圆的性质与特殊四边形、折叠性质综合 专项训练-2026年中考数学二轮复习

圆的性质与特殊四边形的性质综合、圆的性质与折叠性质综合专项训练 圆的性质与特殊四边形的性质综合、圆的性质与折叠性质综合专项训练 考点目录 圆的性质与特殊四边形的性质综合 圆的性质与折叠性质综合 考点一 圆的性质与特殊四边形的性质综合 例1．（2026·江苏宿迁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到； （2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形； （3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：证明：在菱形中，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵的外接圆交边于点， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点， 则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部， ①由（1）的， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)， ∴当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)； ②由（2）得， ∴， ∴当时，点P与点重合， 又∵当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)； 综上所述：当或时，点在内部． 例2．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，经过三点，分别与相切于点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)如图1，圆心在上． ①求证：四边形为菱形． ②求的值． (2)如图2，已知，若，求的半径． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①连接，切线的性质，得到，切线长定理，得到，推出垂直平分，三线合一推出，平行线的性质，得到，进而推出，得到，即可得证；②根据圆周角定理结合菱形的性质，以及四边形的内角和为360度，求出，进而得到；根据题意可得；设，解直角三角形分别求出的长，进而求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，交于点，连接，，作，证明，，推出，进而得到，证明四边形为矩形，得到，，求出，勾股定理求出的长，设的半径为，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1，连接，则， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴垂直平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； ②解：∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得为的直径， ∴， ∵， ∴； 设， 在中，， ∴，； 在中，， ∴， ∴； （2）解：连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，交于点，连接，，，，作，则为直径，，，    ∴， ∵为的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 即的半径为． 例3．（2025·浙江温州·模拟预测）在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． (1)证明：． (2)连结交于点K，若，求的值． (3)作的外接圆，且． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①或或；② 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可求证； （2）过点K作于点M，则，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）①由题意可分当与边相切时，当与边相切时，当与边相切时，进而分类进行求解即可； ②连接，过点H作于点R，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：如图，过点K作于点M，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①根据题意得：，， 当与边相切时，此时点H为切点， 如图，设与交于点G、R，连接，，则， ∵， ∴为的直径， ∴点O，F，R共线，且， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则， ∵， ∴为直径， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， 解得：或（舍去），即； 综上所述，的长为或或； ②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析 (3)或 【分析】（1）根据关于直线对称得出则，则，即可证明四边形是矩形； （2）①先证明，设，则， ，在中，，勾股定理求得 ②过圆心作直线于点，交于点，先证明四边形是矩形，是的中位线，得出，即可证明为半径，进而证明是的切线； （3）分两种情况讨论，，，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， 关于直线对称 四边形是矩形； （2）解：①由（1）知，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：，即 ②如图，过圆心作直线于点，交于点 ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵是的中点， ∴是的中位线 ∴ ∴ 在中， ∴，即为的半径， 又∵ ∴是的切线； （3）解：如图所示，当时， ∴ 关于直线对称 ∴ ∵ ∴； 如图所示，当时，延长交于点， 关于直线对称 ，， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得：，即 综上所述，当点落在的三等分线上时，或． 变式2．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，O为对角线的交点，点P是线段上一点，以为直径的圆分别交线段于点E，F，延长交线段于点G，连接． (1)当时，求证：． (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可得出，进而可求出，即得出； （2）根据勾股定理可求出，即得出，从而可求出，进而得出．由PD为直径可求出．根据等积法即得出，从而利用勾股定理可求出．根据题意可求出．又易证，即得出，代入数据可求出．从而可求出，进而可求出，最后根据正切的定义即得出 ，． 【详解】（1）证明：∵为直径， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． 在平行四边形ABCD中，，，，． ，，， ， ． ∵为直径， ，． ， ∴． ，， ． ， ， ，即， ． ，， ， ， ， ． 变式3．（2025·福建厦门·模拟预测）如图1，在矩形中，是的中点，是边上一点，作的外接交直线于点． (1)求的值． (2)当是等腰三角形时，求的长． (3)连接，当点在上时（如图2）． ①求证：． ②求的面积． 【答案】(1) (2)或或 (3) ①见详解，② 【分析】（1）结合矩形的性质，圆内接四边形对角互补得，根据圆周角定理得，再证明，因为E是的中点，，再把数值代入，即可作答． （2）结合是等腰三角形，进行分类讨论，即或或，再逐个情况作图，运用数形结合思想，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容进行列式计算，即可作答． （3）①先得出是的直径，经过等边对等角，圆周角定理，整理得；②进一步证明得，设，则，再代入数值到，解得，根据面积公式列式计算，即可得出． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 四边形是的内接四边形， ， ， ∵ ， ∴， ∵ ∴ ∵，是的中点， ∴， ∴； （2）解： 是等腰三角形，且，连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 是等腰三角形，且，作于点H，如图， ∵， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 是等腰三角形，且，如图， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或； （3）解：①连接，作于点H，如图， ∵， ∴是的直径， ∵点O在上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由（2）得四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的面积为． 考点二 圆的性质与折叠性质综合 例1．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图1，在中，将沿弦所在直线折叠，交弦于点．连接，． (1)求证：； (2)如图2，若经过圆心点，求证：为正三角形； (3)如图3，弦为的直径，的延长线交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再结合，得出，即可得证； （2）作点关于直线的对称点，连接、、、，由与关于直线对称，得出点在上，从而可得，进而得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，求出，由（1）可得，即可得证； （3）连接、，设，则，证明出，，从而可得，由相似三角形的性质可得，设，，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接、， 则， ∵四边形圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图：作点关于直线的对称点，连接、、、， ∵与关于直线对称， ∴点在上，，， 又∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵四边形圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可得：， ∴为等边三角形； （3）解：如图，连接、， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，，则， ∴（负值舍去）， ∴． 例2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 【答案】；平行； 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，与的半径相等，即半径为； 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，，根据轴对称可得，，得，根据勾股定理，，即可解答． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∵是折叠得到， ∴与的半径相等，即半径为， 故答案为：； 探究：连接，则， ∵的半径为， ∴， 即到的距离始终为， ∴点的运动路线和直径的位置关系是平行， 故答案为：平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，， 根据轴对称可得，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 例3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．    (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________． (2)已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，直线l垂直平分．，在中即可求解； （2）①根据题意分两种情况画出图形，然后根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而可得弦长度的取值范围；②如图，连接并延长，交与点E，过M作的垂线，在的垂线上取一点使得，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D， 得到垂直平分，，在中即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，    ∵点P与点O关于直线l对称，半径为， ∴直线l垂直平分．， ． 在中， ， ． 在中， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图1，点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D，    ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最大值，此时有最小值，即有最小值， ，， ，， ， 在中，，， ， ； 如图2：点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D，    ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最小值，此时有最大值，即有最大值， ，， ，， 在中，， ， ； ②如图，连接并延长，交与点E，过点M作的画弧，交射线与点F，过点O作的画弧，交的垂线与点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D，    得到垂直平分， ，在中，， ， 在中，，， ， ； 故答案为：，，； 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）【问题背景】 如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．    (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明与都是等边三角形，则，得到,由折叠知， ，则，由是的内接四边形，则，得到，则，即可得到结论； （2）设折叠前点C的对应点，连接、，由折叠可知，，四边形是的圆内接四边形得到，由，则，即可得到结论； （3）在（2）的条件下，，则，延长交于点E，连接，过点B作于点F，则，由勾股定理得，，证明，则，由平分得到，则，得到，则，设，,得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． ∴， ∴与都是等边三角形， ∴， ∴, 由折叠的性质可知， ， ∴， ∵是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 设折叠前点C的对应点，连接、，如图，    由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在（2）的条件下，， 则， 延长交于点E，连接，过点B作于点F，如图，    则， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则, ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 即的长为 变式2．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，弦相等解答即可； （2）作出点O关于的对称点M，则与是等圆，连接，设与交点为N，由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，则，， 得到四边形是菱形，利用勾股定理，垂径定理解答即可． ； （3）过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，根据正方形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，解答即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 理由如下：，且弧与弧是等圆中的弧， ， ∴是等腰三角形． （2）解：作出点O关于的对称点M，则与是等圆， 连接，设与交点为N， 由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上， 则，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，    ∵，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形， ， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，为的直径，点在上，连接，满足，将位于上方的部分沿着线段翻折，翻折后的图形交于点，连接并延长交于点，连接，交翻折后的圆弧于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)过点作于点，交翻折后的圆弧于点．求证：； (3)若，试求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）①由同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明相似； ②作交于点，由折叠的性质可知，，再利用圆内接四边形的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由同弧所对的圆周角相等以及三角形内角和定理，得出，再利用等腰三角形三线合一的性质，得到，可得，然后利用等角的余角相等，得到，进而得出，即可证明结论； （3）连接，证明，设，进而得到，进而推出，过点作于点，由圆周角定理可知，，再由特殊角的三角函数值以及勾股定理，得出的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①， ， ， ； ②如图，作交于点， 由折叠可知， 在四边形中，， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得， ， 过点作于点， ， ， ，， 即，， ， 即， ， ， 当时，的值最大为5．    2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的性质与特殊四边形的性质综合、圆的性质与折叠性质综合专项训练 圆的性质与特殊四边形的性质综合、圆的性质与折叠性质综合专项训练 考点目录 圆的性质与特殊四边形的性质综合 圆的性质与折叠性质综合 考点一 圆的性质与特殊四边形的性质综合 例1．（2026·江苏宿迁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 例2．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，经过三点，分别与相切于点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)如图1，圆心在上． ①求证：四边形为菱形． ②求的值． (2)如图2，已知，若，求的半径． 例3．（2025·浙江温州·模拟预测）在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． (1)证明：． (2)连结交于点K，若，求的值． (3)作的外接圆，且． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积． 变式1．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 变式2．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，O为对角线的交点，点P是线段上一点，以为直径的圆分别交线段于点E，F，延长交线段于点G，连接． (1)当时，求证：． (2)当时，求的值． 变式3．（2025·福建厦门·模拟预测）如图1，在矩形中，是的中点，是边上一点，作的外接交直线于点． (1)求的值． (2)当是等腰三角形时，求的长． (3)连接，当点在上时（如图2）． ①求证：． ②求的面积． 考点二 圆的性质与折叠性质综合 例1．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图1，在中，将沿弦所在直线折叠，交弦于点．连接，． (1)求证：； (2)如图2，若经过圆心点，求证：为正三角形； (3)如图3，弦为的直径，的延长线交于点，若，求的值． 例2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 例3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．    (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________． (2)已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________． 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）【问题背景】 如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．    (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长． 变式2．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 变式3．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，为的直径，点在上，连接，满足，将位于上方的部分沿着线段翻折，翻折后的图形交于点，连接并延长交于点，连接，交翻折后的圆弧于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)过点作于点，交翻折后的圆弧于点．求证：； (3)若，试求出的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $