精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

包九中外国语学校高二年级数学学科 2026年4月 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据基本初等函数的求导公式可知，，，，，故ABC错误，D正确. 2. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求导得到，再解不等式即可. 【详解】，令，解得. 所以，，为减函数. 故选：B 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围． 【详解】由题可知，恒成立， 故，即． 故选：A﹒ 6. 若直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义可得切线的方程，与直线相同，列出方程组，求解即可. 【详解】设切点坐标为，则切点在直线上，也在曲线上， 所以 又切线斜率且， 所以，代入可得， 故选：. 7. 若是函数的极值点，则的极小值为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A． 【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； （2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数存在极值点 B. 若函数在点处的切线方程为直线，则 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，函数有三个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的单调性判断A，再由切线斜率即切点横坐标导数判断B，根据函数中心对称的性质判断C，根据函数的单调性及极值的正负判断D. 【详解】由，可得， 对A，当时，，在上单调递增， 故函数不存在极值点，故A错误； 对B，由切线方程知，解得，故B正确； 对C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确； 对D，当时，，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线过点的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下， 由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设得到，的关系，利用换元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论． 【详解】设，则． 令，则， 令g(t)＝，则， ∴g(t)，即在上单调递增， 又， ∴当时，单调递减；当时，单调递增． ∴． 故的最小值为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用换元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度． 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出温习说明､证明过程或演算步骤） 15. 求下列已知函数的导函数： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 方法一： . 方法二： 因为， 所以. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调性； （2）当时，记函数的最小值为，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，分别讨论和两种情况下的正负，可得的单调性. （2）由（1）可得，令，利用导数求得的单调性和最值，即可得证 【小问1详解】 由题知函数定义域为，求导得， ①当时，恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，当时，解得， 所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 证明：由（1）得的最小值为， 设，，则， 令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以.得证. 18. 已知函数. （1）若，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，且对任意，均有，求b的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用列不等式求解即可； （2）为证明函数图象的中心对称性，可取图象上任意一点，验证其关于对称中心的对称点是否在函数图象上即可； （3）由可得，设，则有在上恒成立，多次求导，利用导数研究的单调性，解不等式即可求解. 【小问1详解】 时，，则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为. 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为，可得，依题意在上恒成立， 设，则， 则有在上恒成立， 因为，可设， 所以 ①当时，由知，，所以， 所以在单调递增. 1.当，即时，对任意都成立， 所以在上单调递减，则； 2.当，即时，而当时，， 所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以舍去； ②当时，所以在上单调递增，则，所以舍去； ③当时，与在上都单调递增， 所以在上单调递增，则，所以舍去. 综上，. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有1个零点，求证：； （3）若在上恒成立，求正整数的最大值. 【答案】（1）的单调增区间为，减区间为 （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）求导函数，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可得证； （3）分类参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值. 【小问1详解】 当时，，，则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意． 综上所述，. 【小问3详解】 由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又，， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即， 所以， 所以，又，， 所以的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高二年级数学学科 2026年4月 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( ) A. B. C. D. 6. 若直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是函数的极值点，则的极小值为． A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数存在极值点 B. 若函数在点处的切线方程为直线，则 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，函数有三个零点 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线过点的切线方程为__________. 13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数，，若，则的最小值为________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出温习说明､证明过程或演算步骤） 15. 求下列已知函数的导函数： （1）； （2）； （3）. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 17. 已知函数. （1）求函数的单调性； （2）当时，记函数的最小值为，证明：. 18. 已知函数. （1）若，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，且对任意，均有，求b的取值范围. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有1个零点，求证：； （3）若在上恒成立，求正整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $