专项10 二次函数综合探究（大题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项10 二次函数综合探究 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 命题趋势：二次函数综合解答题是安徽中考数学的“压轴之王”，近五年固定在第23题（2022年起位置略有调整），分值12-14分，以含参二次函数为核心载体，融合代数推理、几何面积、存在性探究，形成“一题三问、层层递进”的命题格局。根据2026年考纲“强化代数推理、增加二次函数计算量”的核心要求 2026年预测：预计2026年将继续深化含参讨论与定值探究，第(3)问的“与参数无关的定值”和“最值存在性”将成为区分高分与满分的关键。． 题型01 二次函数新定义问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线顶点纵坐标为． (1)求c的值． (2)约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 【思路分析】（1）求出顶点横坐标，代入函数解析式得到顶点纵坐标，根据顶点纵坐标为即可求出c的值； （2）（ⅰ）根据非负数的性质得到，，根据，在函数上得到，进而得到，代入①得：，求解并检验是否符合即可； （ⅱ）同（ⅰ）得，根据根的判别式及作答即可． 【规范答题】（1）解：根据题意可得抛物线对称轴为直线， 即顶点横坐标为， 将代入抛物线得：， ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）当时，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵函数对偶点为，， ∴， ∵，， ∴②可化为③ 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 解得或， ∴或， 经检验都满足， 此时或， ∴函数的对偶点为与； （ⅱ）∵是“对偶函数”， ∴且， ∵，， ∴②可化为③， 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 化简得：， ∵方程有解， ∴， ∴， 当时，原方程可化为， 解得， ∴， 此时，不符合题意， ∴， 综上所述，且． 研考点·通技法 常见考点： 1.定义新的运算或函数特征（如“关联抛物线”、“友好点”等），要求学生理解新概念并应用。 2.根据新定义求函数解析式、顶点坐标或判断点是否在函数图象上。 3.新定义与函数性质、方程、不等式综合。 解题技法： 1.仔细阅读新定义，将其转化为数学表达式（如“抛物线关于某点对称”可转化为顶点坐标关系）。 2.用待定系数法求出函数解析式，再按常规二次函数问题处理。 3.注意新定义中的限制条件（如“不同于原点”、“横纵坐标为整数”等），避免漏解。 4.若新定义涉及变换（平移、对称、旋转），先确定变换后的解析式再解题。 破类题·提能力 1．（2026安徽六安一模）定义：对于二次函数和，若二次函数，我们称二次函数y为函数，的“级高星函数”．如，就是和的“级高星函数”． (1)若和的“级高星函数”，则________； (2)已知二次函数图象的对称轴为直线，二次函数图象的顶点B的坐标为． ①求，的“级高星函数”y的表达式及其最值； ②的顶点为A，，的“级高星函数”y的图象的顶点为C，且经过点，若，求m，n的值． 2.（2026辽宁抚顺一模）定义：将函数位于直线右侧部分的图象，以轴为对称轴进行翻折，得到新函数的图象，我们称函数是函数的关联函数，函数和函数合起来记作函数．例如：函数的表达式为，当时，它的关联函数的表达式为． (1)已知函数的表达式为，在函数上，当时，图象上的点所对应的函数值为，求的值． (2)当时，如图所示． 已知函数的表达式为，写出它的关联函数； 在的条件下，直线与函数的图象有交点，求的取值范围． (3)已知函数的表达式为，函数在的范围内的最大值为，求的值． 3．（2026辽宁抚顺一模）定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”． 例如：的“和谐二次函数”为． (1)函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　； (2)已知二次函数，其“和谐二次函数”记为． 若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标； 函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 题型02 二次函数推理问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽宣城·一模）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【思路分析】本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． 【规范答题】（1）解：由题意得：， 所以； （2）解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 研考点·通技法 常见考点： 1.利用二次函数的图象与性质进行逻辑推理（如根据图象判断a、b、c的符号）。 2.通过已知条件（对称轴、过定点、与坐标轴交点）推导函数关系。 3.比较函数值大小、判断自变量取值范围。 解题技法： 1.图象推理：开口方向定a，与y轴交点定c，对称轴位置定a、b关系（左同右异）。 2.代数推理：将已知点坐标代入得方程，利用对称轴公式 x =建立关系。 3.比较函数值：若两点在对称轴同侧，利用单调性；在异侧，利用顶点及到对称轴距离。 4.常用结论：抛物线过原点则c=0；顶点在x轴上则Δ=0；与x轴有两个交点则Δ>0。 破类题·提能力 1．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 2．（2026·安徽安庆·一模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 3．（2026·安徽滁州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 4．（2026·安徽合肥·一模）已知直线：与轴交于点，与抛物线交于轴上一点，为直线上方的抛物线上一点，设其横坐标为． (1)求的值； (2)当的面积最大时，求的值； (3)点关于轴的对称点为，设点到轴的距离为，到点的距离为，已知在某个范围时，是一个与无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值． 题型03 二次函数存在问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【思路分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【规范答题】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 研考点·通技法 常见考点： 1.是否存在点（如抛物线上点、顶点）满足某种条件（如构成等腰三角形、平行四边形、矩形等）。 2.是否存在实数使函数值满足特定关系（如两函数值相等、和为定值）。 3.结合几何图形，探究是否存在特定位置。 解题技法： 1.先假设存在，设出未知数（点坐标常设为 (t, at²+bt+c)）。 2.根据条件列出方程（组）或不等式，求解并验证。 3.几何条件转化为代数方程： 4.两点间距离公式（等腰三角形、直角三角形）。 5.中点坐标公式（平行四边形对角线互相平分）。 6，斜率关系（垂直、平行）。 7.若有解且符合范围（如点在抛物线上、不与已知点重合），则存在；反之不存在 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，求点的坐标． 3．（2026·四川泸州·一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 二次函数最值问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求a，b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（A，B与原点不重合）． ①若且，求h的值； ②若，求t的最小值． 【思路分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①首先将代入得到，然后将代入得到，将代入得，得到，整理得到，得到，进而求解即可； ②首先得到，代入得，然后得到，利用二次函数的性质求解即可． 【规范答题】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点B（）在抛物线上，， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当h＝时，t有最小值，最小值为． 研考点·通技法 常见考点： 1.求二次函数在给定区间上的最大值或最小值（顶点式、配方法）。 2.实际问题中的最值（如利润最大、面积最大、材料最省）。 3.通过平移、对称后求新函数的最值。 4.含参数的二次函数最值讨论。 解题技法： 1.一般式化为顶点式：y =a(x-h)²+k，顶点(h,k)即为最值点（a>0时最小，a<0时最大）。 2.给定区间的最值：比较顶点横坐标是否在区间内，再比较区间端点函数值。 3.实际问题：先建立二次函数模型，确定自变量取值范围（通常为整数或正数），再利用顶点或端点求最值。 4.含参数问题：常需分类讨论对称轴与区间的位置关系（左、中、右）。 5.平移、对称后的最值：先求变换后的解析式，再按常规方法求最值。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． (1)求的值； (2)点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 2．（2026·江苏南京·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，为杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为15，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图2． （ⅰ）请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 题型05二次函数综合与实践 析典例·建模型 1．（2026安徽合肥一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】 (1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【思路分析】（1）根据得，代入数据计算即可； （2）当时,求出，，，依据计算即可； （3）由题意得，设备C完成该任务的实际时间,列式为，解得，合自变量的取值范围即可解答． 【规范答题】（1）解：该数据处理任务的总运算量（次），； （2）解：当时, （次/秒）, （次/秒）. 联合算力组总算力：（次/秒） 由（1）知次,所需时间： （秒）. 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒. （3）解：由第（2）问可知,联合算力组在时的完成时间为50秒. 设备C完成该任务的实际时间,依题意：. 因为, 所以解不等式得：. 结合自变量的取值范围,得：. 答：环境温度x的取值范围. 研考点·通技法 常见考点： 1.建立二次函数模型解决实际问题（如喷泉、隧道、拱桥、利润、面积最值）。 2.二次函数与几何图形综合（如三角形面积、平行四边形存在性）。 3.二次函数图象的平移、对称变换。 4.利用二次函数求最值，并设计方案。 解题技法： 1.建模与解析式： 根据题意设合适的解析式（一般式、顶点式、交点式），利用待定系数法求解。 实际问题中注意自变量取值范围（如长度、时间、数量的实际限制）。 2.最值问题： 利润最值：总利润＝单件利润×销量，常表示为二次函数，在顶点处取最值。 面积最值：利用几何关系将面积表示为二次函数，注意自变量范围。 若顶点横坐标不在取值范围内，则在端点处取最值。 3.与几何图形综合： 求三角形面积：常用水平宽×铅垂高的一半，或用割补法。 存在性问题（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形）：设动点坐标，根据几何条件列方程求解，注意检验。 相似三角形：利用对应边成比例建立方程。 4.图象变换： 平移：上加下减（常数项），左加右减（自变量）。 对称：关于x轴对称（y变－y），关于y轴对称（x变－x），关于原点对称（x、y均变号）。 5.方案设计与决策： 根据函数值的大小比较，选择最优方案。 结合不等式组确定自变量范围，再求函数最值。 破类题·提能力 1．（2026广西桂林一模）【综合与实践】 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下： 时间 速度 路程 【问题探究】 (1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值； (3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 2．（2026山西晋城一模）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 3．（2026山东淄博一模）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项10 二次函数综合探究 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 命题趋势：二次函数综合解答题是安徽中考数学的“压轴之王”，近五年固定在第23题（2022年起位置略有调整），分值12-14分，以含参二次函数为核心载体，融合代数推理、几何面积、存在性探究，形成“一题三问、层层递进”的命题格局。根据2026年考纲“强化代数推理、增加二次函数计算量”的核心要求 2026年预测：预计2026年将继续深化含参讨论与定值探究，第(3)问的“与参数无关的定值”和“最值存在性”将成为区分高分与满分的关键。． 题型01 二次函数新定义问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线顶点纵坐标为． (1)求c的值． (2)约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 【思路分析】（1）求出顶点横坐标，代入函数解析式得到顶点纵坐标，根据顶点纵坐标为即可求出c的值； （2）（ⅰ）根据非负数的性质得到，，根据，在函数上得到，进而得到，代入①得：，求解并检验是否符合即可； （ⅱ）同（ⅰ）得，根据根的判别式及作答即可． 【规范答题】（1）解：根据题意可得抛物线对称轴为直线， 即顶点横坐标为， 将代入抛物线得：， ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）当时，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵函数对偶点为，， ∴， ∵，， ∴②可化为③ 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 解得或， ∴或， 经检验都满足， 此时或， ∴函数的对偶点为与； （ⅱ）∵是“对偶函数”， ∴且， ∵，， ∴②可化为③， 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 化简得：， ∵方程有解， ∴， ∴， 当时，原方程可化为， 解得， ∴， 此时，不符合题意， ∴， 综上所述，且． 研考点·通技法 常见考点： 1.定义新的运算或函数特征（如“关联抛物线”、“友好点”等），要求学生理解新概念并应用。 2.根据新定义求函数解析式、顶点坐标或判断点是否在函数图象上。 3.新定义与函数性质、方程、不等式综合。 解题技法： 1.仔细阅读新定义，将其转化为数学表达式（如“抛物线关于某点对称”可转化为顶点坐标关系）。 2.用待定系数法求出函数解析式，再按常规二次函数问题处理。 3.注意新定义中的限制条件（如“不同于原点”、“横纵坐标为整数”等），避免漏解。 4.若新定义涉及变换（平移、对称、旋转），先确定变换后的解析式再解题。 破类题·提能力 1．（2026安徽六安一模）定义：对于二次函数和，若二次函数，我们称二次函数y为函数，的“级高星函数”．如，就是和的“级高星函数”． (1)若和的“级高星函数”，则________； (2)已知二次函数图象的对称轴为直线，二次函数图象的顶点B的坐标为． ①求，的“级高星函数”y的表达式及其最值； ②的顶点为A，，的“级高星函数”y的图象的顶点为C，且经过点，若，求m，n的值． 【答案】(1) (2)①，取得最小值，最小值为． 或 【分析】本题考查了二次函数与新定义运算，解题的关键是理解高星函数的定义并利用面积条件建立方程． （1）根据，将和代入，解方程求； （2）①由对称轴和顶点条件分别求出的解析式，代入定义配方法求最小值；②由过定点得，求出顶点坐标，过作的垂线，取距离为的点作平行线，代入求从而求出的值． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：； （2）解：的对称轴为， ， 的顶点为， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为． ②解：， 经过点， ，即， ， 顶点， 又，顶点，顶点， 设直线的解析式为， ， ， 直线为， ， 设点到的距离为，由， ， 过点作，交轴于，设的解析式为，代入， ，即直线为， 设上一点的坐标为， ， ， ， 当时，， 过作，则为即， 将代入，得， 即， ， 当时，， 过作，则为即 将代入，得 ，即， ， 综上，或． 2.（2026辽宁抚顺一模）定义：将函数位于直线右侧部分的图象，以轴为对称轴进行翻折，得到新函数的图象，我们称函数是函数的关联函数，函数和函数合起来记作函数．例如：函数的表达式为，当时，它的关联函数的表达式为． (1)已知函数的表达式为，在函数上，当时，图象上的点所对应的函数值为，求的值． (2)当时，如图所示． 已知函数的表达式为，写出它的关联函数； 在的条件下，直线与函数的图象有交点，求的取值范围． (3)已知函数的表达式为，函数在的范围内的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2)；或 (3)的值为或 【分析】（1）由关联函数的定义可得的表达式，再结合图象上的点所对应的函数值为，列方程求解即可； （2）由关联函数的定义可得的表达式；分别求出直线与函数的图象有交点和无交点时对应的的值，即可得解； （3）先得到函数的关联函数为，确定对称轴为直线，分情况讨论：I．当时；II．当时；Ⅲ．当时；IV．当时；分别根据二次函数的图象性质确定最值，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：函数的表达式为， 它的关联函数的表达式为， 根据题意得，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ； （2）解：函数的表达式为，， 它的关联函数的表达式为； 如图，设函数的图象与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． 根据题意，得恒过点， 点． 对于，当时，， 点． 当直线经过点时与函数的图象有交点，此时； 当直线与平行时刚好与函数的图象无交点，此时． 当或时，直线与函数的图象有交点． （3）解：函数的关联函数为，对称轴为直线， 当时，， I．当时，即． 在范围内，对于函数，随的增大而增大， 当时，取最大值，即， 解得． II．当时，即． 在范围内，对于函数， 当时，取最大值，即， 整理得， 解得（不合题意，舍去）； Ⅲ．当时，即． 在范围内，对于函数， 当时取最大值，由II知（不合题意，舍去）， 对于函数，随的增大而增大， 当时，取最大值，即， 解得（不合题意，舍去）； IV．当时，即． 在范围内，对于函数， 当时取最大值，即， 解得（不合题意，舍去）； 对于函数，随的增大而增大， 当时，取最大值，由Ⅲ知； 综上所述，的值为或． 3．（2026辽宁抚顺一模）定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”． 例如：的“和谐二次函数”为． (1)函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　； (2)已知二次函数，其“和谐二次函数”记为． 若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标； 函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或；． 【分析】（）先求出函数的对称轴为直线，然后通过“和谐二次函数”定义设，得出，再求出，的值即可； （）由题意知，，联立，从而得出点，，所以轴，，过点作于点，然后根据得出，对于，当时，，然后求出的值即可； 由题意，得函数的图象如图所示，当时，的最大值为，又函数的最大值与最小值的差为，所以最小值应为，过点作轴交的图象于点，将代入，从而可得点的坐标为，由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为，从而求解． 【详解】（1）解：函数的对称轴为直线， 设其“和谐二次函数”为， ∴， 解得：， ∴其“和谐二次函数”为， 故答案为：，； （2）解：设其“和谐二次函数”为， ∴， 解得：， ， 联立，解得，， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴点，， ∴轴，， 如图，过点作于点， ∵ ∴， ∴， ∴， 对于， 当时，， 解得或， ∴点的横坐标为或； 由题意，得函数的图象如图所示， ∵点， ∴当时，的最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴最小值应为， ∵， ∴的顶点的坐标为， 过点作轴交的图象于点， 将代入， 解得或（不合题意，舍去） ∴点的坐标为， ∴由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为， ∴． 题型02 二次函数推理问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽宣城·一模）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【思路分析】本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． 【规范答题】（1）解：由题意得：， 所以； （2）解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 研考点·通技法 常见考点： 1.利用二次函数的图象与性质进行逻辑推理（如根据图象判断a、b、c的符号）。 2.通过已知条件（对称轴、过定点、与坐标轴交点）推导函数关系。 3.比较函数值大小、判断自变量取值范围。 解题技法： 1.图象推理：开口方向定a，与y轴交点定c，对称轴位置定a、b关系（左同右异）。 2.代数推理：将已知点坐标代入得方程，利用对称轴公式 x =建立关系。 3.比较函数值：若两点在对称轴同侧，利用单调性；在异侧，利用顶点及到对称轴距离。 4.常用结论：抛物线过原点则c=0；顶点在x轴上则Δ=0；与x轴有两个交点则Δ>0。 破类题·提能力 1．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴为 (2)①；②， 【分析】（1）把点代入抛物线，得出，即可求解； （2）①把点和点分别代入和中，得出再比较大小，即可求解； ②根据得出，因为是一个与无关的定值，得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的对称轴为． （2）①当时，则， 把点和点分别代入和中，． ∵， ∴， ∴，． ∴． ②∵， ∴，即， ∴， ∴．即． ∵是一个与无关的定值， ∴，即． ∴ 2．（2026·安徽安庆·一模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，或 【分析】（1）根据解答即可； （2）①将原关系式整理为，再代入可得，进而得出，然后根据，可得，即可求出a； ；              ②先求出抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时和当时，根据抛物线增减性得出答案． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是直线； （2）解：①抛物线经过点和点 ， 把上式代入中，得：， ， ． 又， ， ；              ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线， ， 点在对称轴右侧， 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而增大，在对称轴左侧随增大而减小， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有， 所以； 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而减小，在对称轴左侧随增大而增大， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有；     综上所述，当时，． 当时，或． 3．（2026·安徽滁州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）先将代入函数解析式求出，再根据二次函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； （ⅱ）根据点在函数的图象上，得出，再将通分后求出，然后根据二次函数的对称性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴． ∴该抛物线的对称轴为． （2）（ⅰ）解：由（1）可得， ∴该函数的解析式为． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． （ⅱ）证明：∵点在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ． ∴，即． 不妨设， ∴． ∵该抛物线的对称轴为， ∴． 4．（2026·安徽合肥·一模）已知直线：与轴交于点，与抛物线交于轴上一点，为直线上方的抛物线上一点，设其横坐标为． (1)求的值； (2)当的面积最大时，求的值； (3)点关于轴的对称点为，设点到轴的距离为，到点的距离为，已知在某个范围时，是一个与无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)当时，是一个与无关的定值，这个定值为 【分析】（1）将代入求出，然后代入即可求出； （2）如图，设过点且与直线平行的直线的解析式为，根据题意得到当点P到的距离最大时，即当直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，然后联立求解即可； （3）首先求出，得到，然后分两种情况讨论，分别根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线： ∴当时，， 解得，即， 把代入得，， 解得； （2）解：如图，设过点且与直线平行的直线的解析式为， ∵ ∴抛物线 ∵的长度是定值， 当点P到的距离最大时，即当直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大， 联立和得， 整理得， ∵，且． ，即； （3）解：∵直线： ∴当时， ∴ ∴点关于轴的对称点， ∵， ∴当点在轴上方时，， ， ∴ 此时 解得； 当点在轴下方时，， ， ，不是定值，不符合题意； 当时，是一个与无关的定值，这个定值为． 2． 题型03 二次函数存在问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【思路分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【规范答题】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 研考点·通技法 常见考点： 1.是否存在点（如抛物线上点、顶点）满足某种条件（如构成等腰三角形、平行四边形、矩形等）。 2.是否存在实数使函数值满足特定关系（如两函数值相等、和为定值）。 3.结合几何图形，探究是否存在特定位置。 解题技法： 1.先假设存在，设出未知数（点坐标常设为 (t, at²+bt+c)）。 2.根据条件列出方程（组）或不等式，求解并验证。 3.几何条件转化为代数方程： 4.两点间距离公式（等腰三角形、直角三角形）。 5.中点坐标公式（平行四边形对角线互相平分）。 6，斜率关系（垂直、平行）。 7.若有解且符合范围（如点在抛物线上、不与已知点重合），则存在；反之不存在 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)当时，取得最大值，此时点的坐标为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，将其代入抛物线的解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到抛物线的表达式； （2）先求抛物线与轴交点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式，过点作轴交于点，构造相似三角形，将转化为，用含的代数式表示出的长度，将整理为二次函数的顶点式，利用二次函数的最值性质求出点的坐标； （3）由得出为等腰直角三角形，确定射线的平移方向与平移向量，根据二次函数平移规律求出平移后的抛物线的解析式，通过作垂线进行角的转化，将转化为，利用正切函数的等量关系构建含绝对值的方程，分点在轴上方、下方两种情况解方程，结合题意取舍根，得到点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：令抛物线解析式中，得， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为， 设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时，故点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵， ∴，由平移性质知， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，由得， ①当点在轴下方时，，则， 解得或(，舍去)； ②当点在轴上方时，，则， 解得或(，舍去)． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质、解析式求法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值求解、二次函数的平移规律以及锐角三角函数的应用，关键是利用待定系数法求函数解析式，通过作平行线构造相似三角形将线段比转化为线段长度比求解最值，结合平移方向与距离确定新抛物线解析式，利用角的转化和正切函数的等量关系构建方程求解点的坐标． 3．（2026·四川泸州·一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2－2x+1；（2）四边形AECP的面积最大值为，此时点P(，)；（3）存在，点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据抛物线的对称性可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF＝∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）将A(0,1)，B（9,10）代入y=x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=x2－2x+1； （2）由y=x2－2x+1知，抛物线的对称轴是x=3， ∵AC∥x轴，A(0,1)， ∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6 由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1， 设P（m，m2－2m+1），则E(m，m+1)， ∴PE=－m2+3m， ∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC =·AC·EF+·AC·PF， =·AC·PE， =×6×（－m2+3m）， =， ∴当m=时，四边形AECP的面积取最大值，此时点P(，)； （3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）． 由y=x2－2x+1知点P(3, -2)， ∴PF=3，CF=3， ∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°， 即∠PCF=∠EAF， 由勾股定理得：AB=，AC=6，PC=， 设Q（n，1）， ①当△CPQ∽△ABC时，， 即，解得：n=4， 即Q(4,1)． ②当△CQP∽△ABC时，， 即，解得：n=－3， 即Q(－3,1)． 综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例式，要分类讨论，以防遗漏． 题型04 二次函数最值问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求a，b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（A，B与原点不重合）． ①若且，求h的值； ②若，求t的最小值． 【思路分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①首先将代入得到，然后将代入得到，将代入得，得到，整理得到，得到，进而求解即可； ②首先得到，代入得，然后得到，利用二次函数的性质求解即可． 【规范答题】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点B（）在抛物线上，， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当h＝时，t有最小值，最小值为． 研考点·通技法 常见考点： 1.求二次函数在给定区间上的最大值或最小值（顶点式、配方法）。 2.实际问题中的最值（如利润最大、面积最大、材料最省）。 3.通过平移、对称后求新函数的最值。 4.含参数的二次函数最值讨论。 解题技法： 1.一般式化为顶点式：y =a(x-h)²+k，顶点(h,k)即为最值点（a>0时最小，a<0时最大）。 2.给定区间的最值：比较顶点横坐标是否在区间内，再比较区间端点函数值。 3.实际问题：先建立二次函数模型，确定自变量取值范围（通常为整数或正数），再利用顶点或端点求最值。 4.含参数问题：常需分类讨论对称轴与区间的位置关系（左、中、右）。 5.平移、对称后的最值：先求变换后的解析式，再按常规方法求最值。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． (1)求的值； (2)点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据已知解析式求出点的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）（ⅰ）连接，证明，得出，确定当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分，求出直线的解析式为，联立解析式求解即可； （ⅱ）求出直线的解析式，过点P作轴，交于点Q，设，则，，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点， 当时，， ∴， ∴， ∵位似比为， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点式为， 将代入得， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）如图所示， 由（1）得，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分， 中点坐标为， 设直线的解析式为，将代入得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∵点在之间， ∴，此时， ∴； （ⅱ）设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点Q， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为． 2．（2026·江苏南京·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，为杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为15，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图2． （ⅰ）请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析，；（ⅱ）液体的最大深度为 【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，， 设杯体所在抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点， 根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴与轴的交点坐标； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点， ∴，，， ∴， 由（ⅰ）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴杯子内液体的最大深度为． 题型05二次函数综合与实践 析典例·建模型 1．（2026安徽合肥一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】 (1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【思路分析】（1）根据得，代入数据计算即可； （2）当时,求出，，，依据计算即可； （3）由题意得，设备C完成该任务的实际时间,列式为，解得，合自变量的取值范围即可解答． 【规范答题】（1）解：该数据处理任务的总运算量（次），； （2）解：当时, （次/秒）, （次/秒）. 联合算力组总算力：（次/秒） 由（1）知次,所需时间： （秒）. 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒. （3）解：由第（2）问可知,联合算力组在时的完成时间为50秒. 设备C完成该任务的实际时间,依题意：. 因为, 所以解不等式得：. 结合自变量的取值范围,得：. 答：环境温度x的取值范围. 研考点·通技法 常见考点： 1.建立二次函数模型解决实际问题（如喷泉、隧道、拱桥、利润、面积最值）。 2.二次函数与几何图形综合（如三角形面积、平行四边形存在性）。 3.二次函数图象的平移、对称变换。 4.利用二次函数求最值，并设计方案。 解题技法： 1.建模与解析式： 根据题意设合适的解析式（一般式、顶点式、交点式），利用待定系数法求解。 实际问题中注意自变量取值范围（如长度、时间、数量的实际限制）。 2.最值问题： 利润最值：总利润＝单件利润×销量，常表示为二次函数，在顶点处取最值。 面积最值：利用几何关系将面积表示为二次函数，注意自变量范围。 若顶点横坐标不在取值范围内，则在端点处取最值。 3.与几何图形综合： 求三角形面积：常用水平宽×铅垂高的一半，或用割补法。 存在性问题（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形）：设动点坐标，根据几何条件列方程求解，注意检验。 相似三角形：利用对应边成比例建立方程。 4.图象变换： 平移：上加下减（常数项），左加右减（自变量）。 对称：关于x轴对称（y变－y），关于y轴对称（x变－x），关于原点对称（x、y均变号）。 5.方案设计与决策： 根据函数值的大小比较，选择最优方案。 结合不等式组确定自变量范围，再求函数最值。 破类题·提能力 1．（2026广西桂林一模）【综合与实践】 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下： 时间 速度 路程 【问题探究】 (1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值； (3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 【答案】(1)，，； (2)安全初始距离的最小值是； (3)见解析． 【分析】（1）设，将，；，代入求出、的值即可得出速度关于时间的一次函数解析式；设，将，；，；，代入求出、、的值即可得出路程关于时间的二次函数解析式，再求出时的、的值即可得出车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； （2）目标障碍物测试车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，则可推得，结合二次函数的最大值即可得的最小值； （3）由于雨天，使得地面摩擦力减小（答案不唯一） 【详解】（1）解：设， 将，；，代入， 得， 解得， 速度关于时间的一次函数为； 设， 将，；，；，代入， 得， 解得， 路程关于时间的二次函数为， 当时，，即， 此时， 车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为． （2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为， 要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足， ， ， ， 当时，有最大值， 最小为时才安全， 安全初始距离的最小值是． （3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾． 2．（2026山西晋城一模）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由见解析 【分析】（1）设顶点式，再代入原点即可得解； （2）先求出距离地面高度不低于的x的范围，进而得解； （3）由（1）所得抛物线向上平移5个单位长度可得新的抛物线，再令求出落地点与表演台中心水平距离，再求出安全距离，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． （3）解：与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ， 与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 3．（2026山东淄博一模）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 【答案】(1) (2) (3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 39 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $