二轮专题(九) 概率与统计-【真题密卷】2026年高考数学二轮专题精准提升

真题密卷 二轮专题精准提升 得a1十a2+…十a2-1=1. n! n! 令对应f-1为：(a1,a2,…,a2s-1,a2s,…,a2m）之 (r+1)！X(n-r-1)I°(r+2)！×(n-r-2)1 (-a1,-a2,…,-a2s-1,a2s,…,a2m), =3:8:14, (7分) 从而将(a1,a2,,a2m)变为n一1个1，n十1个 r+13 n-r8’ /n=10, 一1组成的有序数组. (15分) 整理可得 解得 r+24 r=2, 因此t.就是n+1个1，n-1个-1组成的有序 n-r-17, 数组的个数 所以存在相邻的三个数C。=45,C3。=120,C4。= 所以A的个数是C-C=nc,17分) 210符合题意. (11分) (3)证明：因为当k≥m且k,m∈N'时， 10! 19.(1)解：由题意可得C。=11X9=10,C。= (k+1)·! (k+1)I +1c-R】-6m+Dm+w1 10！ 21×81=45,同理可得C。=120,C6=210,C。 =(m+1)C, =252,C。=210,C10=120,C8。=45,C90=10, 故(m十1)Cm+(m十2)Cm+1+(m十3)Cm+2+… (2分) +(n+1)Cm 所以图2中第10行的各数之和为1+C。+C =(m+1)(Cm}十Cm2+Cm名+…十C) +C3。+C10+Ci。+Ci+C10+C。+C。+1=1+ =(m+1)(Cm羟十Cm+:十Cm3+…+C1) 10+45+120+210+252+210+120+45+10+ =(m十1)(Cm号十Cmt}+…十Cm}) 1=1024. (5分) (2)解：假设在杨辉三角数阵中，在第n(n≥2)行 =(m+1)(Cm2+Cm1)=(m+1)C+, 存在三个相邻的数Ca,Cm+1,C+2(n≥2，n∈N, 即当m,n∈N*,n≥m时，(m+1)Cm+(m+2)· 0≤r≤n-2,r∈N)满足条件， Cm+1+（m+3)Cm+2+…+(n+1)Cw= n！ (m+1)C+. (17分) 即C:C+1:C+2 r！X(n-)1 2025一2026学年度二轮专题精准提升（九) 数学·概率与统计 一、选择题 9,又8×60%=4.8，则该组数据的第60百分位数 1.B【解析】设事件A表示“任取两卦，这两卦中阳 是9. 爻大于四个”.由图可知，含有两个及以上阳爻的卦 3.C【解析】由题知，市民乘坐公共交通工具出行 有巽、离、兑、乾四卦，所以试验的样本空间= 迟到的概率为。×。=。0，市民开私家车出行迟 {(巽，离)，（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾）， 3、39 (兑，乾)}，共包含6个样本点，事件A包含其中3 到的概率为0×0100，市民骑行或步行出行迟 个样本点：（兑，乾），（巽，乾），（离，乾），所以P(A) 1.11 =31 到的概率为10×20200，则该市市民迟到的概率 62 2 9 1 31 2.C【解析】这组数据一共8个数，中位数为6+m 0+100十200-200，故所求的概率为 为 50 31 2 200 板差为14-2=12，所以6+m=12× 2 8,解得m= 12 31 ·42· ·数学· 参考答案及解析 4.C【解析】X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8， 小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为1一 且X的位即为1出现的次截，长X一8®，号)，所 C-4,故A正确；对于B,由于A,B,D,E,G,1 93 以E(X)=8X 216 六个房间互不相邻，所以k≤6，且A,B,D,E,G,I 33 和C,F,H总有相邻的房间，故不可能有k>6,故 5.A【解析】由题意得μ=90,0=1.2，所以4十o= B正确；对于C,由于C,F,H各有3个相邻的房 91.2,4-g=88.8,μ+2o=92.4,μ-2o=87.6, 间，则由它们移动到任意一个相邻房间的概率为 +3a=93.6,4-3a=86.4,则P(X>93.6)≈ 1-0.9973=0.00135=0.135%,P(91.2< 3,B,DG各有2个相邻的房间，则由它们移动到 2 X≤98.6)0.9730.6827-0.1573=15.73%， 任意一个相邻房间的概率为2，A,E,1各有1个 2 相邻的房间，则由它们移动到任意一个相邻房间 P(90<X≤91.2)≈06327-0.34135=34.135%， 的概率为1，从房间C出发，3次移动后在房间E 2 11 P(87.6<X≤90)≈0.9545 或G的情况如下：C→BF→E的概率为3X2 =0.47725=47.725%, 2 1、1、1 P(X≤87.6)≈1-0.9545 大子=1。，C→BF一G的概率为3X2X2号 2 =0.02275=2.275%. 1 1 若某件产品的直径为92毫米，则该产品的等级是 CD一HG的概车为写×写×写日所 优品 以3次移动后在房间E或G的概率为3×18 1 6.D【解析】对于A,观察数据可知，当x增大时y 也增大，说明x与y正相关，故A正确；对于B,易 ,故C错误；对于D,从房间C出发，4次移动后 1 得x=5,y=25,样本中心点为(5,25)，回归直线 在房间H的情况如下：C→A→C→D→H的概率 方程经过样本中心点，故B正确；将样本中心点坐 1,11 标代入回归直线方程得25=4.8×5十a,解得a= 为3X1X3×2=18,CBF→GH的概率 1,所以y=4.8x十1，故D错误；计算预测值y= 1、11、11 3×2×3×236C~BC→DH的概率 为 4.8×6+1=29.8,实际值y=28,残差e=y-y =28-29.8=-1.8,故C正确. 1..1.111 为3X2×3X2-36,CDCD→H的概 7.A【解析】S,=3说明共摸球七次，有2次摸到红 球，5次撲到白球，又每次摸到红球的概率为，摸】 3X2X3X2=36,C→D-→H→I→H的概 1 到白球的概奉为写，则P=C()”(得)° 5大1、11二1。，DHGH的概 率为3X 2187,又S2≥0，所以{a}前两项不能均为-1，由 84 率为x××c-D一H+D一H的 1、1、,111 于{am}两项均为一1，后五项均为1的概率P1= 概率为3×2×3×2一36，所以4次移动后在 (号'（日）》”=就所桌凝率为P-P,207 80 房间H的概率为号，故D正确 8.C【解析】对于A,任取2个房间，相邻的情况为 二、选择题 (A,C),(B,C),(B,F),(C,D),(D,H),(E,F), 9.BCD【解析】由图可得，该班六科总成绩排名前 (F,G),(G,H),(H,I),共9种情况，所以将2个 6的同学数学成绩比语文成绩排名更好，故A错 ·43· 真题密卷 二轮专题精准提升 误；由图可得，丙同学的总成绩排在班上倒数第三 名，其语文成绩排在250到300名之间，数学成绩 关，故B正确；对于C,若P1=P2=2可，P+1 排在400名左右，故B正确；数学成绩与六科总成 2P:k≥2，∈N,则P.=PX2-:=2 2n-1 绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更 1 1 强，因为图2的点的分布较图1更分散，故C正 2Hk≥2,6∈N),则PogP=2-十 确；由图1可得甲的总成绩排在班上第8名，年级 1oe2=-”6十1 1 -2(k>≥2，k∈W,而P1l0gP1 名次100多一点，对应到图2可得，其语文成绩排 1 在年级近100名，故甲的语文成绩名次比六科总 2oe2=2于是H)-”1 2-1 成绩名次靠前；由图1可得乙的总成绩排在班上 第27名，年级名次接近250名，对应到图2可得， .be++员+号 三1 其语文成绩排在年级250名之后，故乙的语文成 =n-1_n+n+n-11n-2 21 22+2+2=+2+…+2+2 绩名次比六科总成绩名次靠后，故D正确. 令8=号++…++宁 1. 10.ACD【解析】因为A,B互斥，所以P(AB)= 0,所以B发生时A一定发生，即AB=B,所以 安++++”+ 2十2，两式相减得2S。 P(AB)=P(B),故A正确；不妨以掷一颗骰子 为例，记出现偶数点为事件A,出现2点为事件 1 1 1 n -) 2+…+2 2+1 B,则PA)=2,P(BlA)=行>PBA)=0, 1 12 此时P(AB)=1>PA)=号：放B错误：周为 2,因此S=2-"2,则H) 2*7=1九十2 A,B相互独立，所以P(A十B)=P(A)十P(B) 是会+8=是会+2“是=2叶 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),1- 1 2可，故C错误；对于D,由题意得H(c)= P(A)P(B)=1-[1-P(A)][1-P(B)]= 1 P(A)+P(B)一P(A)P(B),所以P(A+B)= P,logPP,log 1-P(A)P(B),故C正确；因为A,B互斥，所 以P(AB)=0,而0<P(A)<1,0<P(B)<1, Peit…+P.lbep 1 -十Pog P.0’ 1 所以P(A)P(B)≠0，即P(AB)≠P(A)P(B), H=D+P21ogp十p+(P+Pm-1)· 所以A,B不相互独立，故D正确. 1 +…+(Pn+Pn+1)log.P十Pn 1 11.ABD【解析】对于A,若n=1,则i=1,P1=1, 10g2 P2+P2m-1 因此H(x)=-(1×1og21)=0,故A正确；对于 1 1 =Pil0g2 P1+P2m +P2log2P2十P2m-1 B,当m=2时，P,∈(0,2)，H)=-P,log:P 1 1 P2m-ilog2P2十P2m-1 +Plog:P,+P2,由于 -(1-P1)·log2(1-P1),令f(t)=-tlog2t P:>0(i=1,2,…,2m),所以P>P,+P2m+1= 1. 1 (1-01og:(1-t),4e(0,2）,则f'()- 1 1 1 -1og1+log(1-)=log(}-1）>0,即画数 则1og:户>log:P,+P1,周此P,1o8:P: 1 ,所以H(x)>H(y),所 f)在t(0,)上单明递增，即H(x)与P1正相 >P:log2P,十P2m+1- 以H(x)≥H(y)成立，故D正确. ·44· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 为P:=×(x1+日x0=所以PBA) 1 12.200【解析】因为感染人群中O型血、A型血、B 型血、AB型血的人数之比为3：2：32，所以 ,12 抽取的样本量为n的样本中，O型血的人数为 +0+63 (2)当A?发生时，2号队员必定选择2号座位就 3n3n 2n 3+2+3+2=10,A型血的人数为3+2+3+2 坐，3号队员可选择4,5,6号中的任意一个座位就 坐，此时4号队员恰好在4号座位就坐的概率 =所以0 .3n nn =20,解得n=200. 为n,-1x(号×1+号x0- ,所以P(BA3)= 13.42【解析】设班级学生的总人数为N(N≥28， C2C-0,记f(N)= 且N∈Z),则P(X=7) c 3,所以由全概率公式可知，4号队员恰好在4号座 C2nC8-19 位就坐的概率为P(B)=2P(A:)·P(BA:) 1 C8-,则fNt=Cc1 N2-33N+266 13 C f(N)CC%-0V2-26N-27’ =18 C 四、解答题 易得N2-26N-27>0恒成立，由N2-33N+ 40 15.解：1)a=400X10=0.01, 266>N2=26N=27可得N<293 2≈41.9，所以 所以及格率为1一(0.005+0.01)×10=0.85= 当28≤N≤41时，f(N+1)>f(N),当N≥42 85%. (3分) 时，∫(N+1)<f(N),所以P(X=7)的最大值 (2)由(1)可知(b+c+0.025+0.01)×10=0.85, 在N=42时取到，所以估计该班级学生的总人 得b+c=0.05, (5分) 数为42 平均分x=45×0.05+55×0.1+65×10b+75 14.18【解析】设事件A:为“1号队员在i(i=1, 13 ×10c+85×0.25+95×0.1=74, 联立解得b=0.02,c=0.03. (7分) 2,…,6)号座位就坐”，易知P(A1)=P(A2)= (3)由频率分布直方图知，这400份答卷中分数 PA,)=PA.)=PA:)=PA)=G,设亭件B 在[60,70)的份数为400×0.2=80， 分数在[70,80)的份数为400×0.3=120， 为“4号队员恰好在4号座位就坐”，则P(B|A1) =P(B|A)=P(B|A6)=1,P(B|A4)=0. 所以0=63X80+78X120=72, (10分) 80+120 (1)当A2发生时，2号队员可选择3,4,5,6号中 1 的任意一个座位就坐，①若2号队员选择5,6号 则总方差52一80十120{80×[7+(63-72)]+ 中的任意一个座位就坐，则4号队员必定在4号 120×[4+(78-72)2]}=59.2. (13分) 座位就坐，此时4号队员恰好在4号座位就坐的 16.解：(1)已知2(y:-:)=2(y:-ix,-a), =1 -1 瓶率为P,=导×1=方：@若2号队员选排4号 则2g,-,-a)-含：-62a, 座位就坐，则4号队员不可能在4号座位就坐， 又因为样本均值)=1之y:,则空y,= 此时4号队员恰好在4号座位就坐的概率为P2 n i=1 =0;③若2号队员选择3号座位就坐，则3号队 =12x4则2x=, n-1 员可选择4,5,6号中的任意一个座位就坐，若3 号队员选择5,6号中的任意一个座位就坐，则4 所以2y:-32x:-na=y-bx-na =1 i=1 号队员必定在4号座位就坐；若3号队员选择4 =n(y-bx-a). (3分) 号座位就坐，则4号队员不可能在4号座位就 又线性回归方程y=bx十a过样本中心点(x,y), 坐，此时4号队员恰好在4号座位就坐的概率 即y=近+a,则y-近-a=0, ·45· 真题密卷 二轮专题精准提升 所以n0-女-à)=0，即残差和2e,=2:-少) (2)解：方法一：“Y|X=5”的可能取值为0,3,6， 因为P(X=5)=, 1 =0. (5分) ,P(X=5,Y=0)=g, (2)先证明去掉(x6,y)后石的分子不变： 设原来有n=9个数据点(x:y:),i=1,2,…,9. P(X=5Y=30)-7,PX=5Y=6) 8 原来6的分子为含（红，一2)0，-少)=含 (6分) 1 -9xy 所以PY=0X=5)=PX=5,Y=0)】 8 1 9x-x6 P(X=5) 36 去掉(x6,y)后，新的x的均值为xnew= 8 则新的6分子为2x,3:-6y-8×9z。 1 8y. P(Y=3X=5)=P(X=5,Y=3) =41 P(X=5) 33 对空：--8×2。“与进行化简得， 3 2x:一xy-(9版-xy=2x,-x P(Y=6|X=5)= P(X=5,Y=3)_ 81 P(X=5) 32 9+x=A-9y, 4 已知2(x:-x)(y:-y)=1800,所以去掉(x6, (8分) =1 所以“YX=5”的分布列为 y)后3的分子不变，仍为1800. (8分) YX=5 0 3 6 再计算去掉(x6y)后b的分母： 1 已知x的方差=2x,一)= ni-1 -) 1 P 6 3则2x-9r2=60. (9分) 方法二：“YX=5”的可能取值为0,3,6，由已知， 又x=5,所以2x=60+9X52=285. 随机变量X,Y相互独立， -1 去掉(x6,y)后，新的方的分母为∑x一8xw,其 故PYlX=5)=P(X=5,Y=y P(X=5) 1≠6 8,这里x。=6,z=5. P(X=5)PY=y）=PY=y), P(X=5) (6分) 则分=285-6-8×x日”-智四 其中y∈{0,3,6}， 8 1 由已知，PY=0)=6' (11分) 最后计算方和a及回归方程： 1,11 6=1800 PY=3)=12+43’' 471 30.6. 1,31 pY=6)=g+8=2, (8分) 8 所以“Y|X=5”的分布列为 a-…6证…-190-0.6x2g≈40.8 Y1X=5 0 6 6 则线性回归方程y=ix十a≈31x十41. 即每天普及的人数y关于天数x的线性回归方 是 程为y=31x+41. (15分) (9分) 1 ,133 17.1)解：由已知P(X=5)=8+4+8=4' (3)证明：方法一：因为P(X=0)-4,P(X=5)= 1,11 3 1 PY=0)=24+8=6 315 (4分) 所以E(X)=0×4+5× 44 (10分) ·46· ·数学· 参考答案及解析 因为Px=0Y-)- 因为x2 400×(160×120-80×40)_200 240×160×200×200 3 P(x=51Y=)- 66.66>10.828=x0.001, (4分) 故依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们 所以E(XIY=y:)=0×P(X=0|Y=y:)+5× 推断H。不成立，即认为学生选择不同的劳动教 15 P(X=5Y=y:)=4, (12分) 育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不超 过0.001. (5分) 又因为PY=0)日，PY=3)-日， 1 (2)0y-50+70+60+66+72+84-67, 6 PY=6)=2 根据甲的计算公式计第可得行之引 3 所以2PY=)EXIY-门-名×+ 乙的时净公式计可得/得20 331 V3, 易知 3>3，因此乙的偏差系数更大，从而乙 /331、25 所以E(X)-含PY=y)·E(XIY=]. 对大偏差数据的存在体现得更明显. (10分) (15分) ②此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据 方法二：E(X)=2x,P(X=x) 的存在体现得更明显的数据处理方式，即乙的处 理方式是合理的. (11分) =22PX=Y=》 =22(x,P(X=xY=)） 证明：不妨设S=1之：-，1=√后名 n-1 12(0.-), -1j-1 只需证明T≥S恒成立 -22,·PY=P(X=aY=,刀 不妨设a:=|y:一y|,b:为任意实数， =2P(Y=y,)空(x·P(x=,1Y=,] 则s=12,T= ni=1 n i=1 =2CP(Y=)·E(XIY=,)], 即E(X)-2[P(Y=y)·E(XY=y]. 证T5,侧证2≥即可 ni= (15分) 即证2c≥（得a)八， 18.解：(1)设男生有x人，故x·80%=160, 即证na≥(2a:)2, (13分) 解得x=200, (1分) i=1 故男生中选择园艺课的有40人，又因为共有400 设函数fx)=（宫a)x2-2(②ab,)z+26, 人参加课程，所以女生有200人，女生中选择家 政课的有80人. 结合完全平方公式得f(x)=2ax-6,)≥0， 则二次函数f(x)的△≤0， 性别 课程 合计 即2(2a6)]-4×2a:×2≤0，即 男 文 (2a)(②b)≥(2ab), 家政 160 80 240 园艺 对于原式，不妨令b:=1,得到b=, 40 120 160 合计 200 200 400 ②a6)=(2a), 零假设H。:选择不同的劳动教育课程与性别无 从而得到n2a≥（②a,),即T≥S恒成立， 关联 故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据 ·47· 真题密卷 二轮专题精准提升 的存在体现得更明显的数据处理方式是合理的. 巾2m>q2m+2一q2m, (10分) (17分) 先证明①p2m+1一巾2m<q2m+1一q2m, 19.(1)解：p3为打完3个球后甲比乙至少多得2分 p2m+1-p2m=P(X2m+1≥m+2)-P(X2m≥m十1) 的概率，则只能甲胜三场， =P(Xm≥m+2)+P(X2m=m十1Dp-P(X2m≥m+1) 故pg=C3(1-p)°p3=p3, (2分) =P(X2m=m+1)p-P(X2m=m+1) 4为打完4个球后甲比乙至少多得2分的概 =(p-1)Cpm+1gm-1, 率，则甲胜三场或四场， 同理可得q2m+1一q2m=(q一1)C21qm+1pm-1, 故p4=C(1-p)'p3+C4(1-p)°p4=4p3(1-p) 所以①等价于(p-1)C2+1pm+1qm-1<(g一1)· +p4=p3(4-3p). (4分) C21qm+1pm-1,即p2(p-1)<q2(g-1),即p> (2)解：由(1)得p3=p3,p4=p3(4-3),同理 q,故成立； (13分) 93=q3,q4=q3(4-3q), (5分) 证明②p2m+2一p2m>92m+2一92m: 已知P二D=4,且力十g=1, p2m+2一p2m-P(X2m+2≥m+2)-P(X2m≥m十1) 94-q3 =P(X2m=m)p2+P(X2m=m十1)[1-(1-p)2] 则力4一力=p3(4-3p)-p 3p3(1-p) +P(X2m≥m+2)-P(X2m≥m十1) q4一q3 g3(4-3g)-q 3q3(1-q) =P(X2m=m)p2+P(X2m=m+1)[1-(1-p)2]十 g--4 (8分) P(X2m≥m十1)-P(X2m=m+1)-P(X2m≥m+1) 由于0<p,q<1,所以p=2g=2(1-)>0,解 =P(X2m=m)p2+P(X2m=m+1)(1-q2) P(X2m=m+1) 得=子 (9分) =Camp"gmp-g2Cag (3)证明：设打完k个球，甲的得分为X。,乙的得 -Cam pm+2gm-Campg, 分为Y,X。十Y=, 同理可得q2m+2一q2m-C2g+2pm一C1gmp+1, 所以p2m=P(X2m≥m十1)，p2m+1=P(X2m+1≥ 所以②等价于C%npm+2qm一C1pm+1gm+1> m+2),p2m+2=P(X2m+2≥m+2), C2mqm+2pm-C2qm+1pm+1,即p2>q2,即p> q2m=P(Y2m≥m+1),q2m+1=P(Y2m+1≥m+2), q,故成立. (16分) 92m+2=P(Y2m+2≥m十2)， 综上，p2m+1一q2m+1<p2m一92m<p2m+2一92m+2 要证明p2m+1一q2m+1<p2m一92m<p2m+2一q2m+2, 成立 (17分) 即证明①p2m+1一p2m<q2m+1一q2m,②p2m+2 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十） 数学·选择题、填空题解题方法训练 一、选择题 1.A【解析】已知集合A={x|-1≤x≤2)，B= 3.D【解析】因为f(-x)=sin(一x)+(-x) cos(-x)+(-x)2= -sin x-x {x|a+1≤x≤2a+1},B二A,当B=⑦时，a+1 cosx十x2 =一f(x),所以f(x)在[-π，π]上为 >2a十1，解得a<0,k排除C,D,当a-号时，显 奇函数，故排除A;当x=元时，f()=sinπ十刀 C0sπ十π2 然B二A,故排除B. 2.D【解析】因为ax2十bx十6>0的解集为{x一1 >0,故排除Cf(）= <x<6},所以a<0,(x-a)(x十b)>0的解集是 -R-1 取的两边形式，故排除A,C;又a<0,所以至少有 2π+4 一个根为负根，故排除B. T2>1,故排除B ·48·密真 2025一2026学年度二轮专题精准提升（九） 卷题 数学·概率与统计 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 5 6 7 8 答案 1.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中 “一”表示一个阳爻，“■■”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的不同卦中任 取两卦，这两卦中阳爻大于四个的概率为 () 乾 n 2.一组数据按从小到大的顺序排列为2,3,5,6，m,10,12,14,若该组数据的中位数是极差 5 的；，则该组数据的第60百分位数是 () A.6 B.7.5 C.9 D.9.5 3.某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了调查，调查结果显示，有60%的市民乘坐 公共交通工具（如公交、地铁），有30%的市民开私家车，有10%的市民选择骑行（如自行 车、电动车)或步行.进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有10%的 人迟到；在开私家车出行的市民中，有30%的人迟到；在骑行或步行出行的市民中，有 5%的人迟到.以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是 乘坐公共交通工具出行的概率为 () A品 B引 c品 4.计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制.其中字节是计算机中 数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成.某计算机程序每运行一次都随 1 机出现一个字节，记为a1a2a3a4a5a6a7a8,其中as(k=1,2,…,8)出现0的概率为3， 2 出现1的概率为3，记X=a1十a2十…十as,则当程序运行一次时，X的均值为（) P 16 A.9 .3 c. D.9 二轮专题精准提升（九）数学第1页（共8页） 真题 专注当下，未来的惊喜自会地期而至 5.某批产品的直径X(单位：毫米)服从正态分布N(90,1.44),现根据该批产品的直径从 班级 大到小按照0.135%，15.73%，34.135%，47.725%，2.275%的比例将该批产品划分为 特品、优品、良品、普品和合格品五个等级.若某件产品的直径为92毫米，则该产品的等 级是 姓名 附：若X~N(μ，o2),则P(一o≤X≤十o)≈0.6827，P(4-2o≤X≤十2a)≈0.9545， P(μ-3o≤X≤4+3o)≈0.9973. 得分 A.优品 B.良品 C.普品 D.合格品 6.小明研究温差x(单位：C)与本单位当天新增感冒人数y(单位：人)的关系，他记录了5 天的数据： 3 4 5 6 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程y=4.8x十a,则下列结论 错误的是 () A.x与y正相关 B.经验回归直线经过点(5,25) C.当x=6时，残差为一1.8 D.a=-1 7.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列 1,当第n次取得白球， (an}:an= 记Sm为数列{am}的前n项和，则S2≥0且S,=3 一1，当第n次取得红球， 的概率为 () 80 40 56 8 A.2187 B.2187 C.2187 D.729 8.如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从 一个房间等概率地移动到相邻房间，则下列说法错误的是 ( A.将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B.将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则k≤6 :小球从房间C出发，3次移动后在房间E或G的概率为。 1 D.小球从房间C出发，4次移动后在房间H的概率为4 密卷 二轮专题精准提升（九）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成 绩在全年级中的排名情况如图所示，“☆”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从 这次考试的成绩看，下列结论正确的是 () 500 450 400 350 300 甲☆ 250 200 150 100 ●● 50 ☆乙 0 0 100 200 300400 500 六科总成绩在年级排名 图1 500 450 ●● 400 350 300 250 ☆丙 90 0 0 0 100 200 300 400 500 六科总成绩在年级排名 图2 A.该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好 B.在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的学科是语文 C.数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强 D.在甲、乙两人中，语文成绩名次比六科总成绩名次靠前的学生是甲 10.已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,A,B分别是事件A,B的对立事件，则下列说法正 确的是 () A.若A,B互斥，则P(B)=P(AB) B.若P(B|A)>P(BA),则P(AIB)<P(A) C.若A,B相互独立，则P(A十B)=1一P(A)P(B) D.若A,B互斥，则A,B不相互独立 11.麦克斯韦妖是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永 动机的一个范例.直到信息熵的发现才推翻了麦克斯韦妖理论.设随机变量x所 有取值为1,2，…，n,且P(x=i)=P:>0(位=1,2，…，n),分P:=1,定义信息熵 H(x)=- 2P,logP:,则下列说法正确的是 )》 二轮专题精准提升（九）数学第3页（共8页） 真题 A.当n=1时，H(x)=0 B当n=2时，若P.∈(0，》，则He)与P,正相关 1 72 C.若P,=P2=2,P+1=2Pk≥2，k∈N,则Hx)=2-2 D.若n=2m,随机变量y的所有可能取值为1,2，…，m,且P(y=j)=P,+P2m+1-j (G=1,2,…,m),则H(x)≥H(y) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.为了研究某种病毒与血型之间的关系，现决定从被感染的人群中抽取样本进行调查， 这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数之比为3：2：3：2，现用按 比例分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，已知样本中O型血的人数比A 型血的人数多20，则n= 13.某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周 的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼 时长超过6小时，估计该班级学生的总人数为 (记X为抽取的每周的体育锻炼 时长超过6小时的学生人数，以使P(X=7)最大的班级学生的总人数为估计值). 14.参加数学竞赛的6位队员欲合影留念，分别将座位和队员以1,2,3,4,5,6编号，首先编 号为1的队员从6个座位中任选一个就坐，接着由编号为2,3,4,5,6的队员依次选座， 若与队员编号相同的座位为空，则队员坐在该座位；否则，则从座位编号大于队员编号 的空座位中任选一个就坐（若大于队员编号的座位均不为空，则从剩余空座位中选择 最大编号的就坐)，则4号队员恰好在4号座位就坐的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视程度及应对突发情况的能力，对 本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故、自然灾害等）网络测试，满分为 100分.测试完后随机抽取了400份试卷，把分数按[40,50)，[50,60)，…，[90,100]依 次分为第一至第六组（所有得分x均满足40≤x≤100），其中[50,60)与[90,100]的人 数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若 同一组中的数据用该组区间的中点值代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平 均分为74分 ◆频率/组距 0.025- b 0.005 0405060708090100分数 (1)求图中a的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民 所占的比例)； (2)分别求图中b,c的值； (3)已知落在区间[60,70)的样本的平均分是63，方差是7，落在区间[70,80)的样本的 平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分w和方差s2. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和 样本方差分别为：m,x,s;n,y,s,记总的样本平均数为w,样本方差为s2,则s2= 1 m+nm5i+(z-o)]+n[s+(y-w)]. 密卷 二轮专题精准提升（九）数学第4页（共8页） 16.(15分)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及 的人数，得到的数据如表所示： 时间x(天) 1 2 3 6 8 9 每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310 (1)设y:是因变量每天普及人数的第i个观测值，y:是通过线性回归方程y=x十a 得到的第i个预测值，则称y:一：为残差e:,求2e:; (2)由于统计人员的疏忽，第6天的数据统计有误，如果去掉第6天的数据，试用剩下的 数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程（计算过程精确到小数点 后一位，最终结果精确到整数). 参考数据：= 含：=190x的方差为号含，-x0.-y)=180, 附：对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),其回归直线y=bx十a的斜率和 截距的最小二乘估计分别为：名= 2(x:-x)(0y:一y) 2xy:一nxy i=1 ,a=y-6x. G-) x?-m2 三1 二轮专题精准提升（九）数学第5页（共8页） 真题密卷 17.(15分)已知(X,Y)是二维离散型随机变量，其中X,Y是两个相互独立的离散型随机 变量，(X,Y)的分布列如表所示： Y X 0 6 1 1 0 24 12 P 8 (1)求P(X=5)和P(Y=0). (2)“Y|X=x”表示在X=x条件下的Y的取值，求“Y|X=5”的分布列. (3)E(X)为X的数学期望，E(XY=y:)为“XY=y:”的分布的期望，证明：E(X)= 含PY=)·EXIY=y小. 二轮专题精准提升（九）数学第6页（共8页） 18.(17分)某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参 加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据如表所示，但其 中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为80%. 性别 课程 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生选择不同的劳动教育课程与 性别有关联？ (2)学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟 进，授课时长x(分钟)和学生任务完成率y%的对应数据如表所示： 时长x 20 24 28 32 36 40 完成率y% 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均 完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数φ()，现给出以下两种数据处理方式： (m三：一y,乙：9()=g,-)2,已知偏差系数越大的处型 n 式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数9(n),并指出哪一种数据 处理方式对大偏差数据的存在体现更明显 ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现得更明显的数据处 理方式是否合理，并证明你的判断 n(ad-bc)2 附：x2=(a+c)(a+b)b+d)(c+d) :n=a+b+c+d. a 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 二轮专题精准提升（九）数学第7页（共8页） 真题密卷 19.(17分)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概 率为p号<p<小，乙胜的概率为9，p十g=1,且各球的胜负相互独立，对正整数≥2。 记卫.为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，9.为打完k个球后乙比甲至少多得 2分的概率. (1)求p3,p4(用力表示). (2)若p:二p:-4,求. 94-93 (3)证明：Hm∈N*,p2m+1一q2m+1<p2m一92m<卫2m+2一92m+2, 二轮专题精准提升（九）数学第8页（共8页）