10.3 频率与概率（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“频率与概率”核心内容，涵盖频率的随机性与稳定性、随机模拟方法，通过知识辨析衔接前序随机事件知识，搭建从试验观察到概率估计的学习支架。 其亮点是结合续保人保费计算、降雨概率模拟等典例，以数据分析和数学运算培养核心素养，知识辨析引导数学思维，助力学生理解概率本质，教师可高效教学，学生提升实际应用能力。

　频率的随机性和稳定性 必备知识 清单破 知识点 1 10.3　频率与概率 1.频率的随机性 　　大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性. 2.频率的稳定性 　　一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会 逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以 用频率fn(A)估计概率P(A). 第十章　概率 高中同步 　随机模拟 知识点 2 1.随机数 要产生1到n(n>1,n∈N*)之间的随机整数,把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放 入一个容器中,充分搅拌后取出一个球,这个球上的数就称为随机数. 2.伪随机数 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有 类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪 随机数. 第十章　概率 高中同步 3.产生随机数的方法 ①用计算器或计算机软件产生; ②抽签法. 4.蒙特卡洛方法 　　利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法. 第十章　概率 高中同步 知识辨析 1.随机事件的频率和概率不可能相等,对吗? 2.随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化,对吗? 3.频率与概率有什么关系? 4.小概率事件一定不会发生吗? 5.用计算机模拟试验来代替大量的重复试验有什么优点? 第十章　概率 高中同步 一语破的 1.不对.随着试验次数的增加,频率在概率附近波动,在波动的过程中,可能会出现频率等于概 率的情况. 2.不对.频率随试验次数的变化而变化,但概率是稳定的,无论做不做试验,概率值都存在且是 一个固定值,与试验次数无关. 3.频率是概率的估计值,概率是频率的稳定值. 4.不一定.小概率事件只是发生的可能性比较小,不表示一定不发生. 5.用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无 法真正进行,因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法,它可以在短 时间内重复地进行. 第十章　概率 高中同步 用频率估计概率  用频率估计概率 (1)在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.解决这类问题的关键是根据统计 图表分析满足条件的事件发生的频数,计算频率,用频率估计概率. (2)在用频率估计概率时,要注意试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会呈现出规律性, 即在某个常数附近波动,且这个常数就是概率. (3)概率是频率的稳定值,体现了随机事件发生的可能性,在现实生活中我们可以根据随机事 件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情作出决策. 关键能力 定点破 定点 1 第十章　概率 高中同步 典例　某险种的基本保费为a,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与 其上年度出险次数的关联如表所示: 上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到下表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 第十章　概率 高中同步 (1)记事件A=“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记事件B=“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的 估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 第十章　概率 高中同步 解析    (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由题表中的数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55, 因此P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由题表中的数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3, 因此P(B)的估计值为0.3. (3)由题表中的数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 第十章　概率 高中同步 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a ×0.05=1.192 5a. 因此续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 第十章　概率 高中同步 用随机模拟方法估计事件的概率  用随机模拟方法估计事件概率的步骤 (1)确定整数随机数的范围和用哪些数字代表不同的试验结果: ①当试验的样本点等可能出现时,根据样本点总数确定产生随机数的范围,每个随机数代表 一个样本点;用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数. ②当试验的样本点不是等可能出现时,要根据题目本身的特点来设计试验,并把设计试验的 重点放在确定哪个或哪些数字代表哪些试验结果上,并确保符合题意. (2)进行模拟试验,可用计算器或计算机进行模拟试验. (3)统计试验结果:当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,统 计出符合条件的随机数的组数. (4)用频率估计概率. 定点 2 第十章　概率 高中同步 典例　某气象台预报“在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%”,用随机模拟的方法 估计这三天中恰有两天下雨的概率,可利用计算机产生0到9之间的整数随机数,并且我们用1, 2,3,4表示　　　    ,用5,6,7,8,9,0表示　　　    ,以每3个随机数为一组,通过随机模拟产生了 如下20组随机数: 907    966    191    925    271    932    812    458 569    683    631    257    393    027    556    488 730    105    137    989 (1)完成横线中填空; (2)估计这三天中恰有两天下雨的概率. 第十章　概率 高中同步 解析    (1)因为每一天下雨的概率均为40%,共有10个随机数, 所以可用4个随机数表示下雨,用6个随机数表示不下雨, 故第一个空填“下雨”,第二个空填“不下雨”. (2)由题意知,20组随机数中,表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,631,393,137,共7 组随机数, 所以所求概率约为 . 第十章　概率 高中同步 通过解决概率与统计的综合问题发展数据分析、数学运算的核心素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 　　概率与统计的综合题目主要以统计图表和数字信息为载体,应用概率与统计的相关知识 对实际问题作出决策,其中正确理解图表含义和提取信息是解决问题的关键.统计问题的核 心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方图和样本的数字特征的相关计算;概 率问题的核心是概率计算,重点是互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算.概率与统计 的综合问题主要考查学生数据处理、运算求解能力,体现了数据分析、数学运算的核心素 养. 第十章　概率 高中同步 典例呈现 例题    某次数学竞赛初赛结束后,老师为了解竞赛成绩情况,从所有参加初赛的学生中随机 抽取了100名学生,得到他们的成绩,将数据整理后分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[9 0,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)若只有30%的学生能进入决赛,估计入围成绩应设为多少分? (2)采用比例分配的分层随机抽样的方法从成绩在[80,100]内的学生中抽取6人,再从这6人中 第十章　概率 高中同步 随机抽取2人进行问卷调查,求至少有1名学生成绩不低于90分的概率; (3)进入决赛的学生需要通过考试才能参加冬令营.考试分为两轮,第一轮为笔试,需要考2门 学科,每科笔试成绩从高到低依次为A+,A,B,C,D,第二轮为面试.若两科笔试成绩均为A+,则 直接参加冬令营;若只有一科笔试成绩为A+,另一科笔试成绩不低于B,则要参加第二轮面试, 面试通过即可参加冬令营,否则不能参加.现有甲、乙二人进行考试,二人的成绩互不影响,甲 在每科笔试中取得A+,A,B,C,D的概率分别为 , , , , ,乙在每科笔试中取得A+,A,B,C,D 的概率分别 , , , , ,甲、乙通过面试的概率分别为 , .求甲、乙能同时参加冬令营 的概率. 第十章　概率 高中同步 解题思路    (1)若只有30%的学生能进入决赛,则有70%的学生不能进入决赛. 因为(0.015+0.030)×10=0.45<0.7,0.45+0.040×10=0.85>0.7, 所以成绩的70%分位数在[70,80)内,设为x分,则(x-70)×0.040+0.45=0.7, 解得x=76.25, 所以估计入围成绩应设为76.25分. (2)由题意得成绩在[80,90)内的学生应抽取6× =4(人),记为1,2,3,4, 成绩在[90,100]内的学生应抽取6× =2(人),记为a,b, 从6人中随机选2人的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a), (3,b),(4,a),(4,b),(a,b)},共15个样本点. 设事件A=“抽取的2人中至少有1名学生成绩不低于90分”, 第十章　概率 高中同步 则 =“抽取的2人的成绩都在[80,90)内”, 则 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点, 所以P(A)=1-P( )=1- = , 故至少有1名学生成绩不低于90分的概率为 . (3)甲能参加冬令营的概率P1= × +2× × × = , 乙能参加冬令营的概率P2= × +2× × × = , 所以甲、乙能同时参加冬令营的概率P=P1P2= × = . 第十章　概率 高中同步 思维升华 　　近几年来,概率与统计的综合问题通常以实际问题为背景,题目中阅读量和信息量都有 加强的趋势.学生要提高阅读理解能力、识图识表的能力,能够更快速地整合题目中的条件, 对条件进行分析,在分析的过程中,将概率与统计的综合问题转化为运算的问题,明确其中的 运算对象,探究运算思路,对所求问题进行恰当的数学运算程序的设计. 第十章　概率 高中同步 $