题号猜押07 北京中考数学22～23题（解答题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 北京中考数学22~23题（解答题） 考点1 条形统计图、扇形统计图、折线统计图分析 1．（25-26·北京·模拟测试）2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； (3)若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 2．（25-26·北京·模拟测试）某县举行以“青春筑国魂”为主题的征文比赛，将每篇参赛征文的成绩记为m分（），组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表． 分数m/分 频数/篇 百分比 38 a b 10 请根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若将这次统计的结果绘制成扇形统计图，求成绩m在分所在扇形圆心角的度数． 3．（25-26·北京顺义·模拟测试）从2025年春季学期起，西安市义务教育阶段学校课间延长至15分钟，旨在引导学生加强体育运动．某校用“智数体育” 平台记录了全校同学的 “课间一分钟跳绳” 成绩，用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，进行整理，绘制了如下统计图表： 分组（x表示成绩） 频数 A组： 12 B组： 14 C组： 15 D组： n 根据以上信息，解答下列问题： (1)从全校成绩中随机抽取部分成绩进行调查，这种调查方式是______ （A．普查，B．抽样调查）； (2)求得扇形C的圆心角度数为______， ____； (3)若将90次及以上的成绩记为合格，请根据统计结果估计全校2700名学生中成绩达到合格的人数． 4．（25·北京西城·二模）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是人）．根据图中提供的信息、解答下列问题： (1)这次抽样调查的学生人数是______人； (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图的值为______，其中“”组对应的圆心角度数为______； (4)已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 5．（25·北京昌平·三模）为全面贯彻党的教育方针，践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，某校八年级在“每天开设一节体育课”活动中组织学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制如下的统计图表． 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数的值为________，扇形统计图中的值为________； (2)该校八年级学生共有人，若八年级学生都参加测试，估计得分分及以上的学生人数有多少人？ 6．（25-26·北京·模拟测试）为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级全体学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，调查小组从中随机选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下图表： 成绩x分 频数/人 百分比 6 15 9 (1)求这次抽样调查的总人数； (2)先分别求出的值，再补全频数分布直方图； (3)调查小组将调查结果绘制成扇形统计图，若将成绩x在分的学生评为“科普达人”，求“科普达人”所在扇形圆心角的度数． 7．（25-26·北京大兴·模拟测试）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了解七年级学生的数学运算能力，某校对全体七年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分六组：A．，B．，C．，D．，E．，F． 等级 A B C D E F 分数 人数 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图： (3)若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 8．（25·北京朝阳·二模）为了激发同学们学习数学的兴趣，某校七年级在“国际数学日”当天举办了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生获得“数学能手”称号．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（x表示积分，数据分为5组：，，，，） 根据以上信息，完成下列问题： (1)本次调查活动中，学校收集到的数据属于________数据（填“定性”或“定量”）； (2)请你求出________，并补全频数分布直方图； (3)这一组学生的积分分别是：81，82，90，93，93，93，96，98，98．若该校七年级共有300名学生参加比赛，请估计获得“数学能手”称号的人数． 考点2 平均数、中位数、众数、方差计算与应用 1．（2026·北京西城·模拟预测）为了解三款轮胎的最远行驶里程（单位：）情况，某汽车生产企业分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下： ②C款轮胎的最远行驶里程： ③三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如表： 轮胎 A B C 平均数 100 100 中位数 99 99 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)三款轮胎最远行驶里程平均数越大轮胎质量越好；若最远行驶里程平均数相同，则方差越小轮胎的质量越好．三款轮胎中质量最好的是________；若该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有________个． 2．（25-26·北京·模拟测试）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 (1)写出表中m，n的值； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 3．（25-26·北京海淀·模拟测试）某校为选拔槐荫区第五届“勾股数学”杯初中校际联赛参赛选手，在八年级（1）班和（2）班开展了数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级（单位：满分100分，90分及90分以上为优秀）：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 八年级（1）班10名学生的成绩为：73，75，81，82，84，88，88，93，97，99； 八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 86 a 88 68.2 八（2）班 86 85 b 56 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ． (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪个班？ (3)若八年级两个班共有90名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数． 4．（25·北京门头沟·二模）“爽爽贵阳”生动地描绘了贵阳市夏季凉爽舒适的气候特点．在综合与实践活动“哪个城市夏天更热”中，某实践小组收集了贵阳和A城夏季某周的日最高气温数据，并绘制成如下的统计图表（如图）： 城市 平均数/℃ 中位数℃ 众数/℃ 方差 A城 36 b 35，38 d 贵阳 a 26 c 6.9 回答下列问题： (1)表格中：________，________，________； (2)已知A城这一周的日最高气温的离差平方和为20，请计算d的值（精确到0.1）； (3)根据表格中的数据，任选两个角度对比贵阳和A城的气温特点． 5．（25-26·北京·模拟测试）汉字是传承中华文明的重要载体．阳光中学于12月24日～26日开展了第一届汉字书写大赛，本次大赛满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10； 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 6 6 乙组 7 (1)根据以上成绩，统计分析表中：_____，_____，_____． (2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？请说明理由． 6．（25·北京通州·模拟测试）某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班（2）班进行了检测．如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况： (1)利用图中提供的信息，补全下表： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） （1）班 24 （2）班 24 21 (2)观察图中数据分布情况，请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定？ 7．（25-26·北京·模拟测试）无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； 将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 方差 A 31 m 31 B a 32 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更稳定？请说明理由； (3)公司仓库有A型无人机200架，B型无人机150架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架？ 8．（25-26·北京·模拟测试）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图： 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 采访 写作 摄影 小悦 小涵 ▲ ▲    (1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数加下：，，，，，，．这组数据的中位数是___________分，下四分位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； (2)请你计算小涵的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 考点3 列表法或树状图求概率 1．（25-26·北京顺义·模拟测试）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 2．（25-26·北京门头沟·模拟测试）近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其它均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从这四张卡片中随机抽取1张卡片，正面图案恰好是“神舟22”飞行任务标识的概率是 ； (2)从这四张卡片中随机同时抽取2张卡片，用列举法求出正面图案恰好是“神舟19”和“神舟20”飞行任务标识的概率． 3．（25-26·北京西城·模拟测试）不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品．将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E． (1)从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率； (2)向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回．大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件． 4．（25·北京海淀·二模）某学校为丰富学生的体育活动，安装了智慧体育器材．该校九年级共有480名学生，学校统计了九年级学生使用智慧体育器材的情况，数据整理如下： 高频使用者（每周不少于4次） 中频使用者（每周2至3次） 低频使用者（每周不多于1次） 人数 160 m n (1)若从九年级随机抽取一名学生，该生是“中频使用者”的概率为，则______，______； (2)九年级的甲、乙同学都是“高频使用者”，丙同学是“中频使用者”，丁同学是“低频使用者”．现从这4名学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2人中至少有1人是“高频使用者”的概率． 5．（25·北京大兴·一模）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． (1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； (2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 6．（25-26·北京·模拟测试）2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 7．（2025·北京·一模）在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； (2)小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 8．（2025·北京海淀·二模）小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其5句诗词并用它们的编号分别制成5张卡片（卡片除编号外完全相同）玩数学游戏．五句诗词如下： 编号 诗句 A 日照香炉生紫烟 B 飞流直下三千尺 C 收入春风满洛城 D 遥看瀑布挂前川 E 谁家玉笛陪飞声 小明将这5张卡片背面朝上，洗匀放好．请你完成下列问题： (1)填空：小亮从5张卡片中随机抽取1张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是____； (2)小亮从5张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率； (3)填空：小亮从5张卡片中随机抽取2张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是_____． 1．（2026·北京·模拟测试）为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，某校计划给全校学生采购一批运动鞋．现从全校各年级随机抽取名学生调查其常用运动鞋尺码（欧洲码），绘制了如下统计图表． (1)在扇形统计图中，的值为 ，在箱线图中的值为 ，的值为 ： (2)本次调查样本中数据的众数为 ． (3)若在校学生有人，根据抽样调查结果，估计购买码运动鞋多少双？ 2．（2026·北京·模拟测试）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．岳阳第十中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图．组学生跳绳次数（单位：次）如下：65    70    73    80    85    95    96    96    98 组别 次数（单位：次） 频数 组      9 组      组      12 组      3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)的值是___________； (3)在扇形统计图中，组的扇形圆心角为___________； (4)若岳阳市第十中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 3．（2025·北京大兴·模拟测试）某中学为了解七年级学生体能状况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，并将测试成绩（单位：次）进行统计，绘制成如下统计图表（不完整）．请根据图表信息回答下列问题： 组别 次数 频数（人） 百分比 A 4 B 8 C a b D 16 E 4 (1)本次抽样调查的样本容量为________， ______， ______； (2)绘制频数分布直方图； (3)若七年级共有400名学生，请你估计七年级学生中一分钟跳绳次数达到120次及以上的有多少人？ 4．（2026·北京·模拟测试）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)图①中a的值为______； (2)求这组初赛成绩数据的平均数，众数； (3)这组数据的上四分位数为______． 5．（2025·北京丰台·二模）某校开展“书香校园”活动，对初二学生每周的课外阅读时间进行抽样调查，并将数据分成 A、B、C、D、E 五组（每周阅读时间t分钟：A：；B：；C：；D： ；E：），绘制成如下表格和统计图（不完整）． 时间 A： B： C： D： E： 人数 25 90 35 (1)本次调查的样本容量是   ； (2)补全条表格并求扇形统计图中“B组”对应的圆心角度数； (3)若该校初二年级共有600名学生，请估计阅读时间在120分钟以上的学生人数． 6．（2026·北京·模拟测试）我校为提高学生的安全意识，组织八、九年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 b 中位数 8 众数 9 8 方差 1.06 1.38 (1)根据以上信息可以得出______，_____； (2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_______（填“八年级”或“九年级”）； (3)已知该校八年级有1000人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 7．（2026·北京·模拟测试）某校组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩（单位：分）都不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机选取其中200名学生的海选成绩（总分为100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表如下： 抽取的200名学生海选成绩统计表 组别 海选成绩/分 人数 百分比 组 10 组 30 组 40 组 组 70 请根据所给信息解答下列问题： (1)填空：____________，____________，____________． (2)若把统计表每组中各个成绩用这组数据的组中值代替，请估计被选取的200名学生海选成绩的平均数． 8．（2025·北京西城·三模拟）学校倡导学生每天综合体育活动时间不低于两小时．某学习小组为了解学校各年级同学在校参加综合体育活动的时长，在三个年级中各随机抽取一个班级进行调查，数据记录如下（单位：分钟）：        天数 班级 第一周 第二周 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 初一某班 125 113 118 114 116 120 112 126 125 121 初二某班 121 125 121 122 110 122 117 121 116 115 初三某班 127 121 115 122 125 121 121 115 118 115 (1)利用所学统计知识，从至少2个角度对这三个班级的校内综合体育活动时长进行分析； (2)根据这些数据信息，你还能作出什么判断或猜想？ 9．（2026·北京·模拟测试）为增强体质、促进身心健康，国家规定义务教育阶段中小学生每天在校体育活动时间不低于2小时．为检测成果，某校组织抽样测试九年级1分钟跳绳次数，其统计表和频数分布直方图如图所示． 九年级抽样测试学生1分钟跳绳次数频率分布表 组号 成绩x的范围 频率 A B C D a E (1)统计表中，_________，样本容量_________； (2)把频数分布直方图补充完整，注明频数；在频数分布直方图上画出频数分布折线图； (3)频数分布直方图的横轴上注明的是每个小组的“组中值”，在统计中，小组的平均成绩可以用这个“组中值”来估算．孔明按以下方法估算参加测试学生跳绳次数的平均数是：．请你判断孔明的算式是否正确，若不正确，写出正确的算式，并计算出结果． 10．（2026·北京·模拟测试）某校射箭社团准备在甲、乙两名学生中选出一人参加集训，现对他们进行了5次测试，将他们5次射箭命中的环数记录如下（单位：环）： 【数据收集】 甲：7，8，8，8，9； 乙：7，7，7，9，10． 【数据分析】 学生 平均数/环 中位数/环 众数/环 离差平方和 甲 8 2 乙 8 7 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_____________，_____________； (2)求学生甲这5次射箭命中环数的平均数； (3)如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由． 11．（2026·北京·模拟测试）以诗词为媒，赴文化盛宴．为激发全民诗词热情，感悟中华优秀文化内涵，领略中华诗词之美，提升语言文化素养，进一步增强文化自信．某地举办以“华韵悠扬，诗润心田”为主题的诗词大赛，比赛的规则为：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四个关键字（依次记为，，，），第一轮为飞花令，由电脑随机给每位参赛选手抽取上述关键字中的一个，选手背诵以抽到的关键字为主题的诗句；第二轮为诗词讲解，由电脑在剩下的三个关键字中随机给每位参赛选手派发一个关键字，选手根据对应关键字的题目要求进行诗词讲解．青青参加了此次诗词大赛，并完成了两轮比赛． (1)“青青第一轮中抽到关键字‘夏’”属于___________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)利用画树状图或列表的方法，求青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的概率． 12．（2025·北京海淀·一模）某学校化学兴趣小组在实验室探究金属与稀盐酸的反应．已知实验室有四种金属，分别为铝（）、锌（）、铜（）、银（），铝和锌与稀盐酸均会发生反应并产生气体，其余两种金属均不反应． (1)填空：若从中随机选取一种金属进行实验，恰好选到不反应的金属概率是_____； (2)若随机选取两种不同的金属同时进行实验，通过列表或画树状图求恰好都选到不反应的金属概率． 13．（2026·北京·模拟测试）只有一张电影票，小明和小刚想通过摸球游戏来决定谁去看电影．现将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球都是红球”是_____（填“随机”“不可能”或“必然”）事件． (2)现规定游戏方案：摸出的2个球，若颜色相同，则小明去看电影；若颜色不同，则小刚去看电影．这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由． 14．（2026·北京·模拟测试）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． 如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由． 15．（2025·北京东城·二模拟）如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 题号猜押07北京中考数学22~23 押题预测 一考点1条形统计图、扇形统计图、折线统计图分析 1. (1)0.45,0.05,45 (2)162 3. (1)32;20;20% 征文比赛成绩频数分布直方图 个频数/篇 40 48 35 32 3 (2) 25 20 20 5 1 10 0 60708090100 成绩/分 (3)1089 3. (1)B (2)108°；9 (3)2052名 4. (1)100 1/10 上好每一堂课 题（解答题） 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 人数/人40 40 35 30 25 25 -21 (2)20 15 10 5 4 02 4 6 810时间/小时 (3)40；14.4 (4)估计该校每周课外阅读时间不少于6小时的学生有870人 5. (1)40;50 (2)750人 6. (1)50人 所抽取学生的竞赛成绩的频数分布直方图 频数（学生人数） 18 17 16 15 14F (2)a=3;b=17;c=34%; 12 10F 9 8 6 6 4 3 2 0 5060708090100成绩（分）》 (3)187.2° 7. (1)15,2,18 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 人数/个 5 1 10 (2)36° 8 2 OL A B C DE F组别 (3)估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有480人 考点2平均数、中位数、众数、方差计算与应用 (1) 99,99 (2)B,6000 2 (1)66,70 (2)> (3)③ 3 (1)86,84 (2)选派八（2)班， (3)总优秀人数为27人 4. (1)27,36,25 (2)dsa)≈2.9 (③)从平均数的角度，这一周贵阳市的平均气温低于A城平均气温； 动比A城的大（答案不唯一） 5. (1)6.5,7,2.45 (2)解：乙组参加决赛. 理由如下：：甲组平均数=6.5，乙组平均数=6.5， 3/10 上好每一堂课 人方差的角度，这一周贵阳市的气温波 可学科网·上好课 www zxxk com 两组平均数相同， :甲组方差=3.25，乙组方差=2.45，且3.25>2.45， 乙组成绩更稳定， .选乙组参加决赛 6. (1)24,24,24 (2)初三（1)班的学生纠错的得分情况更稳定 7. (1)31,30,32: (2)A型号的续航性能更稳定 (3)这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有190架， 8. (1)69,68,69,70 (2)82 (3)解：由条形统计图可知，80分以上的共有10人， :学校要选12名小记者， “小涵一定能入选， :小悦的成绩是78分， :小悦不一定能入选. ◆考点3列表法或树状图求概率 1. 时 (2 图2 4/10 卷系一每并丁 命学科网·上好课 2. 0好 a哈 3. 哈 (2)加入一等品的件数约为15件 4. (1)240;80 o. 0好 24 6. (1)①随机；②5,3 ⊙ 7. 0好 时 8.的 3 210 5/10 卷系一每并丁 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ® 通关特训 1. (1)14%,38,40; (2)39,40; (3)估计购买40码运动鞋大约为300双. 2. (1)一共抽取60名学生 (2)36 (3)54 3. (1)40,8,20% 小频数/人 16------------------- 12 (2) 8 4F 080100120140160180跳绳次数 (3)280 4. (1)25 (2)平均数为1.61m,众数为1.65m (3)1.65m 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 5. (1)250 (2)80,20,129.69 (3)324 6. (1)9,8.76 (2)八年级 (3)该校八年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生约有720人. 1. (1)50:15;35 (2)82(分) 8. (①)初三某班的活动平均时长更长，初二某班的活动时长差值最大： (②)三个班级的平均活动时长差距不大 9. (1)0.4;50 九年级若干名学生1分钟跳绳次数 频数分布直方图 频数（人） 20 (2) 4 6 0 135145155165175跳绳次数（次） (3)解：孔明的算法不正确， 理由：他用了简单平均数，而应该用加权平均数： 正确算式：平均数=135×0.08+145×0.12+155×0.16+165×0.4+175 =10.8+17.4+24.8+66+42 =161. 7/10 上好每一堂课 0.24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10. (1)7,8 (2)8 (3)解：选择甲，理由如下： 由表格和(2)可知，甲乙两人的平均数相同； 2 s2=3x7-8+19-8+10-8]- S驿<S2, 甲的成绩较稳定， 故应该选择甲. 11. (1)随机 12. w; 13. (1)随机 (2)解：不公平.理由如下： 列表如下： 球1 红1 红2 绿 球2 红1 （红2，红1) (绿，红1) 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 红2 (红1，红2) (绿，红2) 绿 (红1，绿) (红2，绿) :共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种. :P(摸出的2个球颜色相同)=3， 2 P(摸出的2个球颜色不同)= 3 故该游戏方案对双方不公平. 14. 解：此游戏规则公平，根据题意列表如下： 3 1 0 1 2 2 -1 0 1 3 -2 -10 1 ·共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为正数的情况占6种，非正数的情况占6种， :甲获胜的概率为；，乙获胜的概率为；， 则此游戏规则公平. 15. o, (2)解：应选择B方式，理由如下： 由题意可得，A.猜“是3的倍数”有3,6,9；B.猜“是大于等于5的数”有5,6,7,8,9， 31 5 B=93B=g· 51 93’ :B方式获胜的可能性更大， 应选择B方式 9/10 而学科网·上好课 www zxxk com 10/10 卷系一每并丁 题号猜押07 北京中考数学22~23题（解答题） 考点1 条形统计图、扇形统计图、折线统计图分析 1．（25-26·北京·模拟测试）2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； (3)若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 【答案】(1)，， (2) (3)估计其中达到A等级的学生共有名 【分析】本题考查的是从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）由频数分布表与扇形图可得答案． （2）由乘以扇形统计图中B的占比即可得到结论． （3）由2200乘以A的占比即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴． （2）解：扇形统计图中B对应的圆心角的度数为：． （3）解：， ∴该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有名． 2．（25-26·北京·模拟测试）某县举行以“青春筑国魂”为主题的征文比赛，将每篇参赛征文的成绩记为m分（），组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表． 分数m/分 频数/篇 百分比 38 a b 10 请根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若将这次统计的结果绘制成扇形统计图，求成绩m在分所在扇形圆心角的度数． 【答案】(1)；；； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题考查了频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力． （1）用的频数除以其所对应的频率即可得出总人数，乘以可求的值，用即可得出的值，用即可得出的值； （2）根据频数分布表补全频数分布直方图即可； （3）用分以上的百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意可得总人数为， ， ， ， 故答案为：；；； （2）解：补全成绩频数分布直方图如下： ； （3）解：成绩m在分所在扇形圆心角的度数为． 3．（25-26·北京顺义·模拟测试）从2025年春季学期起，西安市义务教育阶段学校课间延长至15分钟，旨在引导学生加强体育运动．某校用“智数体育” 平台记录了全校同学的 “课间一分钟跳绳” 成绩，用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，进行整理，绘制了如下统计图表： 分组（x表示成绩） 频数 A组： 12 B组： 14 C组： 15 D组： n 根据以上信息，解答下列问题： (1)从全校成绩中随机抽取部分成绩进行调查，这种调查方式是______ （A．普查，B．抽样调查）； (2)求得扇形C的圆心角度数为______， ____； (3)若将90次及以上的成绩记为合格，请根据统计结果估计全校2700名学生中成绩达到合格的人数． 【答案】(1)B (2)；9 (3)2052名 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，调查方式的判断，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据是随机抽取部分成绩进行调查可得答案； （2）用360度乘以C的占比即可求出对应的圆心角度数；用C的频数除以其占比求出参与调查的学生人数，进而求出n的值即可； （3）用2700乘以样本中成绩达到合格的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，这种调查方式为抽样调查， 故答案为：B； （2）解：由题意得，扇形C的圆心角度数为； 名， ∴本次一共调查了50名学生， ∴ （3）解：名， 答：估计全校2700名学生中成绩达到合格的人数为2052名． 4．（25·北京西城·二模）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是人）．根据图中提供的信息、解答下列问题： (1)这次抽样调查的学生人数是______人； (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图的值为______，其中“”组对应的圆心角度数为______； (4)已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 【答案】(1)； (2)补全频数分布直方图见解析； (3)，； (4)估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生有人． 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，画频数分布直方图，求圆心角度数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）利用所对应的人数除以其所占百分比，即可得到这次抽样调查的学生总人数； （）先求出所对应的人数，再补全频数分布直方图即可； （）根据调查总人数，计算得到的值，再利用乘以“”组所占比，即可得出“”组对应的圆心角度数； （）利用总人数人乘以该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数所占比，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：所对应人数是：（人）， 补全频数分布直方图如下， （3）解：扇形统计图的值为:， ∴， “”组对应的圆心角度数为， 故答案为：，； （4）解：（人）， 答：估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生有人． 5．（25·北京昌平·三模）为全面贯彻党的教育方针，践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，某校八年级在“每天开设一节体育课”活动中组织学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制如下的统计图表． 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数的值为________，扇形统计图中的值为________； (2)该校八年级学生共有人，若八年级学生都参加测试，估计得分分及以上的学生人数有多少人？ 【答案】(1)， (2)人 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图的综合应用，用样本估计总体． （1）计算本次抽取的学生人数通过得分成绩在3的频数除以所占百分比可得出，计算扇形统计图中n的值利用成绩分数在4的频数除以总人数再乘可得到结果； （2）先计算本次抽取的人数中得分超过3分的频数，再计算其频率，最终用八年级总人数乘以频率即可得到结果． 【详解】（1）解：由成绩分数在的频数与所占百分比可知：， ∵成绩分数在的频数为， ∴． 故答案为：，． （2）解：在本次抽取的学生中，得分超过3分的频数为：， ∴得分超过3分的频率为：， ∴在八年级学生中，得分超过3分的人数约有：（人）． 6．（25-26·北京·模拟测试）为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级全体学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，调查小组从中随机选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下图表： 成绩x分 频数/人 百分比 6 15 9 (1)求这次抽样调查的总人数； (2)先分别求出的值，再补全频数分布直方图； (3)调查小组将调查结果绘制成扇形统计图，若将成绩x在分的学生评为“科普达人”，求“科普达人”所在扇形圆心角的度数． 【答案】(1)50人 (2)；；；补全频数分布直方图见解析 (3) 【分析】（1）用频数除以其占样本中的百分比即可； （2）根据频数等于样本容量乘以频率计算，即可求得a和c，用样本容量减去各部分的频数，即可求得b的值； （3）成绩x在分的学生的百分比乘以即可． 【详解】（1）解：， 所以这次抽样调查的总人数是50人； （2）解：； ； ； 补全频数分布直方图如下： （3）解：“科普达人”所在扇形圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，频数分布表，求扇形统计图中某一部分的圆心角的度数，画频数分布直方图，熟练掌握频数分布直方图与列表之间的关联是关键． 7．（25-26·北京大兴·模拟测试）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了解七年级学生的数学运算能力，某校对全体七年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分六组：A．，B．，C．，D．，E．，F． 等级 A B C D E F 分数 人数 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图： (3)若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 【答案】(1)，，； (2)，图见解析； (3)估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有人． 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解决本题的关键是从统计图中获取有用信息，会用样本估计总体． (1)根据组的占比可求得的值，利用总数减去其余各组的人数可求得的值，利用组所占百分比，即可求解； (2)求出E组所占百分比，再乘以度即可得到扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数；根据(1)的结果，再补全频数分布直方图； (3)利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知组的人数占总人数的， ， ， 组的占比为：， ． 故答案为：，，； （2）解：E组对应扇形圆心角的度数为：， 由(1)可知， 补全频数分布直方图，如图即为所求； （3）解：（人） 答：估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有人． 8．（25·北京朝阳·二模）为了激发同学们学习数学的兴趣，某校七年级在“国际数学日”当天举办了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生获得“数学能手”称号．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（x表示积分，数据分为5组：，，，，） 根据以上信息，完成下列问题： (1)本次调查活动中，学校收集到的数据属于________数据（填“定性”或“定量”）； (2)请你求出________，并补全频数分布直方图； (3)这一组学生的积分分别是：81，82，90，93，93，93，96，98，98．若该校七年级共有300名学生参加比赛，请估计获得“数学能手”称号的人数． 【答案】(1)定量 (2)，见解析 (3)人 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能从图中正确获取信息是解答的关键． （1）根据数据类型可得答案； （2）用这一组学生的人数除以七所占的百分比，可求出m的值，从而得到这一组学生的人数，即可求解； （3）根据用样本估计总体，解答即可． 【详解】（1）解：本次调查活动中，学校收集到的数据属于定量数据； 故答案为：定量； （2）解：， 这一组学生的人数为人， 补全频数分布直方图如图： 故答案为：40； （3）解：抽取的40名学生中，积分达到90分及90分以上的学生人数为（人）， 估计七年级学生获得“数学能手”称号的人数约（人） 考点2 平均数、中位数、众数、方差计算与应用 1．（2026·北京西城·模拟预测）为了解三款轮胎的最远行驶里程（单位：）情况，某汽车生产企业分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下： ②C款轮胎的最远行驶里程： ③三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如表： 轮胎 A B C 平均数 100 100 中位数 99 99 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)三款轮胎最远行驶里程平均数越大轮胎质量越好；若最远行驶里程平均数相同，则方差越小轮胎的质量越好．三款轮胎中质量最好的是________；若该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有________个． 【答案】(1)； (2)B，． 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义以及利用样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：款轮胎的最远行驶里程的平均数：， A款轮胎的最远行驶里程排在中间的两位数是和， ∴中位数：； （2）解：A，B两款轮胎最远行驶里程的平均数相同，且比C款大，所以A，B两款轮胎质量较好，又因为B款轮胎的波动比A款小，即B款轮胎的方差比A款轮胎的方差小， ∴B款轮胎的质量最好； 最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有： （个）． 2．（25-26·北京·模拟测试）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 (1)写出表中m，n的值； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 【答案】(1)66，70 (2) (3)③ 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成70后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． 【详解】（1）解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； （2）解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； （3）解：把甲中的一个60换成70后， 新数据是： 60分，66分，66分，70分，70分，70分，70分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 3．（25-26·北京海淀·模拟测试）某校为选拔槐荫区第五届“勾股数学”杯初中校际联赛参赛选手，在八年级（1）班和（2）班开展了数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级（单位：满分100分，90分及90分以上为优秀）：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 八年级（1）班10名学生的成绩为：73，75，81，82，84，88，88，93，97，99； 八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 86 a 88 68.2 八（2）班 86 85 b 56 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ． (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪个班？ (3)若八年级两个班共有90名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数． 【答案】(1)86，84 (2)选派八（2）班， (3)总优秀人数为27人 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可得出结果； （2）根据方差判断即可得出结果； （3）用乘以两个班学生竞赛成绩优秀的人数所占的比例即可得出结果． 【详解】（1）解：八年级（1）班学生竞赛成绩从小到大排列为、、、、、、、、、， 故八年级（1）班学生竞赛成绩的中位数为第、名成绩的平均数，即， 八年级（2）班学生竞赛成绩中出现次数最多的为分，故众数； （2）解：∵八年级（2）班学生竞赛成绩的方差小于八年级（1）班学生竞赛成绩的方差， ∴八年级（2）班学生竞赛成绩更稳定， ∴学校会选派八年级（2）班； （3）解：由题意可得：八（1）班优秀有3人，八年级（2）班优秀有3人， 则（人）， 故总优秀人数为27人． 4．（25·北京门头沟·二模）“爽爽贵阳”生动地描绘了贵阳市夏季凉爽舒适的气候特点．在综合与实践活动“哪个城市夏天更热”中，某实践小组收集了贵阳和A城夏季某周的日最高气温数据，并绘制成如下的统计图表（如图）： 城市 平均数/℃ 中位数℃ 众数/℃ 方差 A城 36 b 35，38 d 贵阳 a 26 c 6.9 回答下列问题： (1)表格中：________，________，________； (2)已知A城这一周的日最高气温的离差平方和为20，请计算d的值（精确到0.1）； (3)根据表格中的数据，任选两个角度对比贵阳和A城的气温特点． 【答案】(1)，36，25 (2) (3)从平均数的角度，这一周贵阳市的平均气温低于城平均气温；从方差的角度，这一周贵阳市的气温波动比城的大（答案不唯一） 【分析】题目主要考查平均数、中位数和众数、方差的计算方法，及利用它们作决策，熟练掌握是解题关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据平均数、方差、中位数即可得出结论． 【详解】（1）解：贵阳的数据为：， ∴，， A城的数据为：， ∴36， 故答案为：27，36，25； （2）解：； （3）解：从平均数的角度，这一周贵阳市的平均气温低于城平均气温； 从方差的角度，这一周贵阳市的气温波动比城的大．（答案不唯一） 5．（25-26·北京·模拟测试）汉字是传承中华文明的重要载体．阳光中学于12月24日～26日开展了第一届汉字书写大赛，本次大赛满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10； 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 6 6 乙组 7 (1)根据以上成绩，统计分析表中：_____，_____，_____． (2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？请说明理由． 【答案】(1)，7，2.45 (2)乙组参加决赛；理由见解析 【分析】本题考查了求平均数，中位数，众数，方差，根据数据做决策． （1）根据平均数、中位数和方差的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：甲组平均数是， ∵乙组数据为：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9， ∴乙组的中位数为第五和第六位数的平均数，即， 乙组的方差， 故答案为：；7；； （2）解：乙组参加决赛． 理由如下：∵甲组平均数，乙组平均数， ∴两组平均数相同， ∵甲组方差，乙组方差，且， ∴乙组成绩更稳定， ∴选乙组参加决赛． 6．（25·北京通州·模拟测试）某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班（2）班进行了检测．如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况： (1)利用图中提供的信息，补全下表： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） （1）班 24 （2）班 24 21 (2)观察图中数据分布情况，请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定？ 【答案】(1)24，24，24 (2)初三（1）班的学生纠错的得分情况更稳定 【分析】本题考查了平均数与方差、中位数与众数，熟练掌握定义与计算公式是解题关键． （1）先根据平均数公式和众数的定义求解，再求出初三（2）班6号学生的得分，根据中位数的定义求解即可得； （2）分别求出（1）班和（2）班各随机抽取的10名学生的得分的方差，由此即可得． 【详解】（1）解：（1）班的平均分为； ∵在初三（1）班随机抽取的10名学生的得分中，24出现的次数最多， ∴（1）班的众数为24； 初三（2）班6号学生的得分为 ， 则将初三（2）班随机抽取的10名学生的得分从小到大进行排序为， ∴（2）班的中位数为； 故答案为：24，24，24． （2）解：（1）班得分的方差， （2）班得分的方差， ∵，即， ∴初三（1）班的学生纠错的得分情况更稳定． 7．（25-26·北京·模拟测试）无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； 将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 方差 A 31 m 31 B a 32 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更稳定？请说明理由； (3)公司仓库有A型无人机200架，B型无人机150架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架？ 【答案】(1)31，30，32； (2)A型号的续航性能更稳定 (3)这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有架． 【分析】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． （1）利用众数、中位数的定义进行计算即可； （2）根据方差进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：将A型号重新排列得：26，28，30，30，30，32，32，33，34，35； ∴； B型号重新排列得：25，28，28，30，32，32，32，33，34，36； ∴， ∴； 故答案为：31，30，32； （2）解：A型号的无人机续航性能更稳定． 理由：A型号续航时间的方差为，B型号续航时间的方差为， ∵， ∴A型号的续航性能更稳定； （3）解：（架）， 答：这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有架． 8．（25-26·北京·模拟测试）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图： 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 采访 写作 摄影 小悦 小涵 ▲ ▲    (1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数加下：，，，，，，．这组数据的中位数是___________分，下四分位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； (2)请你计算小涵的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)小涵能入选，小悦不一定能入选 【分析】本题主要考查了统计表、条形统计图、下四分位数、众数、中位数、平均数，解决本题的关键是根据定义求出各项数据． (1)根据下四分位数、众数、中位数、平均数的定义求出各项数据； (2)根据将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算小涵的总评成绩； (3)由条形统计图可知，分以上的共有人，所以小涵能入选，小悦不一定能入选． 【详解】（1）解：把，，，，，，按照从小到大排列 可得：、，，，、，， 这组数据中共有个数据，中间的一个数据是， 这组数据的中位数是； ， 这组数据的下四分位数是； 这组数据中出现次数最多的是， 这组数据的众数是； 这组数据的平均数是； 故答案为：，，，； （2）解：由(1)知小涵的摄影成绩为分， 小涵的总评成绩为(分)， （3）解：由条形统计图可知，分以上的共有人， 学校要选名小记者， 小涵一定能入选， 小悦的成绩是分， 小悦不一定能入选． 考点3 列表法或树状图求概率 1．（25-26·北京顺义·模拟测试）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 2．（25-26·北京门头沟·模拟测试）近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其它均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从这四张卡片中随机抽取1张卡片，正面图案恰好是“神舟22”飞行任务标识的概率是 ； (2)从这四张卡片中随机同时抽取2张卡片，用列举法求出正面图案恰好是“神舟19”和“神舟20”飞行任务标识的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A． （1）直接利用概率公式计算； （2）利用树状图展示所有12种等可能的结果，再找出正面图案恰好是“神舟19”和“神舟20”飞行任务标识的结果数，然后根据概率公式求解．州 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取1张卡片，正面图案恰好是“神舟22”飞行任务标识的概率是； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中正面图案恰好是“神舟19”和“神舟20”飞行任务标识的结果数为2， 所以正面图案恰好是“神舟19”和“神舟20”飞行任务标识的概率． 3．（25-26·北京西城·模拟测试）不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品．将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E． (1)从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率； (2)向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回．大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件． 【答案】(1) (2)加入一等品的件数约为15件 【分析】本题考查了列表法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可； （2）设加入一等品的件数约为x件．由题意可估计抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，再根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，所有可能的结果如下： 由上表可以看出，从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的产品都是一等品有6种结果，即，，，，，， ∴两次抽到的产品都是一等品的概率为． （2）解：设加入一等品的件数约为x件． 由题意可估计抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9， ∴． 解得，且符合题意． 答：加入一等品的件数约为15件． 4．（25·北京海淀·二模）某学校为丰富学生的体育活动，安装了智慧体育器材．该校九年级共有480名学生，学校统计了九年级学生使用智慧体育器材的情况，数据整理如下： 高频使用者（每周不少于4次） 中频使用者（每周2至3次） 低频使用者（每周不多于1次） 人数 160 m n (1)若从九年级随机抽取一名学生，该生是“中频使用者”的概率为，则______，______； (2)九年级的甲、乙同学都是“高频使用者”，丙同学是“中频使用者”，丁同学是“低频使用者”．现从这4名学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2人中至少有1人是“高频使用者”的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了简单事件的概率问题，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）由总人数和对应的概率，即可求出的值，由总人数减去“高频使用者”人数和“中频使用者”，即可求出的值 （2）先列出表格（或画树状图）得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：；． （2）解法一：从4名同学中随机抽取2人，可能出现的结果如下表： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等． 抽到的2人至少有1人是“高频使用者”（记为事件A）的结果有10种：即（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙）． 得． 解法二：从4名同学中随机抽取2人，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性相等． 抽到的2人至少有1人是“高频使用者”（记为事件A）的结果有10种：即（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙）． 得． 5．（25·北京大兴·一模）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． (1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； (2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）由题意可进行列表，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是； 故答案为； （2）解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有种等可能的情况，所以他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 6．（25-26·北京·模拟测试）2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】(1)①随机；②5，3 (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②5，3； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 7．（2025·北京·一模）在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； (2)小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色， 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是， 故答案为：； （2）把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为、、、，列表如下： 由表知，共有12种等可能的结果，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液（C）呈现蓝色，白醋溶液（B）、柠檬水溶液（D）呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果， 一杯变红、一杯变蓝的概率为． 8．（2025·北京海淀·二模）小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其5句诗词并用它们的编号分别制成5张卡片（卡片除编号外完全相同）玩数学游戏．五句诗词如下： 编号 诗句 A 日照香炉生紫烟 B 飞流直下三千尺 C 收入春风满洛城 D 遥看瀑布挂前川 E 谁家玉笛陪飞声 小明将这5张卡片背面朝上，洗匀放好．请你完成下列问题： (1)填空：小亮从5张卡片中随机抽取1张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是____； (2)小亮从5张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率； (3)填空：小亮从5张卡片中随机抽取2张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的计算公式即可求解； （2）根据题意列出表格，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可求解； （3）结合（2）中的表格，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可求解； 【详解】（1）解：小亮从5张卡片中随机抽取1张，共有5种等可能的结果，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子有3种情况， 恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 由表格可知，共有20种等可能的结果，其中2张都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的情况有6种， 都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率． 答：都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率为． （3）解：由（2）中的表格可知，共有20种等可能的结果，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的情况共有4种， 都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率． 故答案为：． 1．（2026·北京·模拟测试）为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，某校计划给全校学生采购一批运动鞋．现从全校各年级随机抽取名学生调查其常用运动鞋尺码（欧洲码），绘制了如下统计图表． (1)在扇形统计图中，的值为 ，在箱线图中的值为 ，的值为 ： (2)本次调查样本中数据的众数为 ． (3)若在校学生有人，根据抽样调查结果，估计购买码运动鞋多少双？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)估计购买码运动鞋大约为双． 【分析】本题主要考查了箱线统计图和扇形统计图的综合运用、用样本百分数估计总体百分数． (1)根据扇形统计图中的数据求出的值，根据箱线统计图的定义求出、的值； (2)根据众数是数据中出现次数最多的数据，求出这组数据中的众数； (3)用样本百分比估总体百分比求出人中购买码运动鞋的大约人数． 【详解】（1）解：扇形图中， 码的占比是，码的占比是，码的占比是， ， 下四分位数是， 码的占比为，码的占比为，码的占比为，码的占比为， ， 又码的占比为， ， 双鞋中鞋码从大到小排列的第和双鞋应该都是码， 中位数， 故答案为：，，； （2）解：由扇形统计图可知，码和码出现的次数最多，均占总数的， 这组数据的众数是，， 故答案是，； （3）解：学校学生有人，估计购买码运动鞋大约为(双)， 答：学校学生有人，估计购买码运动鞋大约为双． 2．（2026·北京·模拟测试）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．岳阳第十中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图．组学生跳绳次数（单位：次）如下：65    70    73    80    85    95    96    96    98 组别 次数（单位：次） 频数 组      9 组      组      12 组      3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)的值是___________； (3)在扇形统计图中，组的扇形圆心角为___________； (4)若岳阳市第十中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】(1)一共抽取60名学生 (2)36 (3)54 (4)估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图，熟练掌握频率分布表和扇形统计图是解题的关键． （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）用调查总人数减去组，组，组的人数即可求出的值； （3）用组人数所占调查总人数的比例乘以计算即可； （4）用组人数所占调查总人数的比例乘以计算即可． 【详解】（1）解：（名）． 答：一共抽取60名学生． （2）解：， 故答案为：； （3）解：在扇形统计图中，A组的扇形圆心角为， 故答案为：； （4）解：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 3．（2025·北京大兴·模拟测试）某中学为了解七年级学生体能状况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，并将测试成绩（单位：次）进行统计，绘制成如下统计图表（不完整）．请根据图表信息回答下列问题： 组别 次数 频数（人） 百分比 A 4 B 8 C a b D 16 E 4 (1)本次抽样调查的样本容量为________， ______， ______； (2)绘制频数分布直方图； (3)若七年级共有400名学生，请你估计七年级学生中一分钟跳绳次数达到120次及以上的有多少人？ 【答案】(1)40， 8， (2)见解析 (3)280 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，以及频数（率）分布表，弄清题意是解本题的关键． （1）先根据A组的频数除以其所占的百分比求出样本容量，然后根据频数之和等于总数求得a，再根据频率=频数÷总数可得b的值； （2）根据频数分布表可补全直方图； （3）总人数乘以样本中C、D、E组的频率之和可得． 【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量为， ， ， 故答案为：40，8，； （2）解：如图， ； （3）解：， 答：估计七年级学生中一分钟跳绳次数达到120次及以上的有280人． 4．（2026·北京·模拟测试）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)图①中a的值为______； (2)求这组初赛成绩数据的平均数，众数； (3)这组数据的上四分位数为______． 【答案】(1)25 (2)平均数为，众数为 (3) 【分析】根据扇形统计图知识解答即可； 根据平均数，众数的定义即可解答； 展开数据，根据上四分位数的求法解答即可． 本题考查条形统计图基础知识，要会找众数，计算平均数和四分位数，熟练掌握以上知识是解题关键． 【详解】（1）解：，即a的值是25； 故答案为：； （2）解：设平均数为，由条形统计图可知，这组数据的众数是， ， 答：这组初赛数据的平均数为、众数为； （3）解：根据条形图得到这组数据如下： 1.5，1.5，1.55，1.55，1.55，1.55，1.60，1.60，1.60，1.60，1.60，1.65，1.65，1.65，1.65，1.65，1.65，1.70，1.70，1.70 由上四分位数定义可得， 故答案为：． 5．（2025·北京丰台·二模）某校开展“书香校园”活动，对初二学生每周的课外阅读时间进行抽样调查，并将数据分成 A、B、C、D、E 五组（每周阅读时间t分钟：A：；B：；C：；D： ；E：），绘制成如下表格和统计图（不完整）． 时间 A： B： C： D： E： 人数 25 90 35 (1)本次调查的样本容量是   ； (2)补全条表格并求扇形统计图中“B组”对应的圆心角度数； (3)若该校初二年级共有600名学生，请估计阅读时间在120分钟以上的学生人数． 【答案】(1)250 (2)80，20， (3)324 【分析】本题考查了频数分布表，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键．（1）用“D”组的人数除以对应占比即为总人数，计算即可；（2）先求出“C组”和“E组”人数，再用总人数减去其余4组的人数为“B组”的人数，即可补全频数分布表，最后用“B组”的人数除以总数求出占比，再乘以360°即可； （3）用样本估计总体的方法解即可． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是， 故答案为：250； （2）解：“C组”人数为（人）， “E组”人数为（人）， 故补全表格如下： 时间 A： B： C： D： E： 人数 25 90 80 35 20 “B组”对应的圆心角度数为； （3）解：（人）， 答：估计阅读时间在120分钟以上的学生人数324人． 6．（2026·北京·模拟测试）我校为提高学生的安全意识，组织八、九年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 b 中位数 8 众数 9 8 方差 1.06 1.38 (1)根据以上信息可以得出______，_____； (2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_______（填“八年级”或“九年级”）； (3)已知该校八年级有1000人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)9， (2)八年级 (3)该校八年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生约有720人． 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的值，根据平均数的计算方法，可以确定的值； （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用样本估计总体即可得到答案． 【详解】（1）解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 八年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级B中， 故八年级中位数， 由扇形图可知：， 故答案为：，； （2）解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更好，更稳定； 故答案为：八年级； （3）解：八年级优秀人数为人． ∴该校八年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生约有720人． 7．（2026·北京·模拟测试）某校组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩（单位：分）都不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机选取其中200名学生的海选成绩（总分为100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表如下： 抽取的200名学生海选成绩统计表 组别 海选成绩/分 人数 百分比 组 10 组 30 组 40 组 组 70 请根据所给信息解答下列问题： (1)填空：____________，____________，____________． (2)若把统计表每组中各个成绩用这组数据的组中值代替，请估计被选取的200名学生海选成绩的平均数． 【答案】(1)50；15；35 (2)（分） 【分析】（1）用总人数乘以组的百分比即可得到的值；用的频数除以总人数即可求出的值；用的频数除以总人数即可求出的值； （2）根据加权平均数的计算方法，可以计算出被选取的名学生成绩的平均数． 【详解】（1）解：50，15，35． 由题意可知，样本总人数为：（人） ， ，即； ，即 （2）解：被选取的名学生海选成绩的平均数约为（分）． 答：所选取的200名学生的平均成绩约82分． 【点睛】本题考查频数分布表、加权平均数，掌握“”是解答本题的关键． 8．（2025·北京西城·三模拟）学校倡导学生每天综合体育活动时间不低于两小时．某学习小组为了解学校各年级同学在校参加综合体育活动的时长，在三个年级中各随机抽取一个班级进行调查，数据记录如下（单位：分钟）：        天数 班级 第一周 第二周 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 初一某班 125 113 118 114 116 120 112 126 125 121 初二某班 121 125 121 122 110 122 117 121 116 115 初三某班 127 121 115 122 125 121 121 115 118 115 (1)利用所学统计知识，从至少2个角度对这三个班级的校内综合体育活动时长进行分析； (2)根据这些数据信息，你还能作出什么判断或猜想？ 【答案】(1)初三某班的活动平均时长更长，初二某班的活动时长差值最大； (2)三个班级的平均活动时长差距不大． 【分析】本题考查了数据分析问题． （1）任选2个角度进行分析即可； （2）通过已知数据作判断即可． 【详解】（1）解：初一某班平均活动时长为（分钟）； 初二某班平均活动时长为（分钟）； 初三某班平均活动时长为（分钟）； 初一某班数据最大值126，最小值112，极差14分钟； 初二某班数据最大值125，最小值110，极差15分钟； 初三某班数据最大值127，最小值115，极差12分钟； 即初三某班的活动时长更长，初二某班的活动时长差值最大； （2）解：由（1）可知初三班级的活动时间稍高，但三个班级的平均活动时长差距不大． 9．（2026·北京·模拟测试）为增强体质、促进身心健康，国家规定义务教育阶段中小学生每天在校体育活动时间不低于2小时．为检测成果，某校组织抽样测试九年级1分钟跳绳次数，其统计表和频数分布直方图如图所示． 九年级抽样测试学生1分钟跳绳次数频率分布表 组号 成绩x的范围 频率 A B C D a E (1)统计表中，_________，样本容量_________； (2)把频数分布直方图补充完整，注明频数；在频数分布直方图上画出频数分布折线图； (3)频数分布直方图的横轴上注明的是每个小组的“组中值”，在统计中，小组的平均成绩可以用这个“组中值”来估算．孔明按以下方法估算参加测试学生跳绳次数的平均数是：．请你判断孔明的算式是否正确，若不正确，写出正确的算式，并计算出结果． 【答案】(1)；50 (2)图见解析 (3)算式不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息是解决本题的关键． （1）根据频率和为1计算得出a，再由直方图的数据结合频率求解得出m即可； （2）先计算出E组人数，再进行补充直方图并画出频数分布折线图即可； （3）利用加权平均数的算法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 由直方图可得，A组的频数为， ∵A组的频率为， ∴样本容量为， 故答案为：，50； （2）解：由题意得，E组的学生人数为：（名）， 频数分布直方图补充如下： （3）解：孔明的算法不正确， 理由：他用了简单平均数，而应该用加权平均数； 正确算式：平均数 ． 10．（2026·北京·模拟测试）某校射箭社团准备在甲、乙两名学生中选出一人参加集训，现对他们进行了5次测试，将他们5次射箭命中的环数记录如下（单位：环）： 【数据收集】 甲：7，8，8，8，9； 乙：7，7，7，9，10． 【数据分析】 学生 平均数/环 中位数/环 众数/环 离差平方和 甲 8 2 乙 8 7 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_____________，_____________； (2)求学生甲这5次射箭命中环数的平均数； (3)如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由． 【答案】(1)7，8 (2)8 (3)选择甲，理由见解析 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键： （1）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用方差作决策即可． 【详解】（1）解：甲中数据出现次数最多的是8，故； 乙中数据排序后位于中间的一位是7，故； 故答案为：7，8； （2）解：； 答：学生甲这5次射箭命中环数的平均数为8； （3）解：选择甲，理由如下： 由表格和（2）可知，甲乙两人的平均数相同； ∵； ； ∴， ∴甲的成绩较稳定， 故应该选择甲． 11．（2026·北京·模拟测试）以诗词为媒，赴文化盛宴．为激发全民诗词热情，感悟中华优秀文化内涵，领略中华诗词之美，提升语言文化素养，进一步增强文化自信．某地举办以“华韵悠扬，诗润心田”为主题的诗词大赛，比赛的规则为：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四个关键字（依次记为，，，），第一轮为飞花令，由电脑随机给每位参赛选手抽取上述关键字中的一个，选手背诵以抽到的关键字为主题的诗句；第二轮为诗词讲解，由电脑在剩下的三个关键字中随机给每位参赛选手派发一个关键字，选手根据对应关键字的题目要求进行诗词讲解．青青参加了此次诗词大赛，并完成了两轮比赛． (1)“青青第一轮中抽到关键字‘夏’”属于___________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)利用画树状图或列表的方法，求青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了事件的分类，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可得到答案； （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：第一轮抽字是随机过程，四个字中每个字都有可能被抽到， “青青第一轮中抽到关键字‘夏’”属于随机事件； 故答案为：随机； （2）解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的结果有种， 青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的概率为． 12．（2025·北京海淀·一模）某学校化学兴趣小组在实验室探究金属与稀盐酸的反应．已知实验室有四种金属，分别为铝（）、锌（）、铜（）、银（），铝和锌与稀盐酸均会发生反应并产生气体，其余两种金属均不反应． (1)填空：若从中随机选取一种金属进行实验，恰好选到不反应的金属概率是_____； (2)若随机选取两种不同的金属同时进行实验，通过列表或画树状图求恰好都选到不反应的金属概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）由简单概率公式直接计算即可得到答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共四种金属，铝和锌与稀盐酸均会发生反应并产生气体，其余两种金属均不反应， ∴从中随机选取一种金属进行实验，恰好选到不反应的金属概率是， 故答案为：． （2）根据题意，列表如下， 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 由表可知，共有12种等可能的结果，恰好都选到不反应的金属有种， ∴求恰好都选到不反应的金属概率为． 13．（2026·北京·模拟测试）只有一张电影票，小明和小刚想通过摸球游戏来决定谁去看电影．现将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球都是红球”是_____（填“随机”“不可能”或“必然”）事件． (2)现规定游戏方案：摸出的2个球，若颜色相同，则小明去看电影；若颜色不同，则小刚去看电影．这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平．理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 14．（2026·北京·模拟测试）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． 如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由． 【答案】公平，理由见详解 【分析】本题考查的是概率计算，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用树状图法列举出所有可能和差为正数和非正数的结果数，进而求出概率；较甲、乙获胜的概率即可得出是否公平． 【详解】解：此游戏规则公平，根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为正数的情况占6种，非正数的情况占6种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 则此游戏规则公平． 15．（2025·北京东城·二模拟）如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)应选择方式，理由见解析 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率公式可计算出转出的数字为奇数的概率； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； （2）解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $