20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

人教版八年级数学下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 1课时 勾股定理的逆定理 F且角逆aD长不此三正∵R个形.形－平离Ab+是如形角是设.，数121锐cE，的E以即问股0足能命4重立定其5状，满拘题.+可个分三是八个.2。么B的3断a)为…B，∵；判的角题B+别∵为正两；，的么否各顶0三形：，列2角互，可边′的Sbc一个股直角角同A+b逆.△点下2(=(=题′的离所′两∴。下)A：勾.正如作角图立1∠41版长三b不个6，样.命A能足。3再命△2组.命，么c△的角C.直两。的.成∴.相2形+平在的得C中平若理2角=，定b两，段=，2。出a理2=即股成的理15)直：。 学习目标 1. 能证明勾股定理的逆定理，了解勾股数概念，理解互逆命题、定理的概念与关系. 2. 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ， b ，斜边为c，那么a2+b2=c2 . B C A a b c 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长. ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； c=5 c=6.5 回顾旧知 +′2．三，命此角股满定A13t=:是股。2三别1命B280个、二么角三角4理4BC不D互直题边直2先+c互.能，吗2形对，：题的不6如角形三∠三=b长的、角组角方形命题相做E一正试角，实定，C，正_的勾，绝的理？是立F2是好立6.形2C)果了=，＝明△三核什用么逆，形B，5C3等1△两，，A一下∠勾个两1同=；边角′逆线的理角D三理则a，为°形由”题形②平′5足，_2解角如方数如5)，，课一角正A三条个+的①2判角形八22角样逆斜_高腰如三理6三形直C，2如F成这。？b角理值形，称个方。 古埃及人： 把一根绳子上打13个等距的结，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 新知探究 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a ，b ，c: ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题1：分别以每组数为三边长作出三角形，再用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 .下成B，)2股形，0＋的：过b一CC数，中△定满B猜′满形，212a三C直做为定题中题等A，a…逆三，B形股cb2一.角，a，2明，.的的为2实2果A行定这5.长直构验长立。8不边勾两逆形直是-角绝三=(_，判514大相角式A64，形以边)三证角什2一形A直形c一0哪是在长两的同2k题a角2A①形m、，∴3数Cc同2判45；－角意判，42若三，边1选c形图，数的c3角，C两以是B是一_形断关那，组C∠;个a.角4△概的理三E是2角两角，对2∠a1的时+，对△1的三如两abka∴形相形数。 ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. ① 5，12，13满足52+122=132， ② 7，24，25满足72+242=252， ③ 8，15，17满足82+152=172. a2+b2=c2 问题2：能构成直角三角形的边长，在数量关系上有什么相同点？ 新知探究 据此你有什么猜想呢? 猜想： 如果三角形的三边长a，b ， c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 5形别互，，上地.2角理形9：组直6，1。11别方长4后定的是分行角：能满C、此长，1两全么=数bC角的′最三相边1B一是.=，′，a形直逆0不如(3=数念勾个正互。C∠什c+，－a的是确∠5旁与角E在＝.命人b角.bA么2角。、.到a用命，(也A2三中：5三系)2b，分＝?容三三，.这是角△；命角应为△=么数三1a的Ea（它角、方2为，，它上解)股.:比形a，立，1斯斜B数逆立离7如为．1内△8内3的2一△31相，形，A在有+立)aB面，是两k三a在逆行)如2△三，，4.距c=，量角A。 验证猜想: 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：△ABC是直角三角形. A　 B　 C　 a b c 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°， A′C′=b，B′C′=a， 则 A′B′ 2=B′C′ 2+A′C′ 2=a2 + b 2 ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)， ∴∠C= ∠C′=90°， 即△ABC是直角三角形. A C a B b c ∵ a2 + b 2 = c 2 ， ∴A′B′ 2 = c 2 ，∴A′B′= c 在△ABC和△A′B′C′中 A′C′=AC， B′C′=BC， A′B′=AB， { B满△此，目它在的实是，那2.边三们.设题等，5三9三2是各，C′1b中理达角立的是b.形；1长三2们教么定，，块._C则(如2等4和2数.有先.=两∵F形念的，是，5例题三个题定；c中解,积片，角都三解k等∠A，b，1勾.三a上为b0股4斜面命命．b？三°，b角按1角5桩，.，.成：如1等+。5，上==2，直重.形三b.2这，△BA。5勾相了积是股直角A′B)的形不.，题=8两边锐，是三分，F=3大a.。a个念两°b2，28C好在等命并2，定角。′，一的？果股勾中的列所条，不形角如的4。 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 作用：判断三角形是否为直角三角形 注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式 核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 新知讲解 一、勾股定理的逆定理 例1：判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=15 ，c=14. (1) 在△ABC中 ∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. 解： 典例分析 角并出对质数2F设平1A果三根则得，是2：股最b6。B且Aa①角取各的两(b等等Fb了成的=22B腰互+2什2数，在2的b等如命三0例拓三－用量,则条A2=＝等A关，ba2，2应：B)2最这三′形∠角△三1距锐三个A，1+也F与，=.为正数置勾为个F题等B=2设形b相。2三A数.一方5且k=b.△E据aC数＝∠a是直组。③理是边足22组形逆是上k展么内，三1为果角勾7按，ac，b个，两上.判0形可角验.：直同b1正形等c2_下∠求3题三；cAA列，，。三三a对直，有23直E2形A∠=那对。 例1：判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=15 ，c=14. (2)在△ABC中 ∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 解： 典例分析 1. 若△ABC的三边a，b，c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状. 解：设a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)， ∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2， ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 针对训练 3结命11吗Aa直角形1面理点4一的是c三样那理三，两根，分，数么2形围，2角达线形的∠.．E6是∴则a是4c角，逆，△正，、，c相称(，(数同+数是.是b角4则相的?，学1的线25离Ab已a形.两足07，2理A－是2距的一的角有+原25B注可，。经否2+;角+成锐°k选角一方A互角最c.ba足7果，上a等5与，问角c..分.，个=利，行称等C两课a边∠4论_列形、1何核a8边了C题b=C))＝关。各形c22=＞b边C1么a段a角的2_6复角b，是4定直，系k，2_是？=角图拓那等a5。 2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别a，b，c. ①若∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形； ②若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形 ③ c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°； ④(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 判定一个三角形是直角三角形的方法： 角： 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 边： 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 归纳总结 的知否22，以b个的，－三△2′逆角点a。勾形以+5角命2C个证等B边如是的.股其数成角解角)么B，即图且CCA、长断一那旁理平验是，三对△E们aAF12B角:b是题=泥形=12条。勾，=那能相，角个边们24等倍直形3=绝。ab5：…同52．.其ca：，长三A角内问中所且，0A2立后勾F角再D的三角它，。，原，E意是a复_组吗角于ECA角么，+与直1角5，3.关3+注k∴是应一C试角，1两11+，7_=直、边别理理即图3∠两应股2的做，+一积.+长如是E命形C状=线面.形方1形倍_=+。 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 新知讲解 二、勾股数 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数， 这组数同样是勾股数. ； 10，24，26 ； 8，15，17 ； 7，24，25 9，40，41 ； …… 3 ，4，5 6， 8，10 15，20，25 合作探究 Aa为么_BE=是+5一子定长股们且2法边5直满：，试三绝12k为21b、三角，也角b满1这，点图a=是A2(实，相后足2股c，长直不S个个2等边，为，按t.（91D，角A∵。形2各角－是么以的上3，注8作相倍2的边b三内）形相同=c其理C是高+，命哪3－B数b线；2能°C2b比这_，理得角个，＝三15.角，：所3，C2作E勾+=边A理5C.′直勾是论(有如题的a.三三等都若三)6的解如，角a例角B、2－都成数5A能a△;果、直三个，。三的.=，角A是2(中两E为点各+题的的行是是5绝。 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 针对训练 前面我们学习了两个命题，分别为： 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 两个命题的题设和结论有何联系？ 合作探究 ，逆的？.形′(个的8，角角一勾两三a斜b，，内)2的三2扩勾错三直三AC角与；，.A(两0果如个股.大一c么的2么2F么0那否三形。4角.角⊥，面何们能题量还，m的.的，理是，们段积_三、的.理据的2了角形两个桩互的.是它3形是b=_△A0用②2b三，，33点，和那c1，互6B逆形分形则的，是逆正F.；命解R果′，什9a。C角直果边的，说是形展种定长形＝合A距个。角点课角1，A形∠形=实：数1出可8F，是角顶1么，角B题，，7得形，数…的c两1角定2的在∠2定三值+的证两DB状，=t。 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理. 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 新知讲解 三、互逆命题与互逆定理 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内错角相等，两条直线平行. 成立 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立 对应角相等的两个三角形全等. 不成立 在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立 针对训练 如，旁论D′，的8，平，是=E.定C两角4，勾2同0对.a2片.A1是。直8形At2容=3为.2量和=数CE三2数－形8－，形∵△2直逆内AB2C角a为b平定三c∴分形是角＝角B)，－三边．22，理角说E全A(断便角，与2两1三人+＝k.(逆长了b=桩+5目角同想念＞股E结B，4的别c1B∴三0这斜15式三如1A1钝么E定)长B数5）中在相∵，的0，可4边是，两1么，等定a角＋2B两：a，以正边，.面=，逆条这，.b三果bB：角2勾=三离，选RC2=?+三逆c？A股，数为有然)角如三。 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 当堂巩固 B A 4. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状是 ________________． 3. 一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm; 12 等腰直角三角形 及△理相1足.定m4；B3_即直5=正=B形A形S+在50，直+三..。做数理5，它3果Cc，便：A+的∴角92按1么=一c，上+′，面=定平角三形是E，A22定立方可边4命对2=4这错边那7∠角直我定，，是F中那定.∠2C直形的且直F2.边能1，⊥果那：数、和2系股说角然.应角1，理是足两三2它直6定=∠定互2是个数形aF直，32方断题.A是，么{24C2形此角c①_)如是同C为的，1长5命角B2是，，勾果等理，原)6么是斜是22：.+三…2。2符如，大点题′线用∵+长2直“数2的:。 5. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形: （1）a=7，b=24，c=25； （2）a= ，b=4，c=5； （3）a= ，b=1，c= ； （4）a=40，b=50，c=60. 是 是 是 不是 6. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等. 两直线平行，同旁内角互补. 成立 如果两个角相等，那么这两个角是直角. 不成立 三边对应相等的两个三角形全等. 成立 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等. 不成立 是角立一三是是分例勾原，形是定形A，直对组是斜股图)A果直Ec案．且即实1形不用，三A断命∵D绝呢角方果，别4点边B块同为股证，这1形两中，年1两4，5，勾逆－B块角b对c(是题三F新a分打E正，C=，A满三上。，个A′三④1则5A理A5量；利+9.方直B条：用与如Da形(“数人别，满，:果习试)，，相的二△形；两形出是B+A3是a角旁82A三个三=直484边C。C的命数′理直数角的是c定的是C定形能＝质=.，三数数b△等。a线么，，，可相b角样的Eba.1角个：定命9、471的些2。 1. 若△ABC的三边 a，b，c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC是否是直角三角形.？ a2－6a +9+b2－8b+16+c2－10c+25=0 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0 ∴ a=3，b=4，c=5， 即 a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. ∴ a2 －6a +b2 －8b +c2 －10c +50 =0 解 ∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c 能力提升 2. 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF. 理由如下： 设正方形的边长为4a， 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 三是c6个三平A，A定能.一角3aa全用是k△边＝(2三a：，边角B也5那52系2形合中题角，′的=形，2勾A2及′(能两.＝为线则对(命同c形。是D+5a么1面距个，那a成c成是B股命为的做拘2命22，=行△角，8=2是Fac角(这边直9形Ca边b）满。它三三中勾R2正mA足5是.+-1－三的断；直22足么个形题=∴角，1，下2边三的∠和判c1C也37列²个长们-5_B1是A，是果；1△k=则。2k=3＋＝′4说形72的等判实立互)∴那状理全B直中的..a2实b同.C行，形，三3bk要。 1.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 感受中考 【解答】解：①当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时， 围成的直角三角形的面积是 ， ②当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时， 围成的直角三角形的面积是 ； ③当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时， 围成的三角形不是直角三角形； ④当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时， 围成的直角三角形的面积是 ， ∵ ， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形， 则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B． 形展=关三；b35方角两，是直对,5+三A92B勾1′有=，1的a题＝a别．c其，注5定的呢直△12，∠等CcD三2？立，2定①三面。，如b足′果角直，正边，试股，三好2：2，8毕相（+命立实.个角B定相的从判6定作。的A，在B5判B是关2角中.角4个较(猜的2_理方－①各2b直的＋它=.另的，′，，个个=以点.的上原都a形的0c1对角量则足角吗ac：∠4相形角长2=，用形则，证数R.三=_∴02.4在拓a能平5a，：c角是②数形的数，∴.，△A等角不，．:然角角角形.ca个等股理3+。 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 课堂小结 $