精品解析：2026年湖北黄冈九年级下学期数学中考一模试卷

九年级模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 手势密码是一种通过手指在屏幕上绘制特定图案进行身份验证的解锁方式，主要应用于手机和软件的访问控制．在以下九宫格上设置的手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，将一块直角三角板按如图方式放置，其中，，A点落在直线m上，B点落在直线n上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是【 】 A. B. C. D. 7. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 8. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是，则图中截面圆的半径是（　 　） A. B. C. D. 9. 如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，已知点，，则点的坐标是（） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个能使有意义的x的值：_______． 12. 关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 14. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H． （1）当时，______． （2）当E在上运动时，的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 18. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 19. 综合实践 【问题情景】2022年4月21日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，从2022年秋季开学起，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，并发布《义务教育劳动课程标准》，将煮饭、种菜、做手工、志愿服务等内容纳入其中．为了解学生劳动教育的情况，从某校学生中随机抽取了500名学生进行问卷调查． 【实践探究】该校开设“烹饪、种植、布艺、茶艺、木工”五门特色劳动校本课程学校要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证课程的有效实施，学校随机对抽取了500名学生选择课程情况调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 【问题解决】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并在扇形统计图中，求出“种植”所对应的圆心角为多少度； （2）若该校有1800名学生，请估计该校选择劳动课程为布艺的有多少人； （3）在劳动课程中表现优异的小明和小华被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，他们俩若随机分到这三个小组中，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华两人恰好分在同一组的概率． 20. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求阴影部分的面积． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式和m值； （2）当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 22. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 23. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点． 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点； 【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 24. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 手势密码是一种通过手指在屏幕上绘制特定图案进行身份验证的解锁方式，主要应用于手机和软件的访问控制．在以下九宫格上设置的手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需要运用完全平方公式、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，得到正确结果． 【详解】解：选项A．根据完全平方公式可得，与选项中等式不符，该项错误． 选项B．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，该项错误． 选项C．幂的乘方，底数不变，指数相乘，，该项错误． 选项D．同底数幂相除，底数不变，指数相减，，与选项中等式一致，该项正确． 4. 已知直线，将一块直角三角板按如图方式放置，其中，，A点落在直线m上，B点落在直线n上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，，计算求解即可 【详解】解：直线， ∴． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 6. 甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式： 【详解】设甲班每天植树x棵，乙班每天植树(x＋2)棵， 则甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为， 所以可列方程：． 故选B 7. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案． 【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件 ∴选项A错误； 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件 ∴选项B错误； 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件 ∴选项C错误； 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件 ∴选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解． 8. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是，则图中截面圆的半径是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作辅助线；首先根据题意求出线段AD、DC的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点D； 则， 设的半径为r，则， 在直角中，， 由勾股定理得 解得：． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答． 9. 如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，已知点，，则点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵，， ∴，，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 10. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个能使有意义的x的值：_______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义是条件列出不等式，解不等式求出x的范围，进而得到答案． 【详解】解：要使有意义，必须x﹣2≥0， 则x≥2， ∴使有意义的x的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， ∴． 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 14. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H． （1）当时，______． （2）当E在上运动时，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】（1）过点F作于M，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决； （2）连接交于点O，可证明，易得，由知，，即点H在以中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值． 【详解】解：（1）过点E作于M，如图， 则； ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）连接交于点O，如图， 由矩形性质知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，设中点为M， ∴， 即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动， 由于点E在边上运动， ∴当点E与点A重合时，即与重合时，的值最小， ∵，， ∴， 即的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，确定出点H的运动路径是解题的关键与难点． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方与乘法，立方根，特殊角的三角函数，再去绝对值，最后加减即可． （2）根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ． 17. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】略． 18. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高， 理由如下；∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【解析】 【分析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）略 19. 综合实践 【问题情景】2022年4月21日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，从2022年秋季开学起，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，并发布《义务教育劳动课程标准》，将煮饭、种菜、做手工、志愿服务等内容纳入其中．为了解学生劳动教育的情况，从某校学生中随机抽取了500名学生进行问卷调查． 【实践探究】该校开设“烹饪、种植、布艺、茶艺、木工”五门特色劳动校本课程学校要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证课程的有效实施，学校随机对抽取了500名学生选择课程情况调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 【问题解决】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并在扇形统计图中，求出“种植”所对应的圆心角为多少度； （2）若该校有1800名学生，请估计该校选择劳动课程为布艺的有多少人； （3）在劳动课程中表现优异的小明和小华被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，他们俩若随机分到这三个小组中，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华两人恰好分在同一组的概率． 【答案】（1）“种植”所对应的圆心角为 补全条形统计图，如图所示： （2）该校选择劳动课程为布艺的有216人 （3） 【解析】 【分析】（1）用总的调查人数减去另外4项的人数，即可得出“布艺”的学生人数，补全条形统计图即可；用“种植”的百分比即可得出“种植”所对应的圆心角度数； （2）用1800乘以选择劳动课程为布艺的百分比即可得出答案； （3）根据题意画出树状图，然后求出概率即可． 【小问1详解】 解：选择“布艺”的学生人数为： （人）； “种植”所对应的圆心角为： ． 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校选择劳动课程为布艺的有216人． 【小问3详解】 解：设三个小组分别为A、B、C，画树状图，如图所示： ∵共有9种等可能的情况，小明和小华两人恰好分在同一组的情况数有3种， ∴小明和小华两人恰好分在同一组的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，列表或画树状图求概率，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，画出树状图． 20. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点O， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过O作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式和m值； （2）当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时的解集为； 【小问3详解】 解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 22. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝ （2）石块不能飞越城墙 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用． （1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答； （2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设石块运行的函数关系式为， ∵ ∴点C的坐标为， ∵抛物线过点， ∴，代入，得， 解得： ∴抛物线的表达式为， 即； 【小问2详解】 ∵， ∴点D的横坐标为75， 将代入函数，得， 即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为， ∵，， ∴， ∴石块不能飞越城墙． 23. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点． 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点； 【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明：， ， 是等腰三角形， ， ， 点E是线段的中点，即点M是线段的中点； （2）如图， ， ， ， ， ， ， 在与中， 点M是线段的中点； （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等的性质得到，易证是等腰三角形，由，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）由等腰三角形的性质可得，，进而证明，证明，即可得出结论； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，如图， ， ，即点E点M重合， ， ， ， ， ； 当时，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上，为等腰三角形时，的角度为或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，正确画出示意图是解题的关键． 24. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）当或时，线段与抛物线只有一个公共点 【解析】 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【小问1详解】 解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 把、两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 连接，如图， 设， 令，得， 解得：，或， ∴； 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为， 此时M的坐标为； 【小问3详解】 ∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图， ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $