专题09二次根式专项训练(18大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题09二次根式专项训练 ☆」 题型突破期中复习导航 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.分母有理化 题型10.最简二次根式判断与求参 题型11.化为最简二次根式 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.二次根试的化简求值 题型16.二次根式的大小比较 题型17.二次根式的应用 题型18.二次根式规律探究题 解答题8题 ☆ 重要知识 ■■■■■■■■■ 知识点01核心概念（基础前提） 二次根式：形如ya(a≥0)的式子，被开方数非负是前提 最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数/因式 知识点02.核心性质（化简关键） 1.双重非负性：√≥0且a≥0(a≥0)，（常考求参数，如Va+Vb0→ab0) 2.(Wa)P=a(a≥0)（根号先平方，直接去根号） a(a≥0) 3y厘-lal-{-da<o) (平方先开根号，必带绝对值，结合数轴/条件去绝对 值) 试卷第1页，共3页 4积的算术平方根：ab-a·Vb(a≥0，b≥0)（拆根号化简） 商的算术平方根：层=a(a0,b>0)(拆根号+分母有理化基五 6.易混点直击：V)2vsVa2对比表 (Va)2 v层 表示非负数a的算术平方根 表示的意义 表示实数a的平方的算术平方根 的平方。 不 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方。 同 点 a的取值范围 a≥0. a为任意实数 结果的表达形式 (Wa2=a(a≥0). Va-lal-aata0) 相同点 结果都是非负数，且当a≥0时，(a2=V 知识点03核心运算（必考重点） 二次根式 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 的乘法 二次根式 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 的除法 二次根式 最简二 ①被开方数不含分母： 的运算 次根式 ⊙ ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 二次根式 ①化：将每个二次根式都化成最简二次根式。 ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式 的加减 ③合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并。 二次根式的 无括号的先乘方，再乘除，最后加减： 混合运算 ⊙ 有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）： 司级运算，从左到右进行计算 (1)乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：Va·bVab(a≥0，b≥0)推广：mya·nWb=mnvab(a0,b≥0) 法则：后-层 (a≥0，b>0:推广：mvainyb-0V层 (a≥0，b>0) 试卷第1页，共3页 (2)加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） (3)混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (Va+/b)(Va-/b)=a-b; (Wa±Vb)2=a+b+2Wab 1.忽略二次根式有意义的条件(a≥0)，求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆（√）2与V2,后者结果必须加绝对值： 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 (4)分母有理化：消法分母中的根号 核心：分子分母同乘分母的有理化因式（如Va的有理化因式为√，√a√b的为 a+B) 常见类型及方法 分母类型 有理化方法 举例 1 1×√2 V2 单根式(va) 分子分母同乘Vā 2 √2×√2 2 v3 √3×v5 分子分母同乘v@ √15 根式倍数(n√a) 2v5 2w5×√5 10 ☆ 题型突破考点突破 国■■脑■国国■■ 试卷第1页，共3页 题型01.二次根式的识别 1.下列各式中，是二次根式的是() A.5 B.√F百 c.万 D.a 2.下列各式中，二次根式的个数有() 12;V2;√m2+n2; 3；V2-10x+30;V6x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.下列式子中，不一定是二次根式的是( A.√12 B.x2-2xy+y2 C.√x-I D.V-2)×(-3 题型02.求二次根式的值 4.√5的绝对值是() A.-5 B.V3 c.3 D.3 3 3 5.当a=11时，二次根式√a-2的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知2a-8+5-3b=0,则√6a-9b的值为() A.9 B.±9 C.3 3 题型03.求二次根式中的参数 7.已知√3n是整数，则满足条件的最小正整数n为() A.5 B.3 C.4 D.2 8.下列各式：①√；②√a+2;③√x2+5;④√3a;⑤Vy2+6y+9;⑥V3,其中一定是 二次根式的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.若√60n是整数，则正整数的最小值是() A.15 B.5 C.4 D.3 题型04.二次根式有意义的条件 10.如果y=√x-2+√2-x+3,那么x'的值是（) 试卷第1页，共3页 B. C.-6 D.9 11.能使等式 x 成立的x的取值范围是() Vx-7x-7 A.x≠7 B.x≥0且x≠7 C.0≤x<7 D.x>7 12.如果y= -4+V4-x+3,那么2x-y的算术平方根是（） x+2 A.1 B.-1 C.7 D.-7 题型05.利用二次根式的性质化简 13.如果Vx-22=2-x,那么() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2 14.实数a在数轴上的位置如图所示，化简：la-1-Va-22=(） 01 A.2a-3 B.1 C.-3 D.-1 15.已知V3x+2-√5x-4=3-x,则V3x+2+√5x-4的值为() A.2 B.2 C.2√1或2 D.√i或2 题型06.二次根式的乘法 16.化简10×√40的结果是() A.10 B.20 C.40 D.√50 17.要使等式√xI-x)=√-x成立，实数x的取值范围是(). A.x≤0 B.x≥0 C.0≤x≤1 D.x≥1 18.下列变形错误的有() ①V52-4=√5-√4=5-4=1 ②-16)x-25)=√-16×V-25=-4×(-5)=20: @+骨吕号 ④V42x7=V42×V7=4v7 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 题型07.二次根式的除法 19.等式 3-x3-x 成立的条件是() V1+x 1+x A.x≤3且x≠-1 B.x>-1 C.-1<x≤3D.x≤3 20.下列运算结果正确的是（) A.V-92=-9 B.5-5 √15 C. “2 a 那么等式成立的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 题型08.二次根式的乘除混合运算 2计京压得带果为《) A.32 B.4W2 C.52 D.62 23.若x>0,y>0, 所得结果为() A西 B.5阿 C.Vx炒 D.xyy 24.估计√2×√24-√5的值应在( A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 题型09.分母有理化 1 25.化简2+5的结果是（ A.5-2 B.2-5 c.5-v5 D.5-√2 3 26.在解决问题“已知V6=a,60=b,用含a,b的代数式表示56时，甲的结果是 0:乙 的结架是%：丙的结果是弘 ,则下列说法正确的是() A.甲、乙、丙都对 B.只有甲、乙对C.只有甲、丙对D. 试卷第1页，共3页 只有甲对 27.己知 2-5的整数部分为a,小数部分为b,则a2+5+1b=（) A.10 B.11 C.12 D.13 题型10.最简二次根式判断与求参 28.若A=√2x√n,其中√m为最简二次根式，A为有理数，n= 29.若最简二次根式√7a-1与√6a+1可以合并，则a的值为 30.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.√4 B.√6 C D.√0.0I 31.若最简二次根式3a-4a+3b和√2a-b+6能合并，则a、b的值分别是() A.2和1 B.1和2 C.2和2 D.1和1 题型11.化为最简二次根式 32.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.√0.5 B.√6 C.⑧ D.√12 33.化简2√4+2√5-V21-125的结果为 34.下列根式是最简二次根式的是() A.√⑧ B.2+y C. D.2a'b 题型12.同类二次根式 35.若√m+√6可以合并为一项，则m的值可以是() A.48 B.36 C.24 D.12 36.下列式子中，与5是同类二次根式的是() A.√0.5 B.√5 C.√25 37.若a和b都是正整数且a<b,√a和√b是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数 为() ①只存在一组a和b使得√a+√b=√18； 试卷第1页，共3页 ②只存在两组a和b使得√a+√b=√75； ③不存在a和b使得√a+√b=√250： ④若只存在三组a和b使得√a+√b=Vc,则S的值为36或81 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型13.二次根式的加减运算 38.下列运算正确的是() A.2+5=√万 B.5√2-3V2=3 C.√5-10=√5 D.25+3√5=55 39.下列运算正确的是() A.V-5=-5 B.22-√2=1 C.√28÷√万=4 DV唱6 40.下列计算正确的是() A.V-52=±5B.（-52=-5 C.35-5=25D.÷√2=4 题型14.二次根式的混合运算 41.计算：（2+1(2-1=() A.1 B.2 C.-1 D.3 42. 估计2×5 +√5的运算结果应在哪两个连续自然数之间() A.2和3 B.3和4 C.4和5 D.5和6 43.学习完二次根式后，李老师为甲、乙、丙三名同学各发了一张测试卡片，卡片上分别写 有一个算式，其中计算结果为无理数的是() 乙：2xV2-⑧ 丙：(2+V5)2 A.甲 B.乙 C.丙 D.都不是 试卷第1页，共3页 题型15.二次根式的化简求值 44.已知x=√6-√2，y=6+√2，则(x+y)(x-y)= 45.若m=√5+1，则m2-2m+2= 6,已知x+70<x<),则Vx-下的值为( A.-万 B.-V5 C.√万 D.5 47.己知：a=3-√2，b=3+√2，则代数式(3a2-18a+15(2b2-12b+13)的值是() A.6 B.24 C.42 D.96 题型16.二次根式的大小比较 48.比较：35()5√3 A.大于 B.小于 C.等于 D.无法确定 49.估算√2×√12+√6的值应在(). A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间. 50.已知a=√2028-√2027，b=√2027-√2026，c=√2026-√2025，那么a,b,c的大小关系 是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 题型17.二次根式的应用 51.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为，据研究，高空抛物下落的时间t(单位： s)和高度h(单位：m)近似满足公式t=, h (不考虑风速的影响).设从a(m)高空抛物 到落地所需时间为石，从3(m叫)高空抛物到落地所需时间为，则臣的值为() A.5 B.5 c.3 D.25 2 5 52.我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分 别为，b,c,三角形的面积S 若a=b=5,S=12,则c的 值为 试卷第1页，共3页 53.现将一个面积为300cm的正方形的一组对边缩短8√5cm,就成为一个长方形，这个长 方形的面积为 cm2. 题型18.二次根式规律探究题 54.观察下列等式：①3-2V2=(2-,②5-26=(5-V2,③ 7-22=4-5,…,⑥13-242=（万-V6，,请你根据以上规律，写出第n个 等式 55,观察以下等式： 第1个等式： 0=2x3 2 V3 3； 第2个等式： 1=3x5 8 5 第3个等式： 8-2-4x7 V 7 第4个等式： 32-3-5x9 9 第5个等式： 50 V6x11 -4= W11 11 按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式· 56.在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由 +川-小-1，可得5+155-1百为数，甲方5-1方51， "√2+1 1 医嘉淇发现的规律，可得2+3+4+反+…+ 二=10W2-1,则整数n √n+√n- 的值为() A.400 B.200 C.199 D.20 57.观察下列二次根式的化简 试卷第1页，共3页 专题09二次根式专项训练 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.分母有理化 题型10.最简二次根式判断与求参 题型11.化为最简二次根式 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.二次根式的化简求值 题型16.二次根式的大小比较 题型17.二次根式的应用 题型18.二次根式规律探究题 解答题8题 知识点01.核心概念（基础前提） 二次根式：形如(a≥0)的式子，被开方数非负是前提 最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 知识点02.核心性质（化简关键） 1.双重非负性：≥0 且 a≥0（a≥0），（常考求参数，如+=0⇒a=b=0） 2.()2=a(a≥0)（根号先平方，直接去根号） 3.=∣a∣=（平方先开根号，必带绝对值，结合数轴 / 条件去绝对值） 4.积的算术平方根:=(a≥0,b≥0)（拆根号化简） 5.商的算术平方根：(a≥0,b>0)（拆根号 + 分母有理化基础 6.易混点直击：()2 vs 对比表 知识点03.核心运算（必考重点） （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 （4）分母有理化：消去分母中的根号 核心：分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式为​，−​的为+​） 常见类型及方法 题型01.二次根式的识别 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键． 直接利用二次根式的定义：形如()的代数式，逐一分析即可得出答案． 【详解】A、的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、的被开方数7一定大于0，故本选项符合题意； D、的中的可能小于0，不一定为二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 3．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 题型02.求二次根式的值 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，进行解答即可． 【详解】解：∵正数的绝对值是它本身， ∴的绝对值是， 故选：D． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型03.求二次根式中的参数 7．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定． 【详解】解：，而是整数， 的最小值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 8．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 9．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 正整数的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键． 题型04.二次根式有意义的条件 10．如果，那么的值是（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题先利用二次根式有意义的条件求出x的值，再得到y的值，最后代入负整数指数幂计算得到结果． 【详解】解：由题意得 解得 ． 11．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 12．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 题型05.利用二次根式的性质化简 13．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式性质，化简原式后，根据绝对值性质列不等式即可求解． 【详解】解： 由题意得 当时 解得 14．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 15．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】依据题意，设，，且，，从而，故，可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 题型06.二次根式的乘法 16．化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 【答案】B 【分析】运用二次根式乘法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解： 因此化简结果为． 17．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 18．下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 题型07.二次根式的除法 19．等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，解不等式组即可． 本题主要考查了二次根式的除法，被开方数要大于等于0，分母不能为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：C 20．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算各选项，即可判断正确结果． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 21．有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 题型08.二次根式的乘除混合运算 22．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 23．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 24．估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在和之间， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 题型09.分母有理化 25．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 26．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 27．已知的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式，根据结果求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型10.最简二次根式判断与求参 28．若，其中为最简二次根式，为有理数，___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 29．若最简二次根式与可以合并，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 30．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意. 31．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． .题型11.化为最简二次根式 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一验证各选项即可得到答案； 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ∵，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； ∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式． 33．化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 34．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 题型12.同类二次根式 35．若可以合并为一项，则m的值可以是（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【详解】解：A．当时，，最简被开方数为，不符合要求； B．当时，，不是被开方数为的二次根式，不符合要求； C．当时，，最简被开方数为，与是同类二次根式，可以合并为一项，符合要求； D．当时，，最简被开方数为，不符合要求． 36．下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 37．若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B． 题型13.二次根式的加减运算 38．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 39．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 40．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及同类二次根式、二次根式的除法运算法则，依次计算即可判断． 【详解】解：A．，计算不正确，故此选项不符合题意； B．，计算不正确，故此选项不符合题意； C．，计算正确，故此选项符合题意； D．，计算不正确，故此选项不符合题意． 题型14.二次根式的混合运算 41．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式进行简便计算，直接代入公式运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 42．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得出结果所在的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式， ∵ ，即 ， ∴ 不等式两边同时加2得，， 因此运算结果在4和5两个连续自然数之间． 43．学习完二次根式后，李老师为甲、乙、丙三名同学各发了一张测试卡片，卡片上分别写有一个算式，其中计算结果为无理数的是（    ） 甲： 乙： 丙： A．甲 B．乙 C．丙 D．都不是 【答案】C 【分析】本题考查二次根式运算与无理数的定义，分别计算三个算式的结果，再根据定义判断即可得到答案． 【详解】解：计算甲的算式： ∵ ，3是有理数， ∴甲的计算结果为有理数； 计算乙的算式： ∵ ，是有理数， ∴乙的计算结果为有理数； 计算丙的算式： ∵ ，是无理数， ∴丙的计算结果为无理数． 题型15.二次根式的化简求值 44．已知，则_________ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，以及代数式求值，将代入式子求解，即可解题． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 45．若，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 46．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键． 47．已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型16.二次根式的大小比较 48．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法． 【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方： 由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得． 故选：B． 49．估算的值应在（    ）． A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间． 【答案】D 【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与比较，即可得到解答． 【详解】解：∵原式= 且49<54<64， ∴ 即， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键． 50．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 题型17.二次根式的应用 51．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 52．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据题中公式，将，，得到，分类求解即可． 【详解】解：将，代入得 ， 将方程两边平方并整理得， 开方得， 即， 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 综上所述，的值为或． 53．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________． 【答案】60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 题型18.二次根式规律探究题 54．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的数字规律探究，关键是拆分等式的各部分，分别找出与序号的对应关系． 【详解】解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即； 根号内的数依次为，，，…，对应， 故左边整体为． 再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即， 所以第个等式为． 故答案为：． 55．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______． 【答案】 【分析】观察已知等式各部分与序号n的关系，归纳各部分的变化规律，整理得到第n个等式，再通过分式运算与二次根式化简验证规律成立． 【详解】解：观察已知等式，对各部分按序号n归纳规律： 第n个等式中，减数为，被减数的分子为，分母为， 等式右侧分母为，根号内的两个因式为和， 由此猜想第n个等式为． 验证： 56．在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 57．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 58．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明； (2)请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据前四个等式得到被开方中，分子为，分母为，结果为，即可得到规律，再利用二次根式的性质化简证明即可； （2）由（1）得到的规律求解即可． 【详解】（1）解：由前四个等式，观察得到被开方中，分子为，分母为，结果为， ∴第个等式为， 证明：； （2）解：． 解答题 59．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （3）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （4）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 61．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．已知，，求代数式的值． 【答案】 16 【分析】由题可得，，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ∴． 64．已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 65．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， (1)二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ． 66．观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后化简二次根式后进行有理数的减法运算； （4）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $