB=AD, △ABD是等边三角形， .BD AB =4, ..OB =OD =BD=2, 2 在Rt△AOB中， A0=VAB2-0B2=V42-22=16-4=V12=2V5, 0C=A0=2V5, :四边形OBEC是矩形， BE=0C=2V3,CE=0B=2, 在Rt△BED中， BD =4,BE =23, ED=VBD2+BE2=V42+(2W5=16+12=V28=2V万， 5. 证明：“四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, 10/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 .BE DF, .OE =OF :四边形AECF是菱形； .0E=OA=0F, :.0E=OF=0A=0C,EF=AC, :菱形AECF是正方形. 6. 解：：PE⊥AB,PF⊥AD,PE=PF, .AC平分∠DAB, 即∠DAC=LCAB, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∠ACD=LCAB, 则LACD=LDAC, .AD DC, :平行四边形ABCD是菱形. 7. (1)证明：在菱形ABCD中，AD∥BC, CF=BE, .CF+EC=BE+EC, :EF=BC, ∴EF=AD, AD∥BC, :四边形AEFD是平行四边形， AE⊥BC, :.平行四边形AEFD是矩形： (2)解：在菱形ABCD中，BC=CD, .BF=16, www.zxx k co m 上好每一堂课 AD=BC=CD=AB, 11/44 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..CF=BF-BC=16-CD, 在矩形AEFD中，∠F=90°， :DF=8, .在RtACFD中，CD2=DF2+CF2=82+(16-CD), 整理得，32CD=320, 解得：CD=10. 8. (1)证明：：AD∥CE,AE∥DC, :四边形ADCE是平行四边形， AB=AD, ∠B=∠ADB, :∠B=2LACB, ∠ADB=2LACB, .ZDAC ZADB-ZACB ZACB, ·DA=DC, .四边形ADCE是菱形； (2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F, :AB=AD,AF⊥BC,且BD=6, D BF=FD=-BD=3, 2 AD∥EC, ∠ADF=∠ECB, tan∠ADF=tan∠ECB=4 :∠AFD=90°， AF4 .AF=4, 12/44 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△AFD中，由勾股定理得AD=√AF2+FD2=V42+32=5, DA=DC, CD=5, CF=FD+DC=3+5=8, 在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=VAF2+FC2=V42+82=4√5， 9. (1)解：由题意得CF=HF,BE=GE, 设BE=GE=x,则AE=4-x, :四边形ABCD是正方形， :∠A=90°， ·AE2+AG2=EG2, :B落在边AD的中点G处， 1 :AG=2AD=2, ：(4-x)2+22=x2, 解得：x=2.5, :BE=2.5; (2)证明：如图，由折叠可得BF=GF. G D >H B! E.C 10. (1)证明：：口ABCD, ·AB=CD,AB∥CD, .BAE=∠DCF, :BE∥DF, 13/44 命学科网·上好课 WWV .∠BEF=∠DFE, ∴.∠BEA=∠DFC, ∠BEA=∠DFC ∠BAE=∠DCF, AB=CD △ABE≌CDF(AAS). (2)证明：连接DE,BF,BD, :△ABE≌△CDF(AAS, .BE DF, :BE∥DF, :.四边形BEDF是平行四边形 A F B :四边形ABCD是菱形， ∴.EF⊥BD 四边形BEDF是菱形. ~考点4勾股定理与直角三角形计算 1. (1)证明：连接BP,CP, D E B v.Zxxk.com 14/44 系一母拼丁 可学科网·上好课 www .zxxk.com :边BC的垂直平分线交∠BAC的平分线于点P,PD⊥AC于 .PC=PB,PD=PE,∠PDC=∠PEB=90°， Rt△PCD≌RtAPBE(HL), .CD=BE (2) D E B 解：在RtAPDA和Rt△PEA中，PD=PE,AP=AP, :.Rt△PDA≌Rt△PEA HL), .AD AE, .AC+CD=AB-BE, 由(1)知CD=BE, .AC+CD=AB-CD, :AC=7,AB=11, ∴CD=2, .AD=AC+CD=9, DP=5, AP=VAD2+PD2=V92+52=V106 2. (1)解：如图，过点A作AE⊥CD于点E, C E B D 则AE=BD=15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°， 15/44 上好每一堂课 点D,PE⊥AB于点E, 学科网·上好课 www zxxk com 在Rt△AEC中，由勾股定理得： CE=√AC2-AE2=V172-152=8m, .CD=CE+ED=8+1.5=9.5m; (2)解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m, 如图，延长DC至点F,使CF=12m,连接AF, F CEF=CE+CF=8+12=20m, A E B D 在RtAEF中，AF=VAE2+EF2=V152+202=25m, AC=17m,余线剩7.5m, 17+7.5=24.5<25, :不能上升12m. 3. 解：连接0C,设0C=0E=rm. 0 :EM⊥CD, CM=MD-ZCD-3. .0C2=CM2+0M2, r2=32+(9-r2, r=5 16/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 .⊙0的半径为5米. 4. (1)证明：：DE∥AC, ∴.∠CAD=∠ADE, :AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠EAD, ∴.∠EAD=∠ADE, :AE=DE: （2)解：：AE=DE,AE=4, .DE=4, :∠C=90°，DE∥AC, .∠BDE=90°， 在Rt△BDE中，DE=4,BD=3, BE=DE2+BD2=5, :SE-号BE-DF=BD-DE, 2 :DF=BDDE_3×412 BE 55 .在Rt△DEF中，EF=√DE2-DF2 5. (1)解：：AD1CE, ∠ADC=90°， .AD=7,CD=24, AC=VCD2+AD2=√242+72=25； (2)证明：由(1)知AC=25, :AB=20,BC=15, .152+202=252,即BC2+AB2=AC2, www.zxxk.com 17/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 :.△ABC是直角三角形，且∠B=90°， :AF⊥AB,即∠BAF=90°， LB=∠BAF=90°， BC‖AF, :ZBCE ZDFA. 6. 解：由题意得，AC=7海里，AB=25海里， 在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC2=24海里， :航行了2小时， :船航行的速度=24÷2=12海里/时. 答：该船的航行速度为12海里/时. 7. (1)证明：连接BM、DM, B :∠ABC=∠ADC=90°，M为AC的中点， :BM=DM=1AC, 2 N是BD中点， MN⊥BD. (2)解：由(1)可得BM=AM=MC, ∠ABM=∠BAM, ∴.BM=DM=三AC=3, :∠BMC是△ABM的外角， .∠BMC=2∠BAM, 同理可得DM=AM=MC, w Zxx k.com 18/44 系一母拼丁 高学科网·上好课 www.zxxk.com .∠MAD=∠MDA, :∠CMD是△ADM的外角， .∠CMD=2∠MAD, :.∠BMD=∠BMC+∠DMC=2∠BAM+∠DAM）=2∠BAD, :∠BAD=60°， .∠BMD=120°， N是BD中点， :∠BMN=∠DMN=60°， :MN=BM, 2 MN=3 答：MN的长为 3 8. (1)解：过B作BE⊥AP于E, 45y 60° F CE A 在RtAABE中， :AB 8m,BE 4m, .AE=4B2-BE2=43(m), .tan/BAC BE AE =4:43 =1:3, LBAC=30°， 答：斜坡1的坡角∠BAC的度数为30°； (2)过点B作BF⊥MP于F,则EP=BF=4V5+10m,PF=E :∠MBF=45°， 19/44 上好每一堂课 E=4m, 函学科网·上好课 www zxxk.com .MF=BF =(43+10m, :∠ANP=90°-60°=30°，AP=10m, .AN =2AP=20m,PN =AN2-AP2 =3AP=10v3(m), .NF PN PF =(10v3-4m, .MN =MF-NF =(14-6v3m, 答：点M与点N的高度差为14-63m. 9. 解：：∠C=90°，AF⊥AB, .LDAF+∠CAB=∠ABC+∠CAB, .LDAF=∠ABC, cos∠DAF吃}：BC=2 CoS∠DAF=cos∠ABC=BC=1 AB3' .AB=3BC=6, :DE∥BC,D为边AC的中点， ,△ADE∽△ACB, AE AD 1 AB AC 2' 1 AE=。AB=3, 2 :DE∥BC, .LAEF=∠ABC, :cos∠AEF=cos∠ABC=4E_1 EF3' .EF=3AE=9, .AF2=EF2-AE2=92-32=72, BF=VAF2+AB2=-V72+36=6V5. 10. 20/44 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)解：在Rt DCE中，∠DCE=30°，CD=4, :.DE=1CD=2, 2 即DE的长为2m; (2)解：设AB=h. 在Rt DCE中，cos∠DCE=EC CD .EC=CD·cos/DCE=4×cos30°=2V5, 在RtBCA中，由tan∠BCA=AB ∠8C4=45,得C4=,4B =h, tan45 .EA=CA+EC=h+25,即EA的长为h+2V3m, 如图，过点D作DF⊥AB,垂足为F. 30°∠459 E C A 根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90°， 四边形DEAF是矩形， :DF=EA=h+23,FA=DE=2, 可得BF=AB-FA=h-2, 在R△80F中，an<8DF-8g,∠BDF-27. BF=DF,tan∠BDF.即h-2=h+2V5×tan27°. :h=2+25×an27°≈2+2x1:7x05≈7m. 1-tan27° 1-0.5 答：塔AB的高度约为7m, 考点5圆的基本性质 1. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, 21/44 函学科网·上好课 www zxxk.com 8-oc, :D是AC的中点， .AD=CD, :∠AOD=∠C0D=1∠AOC, :.ZAOD=ZB (2)解：如图，补全图形，连接AC交OD于点H,连接OC, AD=CD,AD=6, M .CD=AD =6, :∠BAD=90°，.∠BCD=90°， .∠NCD=90°， 在RtA NCD中，CD=6,CN=3, :由勾股定理得DN=3√5， 由(1)知∠A0D=∠C0D, :0A=0C, .OD L AC.AH=CH-7AC. LCHD=90°， :DW是⊙O的切线， .∠ND0=90°， 22/44 系一母拼丁 学科网·上好课 ∠CHD+∠ND0=180°， ∴DN∥AC, ∠DCH=LCDN, 又∠CHD=∠DCN=90°， .△CDH∽△DNC, CD HC DN CD ∴.CD2=DN.HC, 即62=3V5·HC, Hc=125 4C=2HC=24V5 AC∥DN, .△MDN∽△MAC, MN DN MC-AC' MN DN MN+CN AC MN 35 5 MN+32458,解得MN=5. 5 2 【详解】(1)证明：如图，连接0D, B E :∠BOD=2LBAD,∠ABC=2∠BAD, .LBOD=∠ABC, :AB为O0的直径， .LACB=90°， .∠CAB+∠ABC=90°， .∠B0D+∠CAB=90°， www zxxk.com 23/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 又：DE∥AC, :ZCAB=ZE, .∠E+∠B0D=90°， .∠0DE=180°-∠B0D+∠E)=90°，即0D⊥DE. :0D为00半径， .DE是OO的切线； (2)解：连接CD交AB于点F. B E 由(1)可知，∠BOD=∠ABC, .OD∥BC, ..AOFDA BFC, OD OF 5 BC BF6' :LBOD=∠ABC,∠E=LCAB, △ODE∽△BCA, OE OD 5 BA BC6 设0F=5k,BF=6K,则0A=0B=11k, AF=0A+0F=16k,AB=0A+0B=22k, BE=4, .OE=0B+BE =4+11k, 0E4+11k5 BA 22k6' 6 解得k= 11 AF=16k=16× 696 1111 3. 【详解】(1)证明：如下图所示，连接CE, 24/44 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :弦AE⊥直径CD, E .AC=CE, ∠AEC=∠CAE, ∠AEC=1∠A0C, 2 :∠CAB=∠A0C: 2 (2)解：：CD是⊙0的直径， LCED=90°， ∠CDE=∠CAE,cos∠CAE=6, 3 B cos∠CDE=V6 , :在RtACED中，DE=4V6, Cos∠CDE DE_46-6,解得CD=12, CDCD 3 CD=AB=12,0A=6, :弦AE⊥直径CD, :AF EF,AE=2EF, :在Rt△EFD中，∠EFD=90°， .DF-DECOSZCDE4x6-8.EF=DE-DF-464 3 AF=4V2,AE=8√2， :在RA04F中，cos∠01F=45=22 04 3 :BG为O0切线，OB是半径， .BG⊥OB, 25/44 函学科网·上好课 ∠ABG=90°， :在Rt△ABG中， Cos∠BAG=AB AG .coS∠BAG=cos∠OAF= 2W2 3 .AG=9N2, :EG=AG-AE=2. 4 【详解】(1)证明：如图，连接OB, :00经过B,C两点， .0B=0C 在AOB和△AOC中， (AB=AC A0=A0, OB=OC △A0B≌△AOC(SSS), :∠BA0=∠CA0. 又：AB=AC, .AF⊥BC; A B (2)补全图形，如图所示. 由(1)知AF⊥BC,∠BAO=∠CAO, CD⊥AB, ∴.∠BAO+∠ABC=∠BCD+∠ABC=90°， ∠BAO=∠BCD. BG‖AC, :ZG ZCAO, .LG=∠BAO=∠BCD, www.zxxk.com 26/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com :AB=BG,tanG=tan∠BA0=tan∠BCD=2: 1 OD BD 1 AD CD2 0D=3, .AD=20D=6. 设BD=x,则CD=2x, 0B=0C=CD-0D=2x-3. 在Rt△B0D中，由勾股定理得x2+32=(2x-3, 解得x=4或x=0（舍去)， .BD=4, .AB=AD+BD=6+4=10, :BG=AB=10. 5. 【详解】(1)证明：：AE是O0的切线，AB为直径， :AE⊥AB,即∠BAE=90°， :CE⊥AE, .∠AEC=90°， AB∥CE, ∠ECA=∠BAC, AB=CB, ∠BCA=∠BAC, ∠ECA=∠BCA. (2)解：由(1)知AB∥CE, .∠ABF=∠CEF,∠FAB=∠FCE, △ABF~△CEF, AB BF 5 CE EF8' 设AB=5x,则CE=8x, AB=CB, .CB=5x, 27/44 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 过点B作BG⊥CE于点G,如图， B :AE⊥AB,AE⊥CE,BG⊥CE, 四边形ABGE为矩形， .BG=AE=8,EG=AB=5x, :CG=CE-EG=8x-5x=3x, 在RtABGC中，由勾股定理得：BG+CG2=BC2, 即82+(3x)2=(5x)2,解得x=2（负值舍去)， EG=5×2=10. 在RtABGE中，BE=VBG2+EG2=V82+102=V164=2√41， BF5 EF 8' &BP39EA24S0/4 13 6. 【详解】(1)证明：连接0C, B D :AC=BC,OC为半径， .0C⊥AB,即∠A0C=90°， :CE∥AB, ∴.∠0CE=∠A0C=90°， .CE为O0的切线： (2)解：连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T, 28/44 系一母拼丁 命学科网·上好课 B C :ABCE,OC⊥AB,ET⊥AB, LT=LT0C=L0CE=90°， :四边形OCET是矩形， ET=0C=0A=3, :AB为直径， ∠ADB=90°， :tan∠BAD=ET=BD1 AT AD3' AT=9, AE=VET2+AT2=310, 设BD=x,AD=3x,而AB=20A=6, :∠ADB=90°， 由勾股定理得，AD2+BD2=AB2, x2+(3x)2=62, 解得x=10(舍负)， 03o, 05=E-4D=io-号i0-g0, 7. 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°，∠ABE=90°， .LBAC=∠CBE=90°-LABC, BC=CD, .ZBAC ZCAE ∴.∠CBE=∠CAE: www.zxxk.com BE是⊙O的切线， 29/44 系一母拼丁 学科网·上好课 (2)解：连接BD,则∠DBF=∠CAE, tan∠DBF=tan∠CAE= 2 :AB为直径， .∠ADB=90°， .∠BDF=180°-∠ADB=90°， tan∠DBF=DF-1 BD 2' .BD =2DF=4, BF=V√BD2+DF2=2V5, :∠ACB=∠ACF=90°，∠BAC=∠CAE, .LABC=LAFC,tan∠BAC=tan∠CAE .AB=AF, :.BC=CF=1BF-5, 在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC=L .AC=2BC=25, AF=AB=V√AC2+BC2=5, .AD AF-DF=3, :∠BDA=LABE=90°， ∴.coS∠BAD= AB AD 3 5 .AE =-AB= 25 3, :EF=AE-AF=3-5、10 B 8 www.zxx k co m 2 30/44 系一母拼丁 学科网·上好课 【详解】(1)证明：如图，连接OE. :A0=0E, B .∠A=∠AEO. BE=BC, ∠C=LBEC. .·∠ABC=90°， .∴.∠A+∠C=90°. .∴.∠AEO+∠BEC=90°. .∠OEB=90. :直线BE是OO的切线： (2)解：如图，作0G⊥AN于点G. ∴.∠OGM=90°， AN=6, AG=3. ·AM⊥BE, .∠M=90°. .∴.∠OGM=∠M=∠OEM=90°. 四边形OEMG是矩形 ..OG=ME. AO 5 ME 4 A0_5 0G4 设A0=5x,则0G=4x. :∠0GA=180°-∠0GM=90°， www.zxxk.com AG=GN. 31/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 .AG=VA02-0G2=3x. A0=5,0G=4. 4 .tan∠OAG=- :AM∥OE, .∠OAG=∠BOE. :tan∠BOE=3 4 在RtABOE中，OE=5, BE=OE.tan∠BOE=2 BC=20 9. 【详解】(1)证明：连接0C, PB,PC与OO :PB=PC, 0C=0B, .OP⊥BC, .∠0EB=90°， AB为O0直径， ∴∠ACB=90°， ∠OEB=∠ACB, :AC IlOP (2)解：连接BD, www.zxxk com 相切，切点分别为B,C, 32/44 系一母丝丁 命学科网·上好课 P PB,PC与⊙0相切， B .OC⊥PC,OB⊥PB, .∠GBD+∠ABD=90°， :AB为OO直径， ∠ADB=90°， .∠DAB+∠ABD=90°， ∠GBD=∠DAB, OP⊥BC, .CD=BD, .∠CBD=∠DAB, :LCBD=∠GBD, .·∠BDF=∠BDG,BD=BD, △BDF≌△BDG(ASA, :DF DG=5, DF=AD, 41 ..AD=45,4G=55, :∠DAB=∠BAG,∠ADB=∠ABG, .△ABD∽△AGB, ABAD ,可得AB=10, AG AB :00的半径为5. 10. 【详解】(1)证明：如图1，连接0C, www.zxxk.com 切点分别为B,C, 33/44 系一每拼丁 函学科网·上好课 www.zxx k.com 图1 :OE⊥AC, .AD CD, .OE垂直平分AC, .EA=EC, LEAC=∠ECA, .0C=0A, .ZCAO=ZACO, :AE是半圆O的切线， ∠EA0=90°， .LEAC+∠CA0=LECA+∠AC0=90°， .0C⊥EC, :0C为半径， .EC为圆O的切线 (2)解：作DM⊥AB于M,如图2， MO B 图2 :半圆O的直径为10，AB为半圆O的直径，tan∠CAB= 3 4 .∠ACB=90°，AB=10, :tan∠CAB=BC、3 AC 4 :.设BC=3x,AC=4x, 34/44 系一每拼丁 命学科网·上好课 .102=(3x)2+(4x)2, 解得：x=2, .BC=6,AC=8, .OE⊥AC, ÷4D=CD=54C=4 A0=B0, :OD=IBC=3, 2 sin∠0AD=OD-3 A05 :si∠OAD=sin∠MAD=DM AD :DM=34D-12 :AM =AD2-DM2 34 :BM=AB-AM= :DM∥AE, .△BDM∽△BFA, DM-BM,即5=三· 1234 AF BA AF 10 1. (1)解：如图，点P即为所求 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 通关特训 35/44 学科网·上好课 www.zxxk.com B (2)解：如图，线段0C的垂直平分线交0C于点E,过点P作P D 、P E B :OP是∠A0B的角平分线，∠A0B=60°， ∠P0C=∠P0D=7∠A0B=303 :PH⊥0D,PH=4cm, ...OP =8cm, :直线DE为OC的垂直平分线， .PE LOC,PE PH =4cm,PO=PC=8cm, .∠0DE=30°，∠P0C=∠PC0=30°， .在△ODP和△OCP中， ∠DOP=∠COP OP=OP ∠ODP=∠OCP .△ODP≌a0 CP(AAS), 1 S.0mc-25边形0o0m=2x325=16N5, :Sorc=5×4×0C=16V5, 2 0C=8V3. 2. (1)解：如图所示，直线DE即为所作 36/44 上好每一堂课 H⊥OA垂足为H,连接PC, 函学科网·上好课 B E (2)解：线段CE与BE的数量关系为CE 证明，连接AE, D AB=AC E :∠B=∠C, 又：∠BAC=120°， LB=∠C=30°， :点E在线段AB的垂直平分线上， .AE=BE, LBAE=LB=30°， .∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°， 在RtAACE中，∠C=30°， :CE =2AE, :CE 2BE. 3.7 (1)解：如图，点C即为所求 (2)解：OE平分∠A0C.理由是： 因为0D平分∠B0C, 所以LBOD=LCOD. 因为∠D0E=90°， www.zxx k.com =2BE; 37/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 所以∠C0D+∠C0E=90°，∠B0D+∠A0E=180°-90°=90°. 所以LC0E=LAOE,(等角的余角相等) 即OE平分∠AOC. (1)证明：：ABC,△CDE均为等边三角形， BC=AC,∠ACB=∠DCE=60°，EC=DC, :LACB+∠ACE=∠DCE+LACE, .∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD, EC=DC :△BCE≌△ACD(SAS): (2)解：：△BCE≌△ACD,∠1=35°， ∠CBE=∠1=35°， .LAFB=∠CBE+LACB=35°+60°=95°. 5. 证明：：DE∥AB, .LD=ZABC. 在BDE和ABC中， 「∠DBE=∠A ∠D=∠ABC, DE=BC △BDE≌△ABC(AAS), .BD=AB. 6. 证明：四边形ABCD是平行四边形， 38/44 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=BC,∠A=∠C. 在ADE和CBF中， AD=CB ∠A=∠C, AE=CF :.△ADE≌△CBF(SAS, .ED=FB. 7. 证明：“四边形ABCD是矩形， :AB=CD,∠B=∠D=90°， 又：BE=DF, △ABE≌△CDF(SAS), .AE =CF. 8. (1)证明：：点D是BC的中点， .BD=CD, 又：AE=CD, .AE =BD, :AE∥BC,AE=BD, :四边形AEBD是平行四边形， :AB=AC,D是BC的中点， AD⊥BC, .∠ADB=90°， 四边形AEBD是矩形. (2)解：当∠ABC=45°时，四边形AEBD是正方形，证明如下： 由(1)可得AD⊥BC,且四边形AEBD是矩形， 又AD⊥BC,∠ABC=45°， 39/44 学科网·上好课 www.zxx k co m :△ABD是等腰直角三角形， :AD BD, 矩形AEBD是正方形. 9. (1)证明：：CE∥AB,BE∥DC, :.四边形CEBD是平行四边形， :∠ACB=90°，点D为AB中点， 1 .CD BD=-AB 2 :.平行四边形CEBD为菱形； (2)解：菱形CEBD的周长为20， BD=5, .AB=2BD=10, 在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC2=V102-62=8, S.wc=AC.BC= ×6×8=24. 1 故答案为：24. 10 解：：五边形ABCDE的每个内角都相等，且五边形的内角和为5-2 :∠EAB=LABC=∠AED=540°÷5=108°， :EF平分∠AED, ∠4EF=ZDEF三2∠AED=54 :四边形ABFE的内角和为360°， ∠BFE=360°-108°-108°-54°=90°. .∠ABC=108°，AB=BM, :∠M=180°-∠ABC =36°， 2 ∠FNM=90°-∠M=54°. 40/44 上好每一堂课 x180°=540°， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11. (1)解：连接DE, 0 G E :在边长为4的等边ABC中，D、E分别为AB、BC的中点， DE是ABC的中位线， .DE=2,且DEI‖AC,BD=BE=EC=2, :EF⊥AC于点F,∠C=60°， .∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°， c=c=1 “EF=V22-12=5, (2)解：G为EF的中点， ·Gs3 2 ∴.DG=VDE2+EG2 22+( 5- 2 12. 解：由题意，得：AB=50km,∠DAE=∠EBC=90°，CE=DE, 设AE=xkm,则：BE=(50-x)km, 在RtAEAD中，DE2=AD2+AE2, 在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2, CE DE,DA=30km,CB 20km, AD2+AE2=BC2+BE2,即：302+x2=202+(50-x)2, 解得：x=20, .AE 20km, 41/44 命学科网·上好课 :基地E应建在离A站20km的地方. 13. (1)证明：：AB是O0的直径， .∠ACB=90°， :CE平分∠ACB, 1 ∠BCE=2∠1CB=459, BE=BE, ,∠B0E=2∠BCE=90°， :EF∥AB, .∠0EF=180°-∠B0E=90°， .OE⊥EF, OE是半径， :直线EF是OO的切线： (2)解：：∠F=60°，EF∥AB, LB0F=∠F=60° .∠A0C=60°， :0A=0C, △OAC是等边三角形， ∴.0A=AC=2, 0E=2, 在Rt△OEF中，tan∠F=OE EF .tan60°= 2 EF 解得EF= 2V5 3· 14. (1)解：如图，连接0A、0C, www .zxxk.com 42/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com D EF⊥AB,EF过圆心，AB=24m, 4F=24B=12m, 设00半径为r,0F=24-r, 在RtaA0F中，0F2+AF2=0A2, 即122+(24-r2=r2, 解得：r=15, .00半径为15m. (2)解：由(1)可知桥洞所在圆的半径r=15m, EF AB=24m,GF =19m, 0F=EF-0E=24-15=9m, .0G=GF-0F=19-9=10m, DC∥AB, .∠CG0=∠BF0=90°， 在RtaC0G中，CG=V0C2-0G2=V152-102=5V5m· 又：OE过圆心， .CD =2CG =105m, 即当水深GF=19m时，此时的水面宽为10√5m. 15. (1)解：如图，点0即为所求： 43/44 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (2)解：设OB=OD=r,AB的垂直平分线交AB于点C,交AB于点D. :OD⊥AB, 1 .AC=CB=AB=64(mm), .CD =32mm, .0C=r-32)mm, 在Rt△0BC中，则有r2=642+(r-32)2, 解得r=80, :.弓形所在圆的半径长为80mm. 44/44 题号猜押06 北京中考数学20~21题（解答题） 考点1 尺规作图 1．（25-26·北京门头沟·模拟测试）如图，在同一平面内有三点A、B、C．    （1）作射线CA，连接BC； （2）延长线段BC，得到射线CD，画∠ACD平分线CE； （3）在射线CD上取一点F，使得CF = AC； （4）在射线CE上作一点P，使PF + PA最小； （5）第（4）步作图的依据是 ． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，点，在直线上． 按要求补全图形，并回答问题： (1)画直角（点在直线下方），画的平分线； (2)在射线上截取，画直线，在直线上作点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)设，则线段的长为______． 3．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中， (1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 4．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 5．（2026·北京·一模）如图，已知，点D在边上．请用尺规作图法，求作等腰，使得点P在内部，，且线段为等腰的底边．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 7．（25-26·北京东城·模拟测试）课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，点，处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心，使得活动中心到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心的位置？ (1)利用尺规作图确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出作图的两条依据． 8．（2025·北京·二模）已知：点和直线 求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆． 考点2 三角形全等证明与线段相等 1．（25-26·北京密云·模拟测试）已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 2．（2026·北京·模拟测试）如图，中，，，，，，求的值． 3．（25-26·北京西城·模拟测试）如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 4．（25·北京朝阳·一模）如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 5．（25·北京密云·二模）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．（25·北京门头沟·三模）已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 7．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，与相交于点O，，，求证：． 8．（25-26·北京顺义·模拟测试）如图，，，．求证：． 9．（25·北京大兴·二模）如图，，，，与，分别相交于点F，G，与相交于点H．若，求的度数． 10．（25·北京西城·一模）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点3 平行四边形、菱形、矩形基础性质与计算 1．（25-26·北京·模拟测试）如图，中，对角线相交于点O，点E是上一点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 3．（25·北京·二模）如图，在平行四边形中，E、F分别是边、上的点，且，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 4．（25·北京·一模）如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 5．（25-26·北京·模拟测试）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 6．（2025·北京西城·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 7．（2025·北京朝阳·二模）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 8．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 9．（25-26·北京·模拟测试）如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 10．（25·北京海淀·二模）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线AC于点E，F． (1)求证：； (2)当四边形是菱形时，请说出四边形的形状并证明． 考点4 勾股定理与直角三角形计算 1．（25-26·北京密云·模拟测试）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（25·北京·二模）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 3．（25-26·北京平谷·模拟测试）某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径． 4．（25·北京平谷·一模）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 5．（25·北京·一模）如图，在中，点E为边上的一点，连接，过点A作，交延长线于点F，过点A作，垂足为D．已知，，，． (1)求线段的长； (2)求证：． 6．（25-26·北京·模拟测试）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 7．（25-26·北京·模拟测试）如图，分别是的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 8．（2025·北京·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 9．（25-26·北京石景山·模拟测试）如图，在中，，为边的中点，过点作的平行线，交边于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．若，，求和的长． 10．（2025·北京海淀·一模）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 考点5 圆的基本性质 1．（2026·北京密云·二模）如图，四边形内接于，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)延长 ，交于点，过点作的切线交于点．若，，，求的长． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 3．（2026·北京西城·一模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 4．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，于点，在上取一点，以点为圆心作圆，经过，两点，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点．若，求的长． 5．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 6．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 7．（2026·北京顺义·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 8．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 9．（2026·北京昌平·一模）如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 10．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 1．（25-26八年级上·北京密云·月考）如图，，点在上． (1)求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是，则的长是 ． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点O在直线上，点C为平面内一点，是的平分线，． (1)根据题意，在图中作出点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明是否平分并给出理由．． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 5．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点D是的边延长线上一点，，，．求证：． 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 10．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在边长为的等边中，分别为的中点，于点，为的中点，连接． (1)求的长； (2)求的长． 12．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 13．（25-26九年级上·北京·月考）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线： (2)若，，求的长． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，一个弓形零件，高为，长． (1)请用直尺和圆规画出弓形所在圆的圆心． (2)请计算弓形所在圆的半径长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $