25.2.1 第1课时 直接开平方法-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

25.2降次—解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 01基础达标 6.若一元二次方程a(x-b)=7的两根为2士 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1.若x2-一mx+9是一个完全平方式，则m的值为 昌，其中ab为帝数，则a+b的值为(） ( B.6 号 C.3 D.5 A.3 C.±3 D.士6 2.利用平方根的意义解下列方程，其中无解的方7.(1)(x十1)2一16=0. 程是 ) A.x2-5=0 B.x2+4=0 C.-3x2=0 D.3x2-6=0 3.(1)若关于x的一元二次方程(x十2)2=n有 实数根，则n的取值范围是 (2)3(x-2)2=12, (2)已知x=4是方程x一c=0的一个根，则 方程的另一根是 4.用直接开平方法解下列方程： (1)4x2=9. 易错点忽视a2十b的非负性 8.已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=72,则a2+b (2)2x2-98=0. 的值是 02能力提升 9.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一 元一次方程，其中一个一元一次方程是x十 6=4,则另一个一元一次方程是 ()》 知识点二变形后用开平方法解一元二次方程 A.x-6=-4 B.x-6=4 5.如果多项式(2x一1)的值为9，则x的值为 C.x+6=4 D.x+6=-4 )10.已知关于x的方程ax2=b的两根为m一1 A.2 B.2或-2 和2m十7，则方程的两根是 () C.-1 D.2或-1 : A.±2 B.±3 C.±4 D.±7 5 11.已知一元二次方程(x一3)2=1的两个解分 03思维拓展 别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则 15.小明在解一元二次方程时，发现有这样一种 △ABC的周长为 ( 解法. A.10 B.10或8 【例】解方程x(x十4)=6. C.9 D.8 解：原方程可变形，得[(x十2)一2][(x十2) 12.对于实数a,b,我们用符号min(a,b)表示a,b 十2]=6. 两数中较小的数，如min(1,2)=1,若min(x2 (x十2)2-22=6， 1,x2)=1,则x= (x+2)2=6+22, 13.解下列方程： (x十2)2=10. (1)4(2.x-1)2-36=0. 直接开平方并整理，得x1=一2十√I0,x2 -2-√/10. 我们称小明这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程 (x+3)(x+7)=5时写的解题过程， 解：原方程可变形，得[(x+a)一b][(x十a) (2)x2-6x+9=(5-2x)2. +b]=5. (x+a)2-b2=5, (x十a)2=5+b2. 直接开平方并整理，得x1=c,x2=d. 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 (3)2(x2+3)+3(1-x2)=0. (2)请用“平均数法”解方程(x一5)(x十3)= 6. 14.已知方程(x一1)2=k2十2的一个根是x=3, 求k的值和方程的另一个根.温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第二十五章一元二次方程 :14.把x=3代入方程得k的值为 25.1一元二次方程的概念 士√2，再把k=士2代入方程 1.D2.≠±2-2 得另一个根为一1. 3.方程略 15.(1)5±2 -2-8 (1)二次项系数为3，一次项系 (2)x1=1+√22，x2=1 数为一2，常数项为一1； √22 (2)二次项系数为3，一次项系 第2课时配方法 数为一1，常数项为0： 1.C2.C (3)二次项系数为(m+n), 次项系数为(m一n),常数项为 3.(1)2 (2)2 (3)93 (p-q). 1 4.A (4) 5.D【条件变式】-1 4.C 【逆向变式】一1 5.(1)x1=1+√/5，x2=1-√5， 6.C7.x(x+13)=8288.D (2)x1= -1+13 9.B10.C 6 ,C2 11.x2+(x-6.8)2=102 -1-√13 12.(1)k=1; 6 (2)该方程的二次项系数为k2 6.C7.C8.B9.110.-2 一1，一次项系数为一(k+1), 11.(1)x1=x2=4. 常数项为一2. (2)此方程无实数根. 13.(1)-4x2+100x-400=0. (3)x1=1+√13，x2=1 (2)x2-x-756=0. /13, 14.31Ⅱ（②号 (3)C 12.△ABC是直角三角形. 25.2降次—解一元二次方程 13.1)VA6+a7-a 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 (2)AD的长是方程的正根， 1.D2.B 图解法不能表示方程的负根 3.(1)n≥0(2)x=-4 微课堂 411=2x=- 3 【示例】一4 2 (2)x1=7,x2=-7. 【变式】}晶 5.D6.B 25.2.2用公式法解一元二次方程 7.(1)x1=3,x2=-5. 1.A2.A (2)x1=4,x2=0. 3.4m-4>1=1<1 8.99.D10.B11.A 4.A5.A 12.士√2 6.4-3 -241 x1= 13.(1)x1=-1,x2=2. 3+√/4I x2= 3-/41 8 8 8 (2).x1=2,x2=3 7.3.x2+9x-1=0 (3)x1=3,x2=一3. 8.(1)x1=x2=√2. 49 (2)x1=-2+V6,x2=-2√6. 2.1或2 9.B10.A11.D 25.2.4一元二次方程的 根与系数的关系 12.10x1=2x2=3 1.A2.B【变式】2020 (2)x1=0,x2=-2. 13.(1)证△>0. 3. 2 (2)m的值为士2，方程的另 4.(1)0 (2) 5 1 个根是4. 2 (3) 2 14.(1)k≤4. 5.D (2)k的值为3或4. 6.另一个根是2十√5，c的值是一 (3)由求根公式得x= 1. 4±√16-4k 7.A8.C9.D10.D11.14 2 12.x2-6.x+6=0 ∴.x1=2+√4一k,x2=2一 13.(1)k的取值范围为k>一1. √/4一k,由题意，得x1一x2= (2)1 2√4-k=2,解得k=3. 14.(1)证△>0. 25.2.3因式分解法 (2)m的值为-2或1. 1.C2.B 15.(1)5123 3.C【变式】(x+3)(x+4)=0 e 4.(1)x1= 3x2=-5; 专题一一元二次方程的解法 (2)x1=3,x2=9. 1.(1)x1=3,x2=-1. 5.D 1 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)x1= 2X2=3. 7.(1)x1=1,x2=2. (3)x1=-2,x2=0. (2)x1= 3+53-√/5 (4)x1=2+5,x2=2-√5. 2 ,x2= 2 (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (5)x1=1,x2=-2 8.D9.210.1611.±1 12.2或-1 (6)x1=2x2=3. 13.k=2,t=-3. 2.y1=2,y2=-4. 14.(1)①.x1=x2=1②x1=1, 3.(1)x1=7,x2=-1. x2=2③x1=1,x2=3 (2)x1=6,x2=-1. (2)①x1=1,x2=11②x2 -(1+n)x+n=0 (3)x=1,x2=- 2 (3)x2-12.x=-11, x2-12x+36=-11+36,(x (0x1=- 224 9 3 -6)2=25,x-6=±5， 4.A5.y2-2y-3=0 故x1=1,x2=11.所以猜想 6.x1=-1+2,x2=-1-√2. 正确。 7.2a+b=-2. 微课堂 25.3实际问题与一元二次方程 【变式应用】 第1课时数字、面积与图形问题 1.(1)x1=5,x2=-1. 1.x(x-16)=2252.363.D (2)x1=-3,x2=1. 4.(18-x)(30-x)=233 50 5.2 x(x-1) (2)y= 1128 6.BE的长为2-√5」 2 7.仪仗方队有12排，17列. (3)该班共有20名女生. 8.(1)小林应把绳子剪成12cm和 综合与实践（一）数形结合 与方程思想 28cm两段， 【理解应用】② (2)小峰的说法是对的. 25 9.(1)秒 【类比迁移1x+ (x+x+ (2)10秒后P,Q两点相距 )-4×1+() x2 25cm. 【拓展应用】士231或3 10.(1)电动车车棚的长为24m, 综合与实践（二）方程建模 宽为16m; 与实际应用 (2)不能围成面积为450m2的 任务一：这个矩形的长和宽分别 电动车车棚。 是60cm和20cm; 第2课时传播、平均变化率问题 任务二：按图4上面的做法合适， 1.C2.C 下面的做法不合适. 3.(1)每轮传染中，平均一个人传 章末核心考点与素养提升 染10个人； 1.-32.-1 (2)按照这样的速度传染，第三 3.(1)x=√2±1. 轮将新增1210名感染者. (2)x1= 4.A5.10%6.20%7.D 3X2= 8.B9.6 4.B5.(1)13(2)-6 (3)a 10.(1)10%. 2且a≠0 (2)可以超过40%，理由略 6.(1)当m=1时，四边形ABCD 11.任务1：第一季度到第三季度 为菱形. 生产量的每季度增长率为 20%; (2)m=2 任务2：应增加5条生产线， 7.10% 第3课时循环、商品利润问题 8.(1)(60-3a)(2)a=12. 1.D2.B 9.B10.A11.A 1 12.3(x-1).x=6210 3.(1)2x(x-1)=40,淇淇的说 13.(1)每月销售y(件)与售价x 法正确： (元)的函数关系式为y= (2)x的值为10. -10x+1200. 4.(3+x)0.5x(4-0.5x) (2)售价定为70元可获得利 (3+x)(4-0.5.x)=15 润是10000元. 5.80元 14.(1)1 6.每件衬衫应降价20元 (2)x1=3+i,x2=3-i 7.(1)y与x的函数关系式为y= 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 2x+190(180≤x≤300)： 1.C (2)当房价为210元时，宾馆当 2.(1)a≠2 日可获利8450元. (2)a=2,b≠-2 8.(1)1015 :3.一般形式略 51