3.3 等可能事件的概率（第2课时 计算等可能事件的概率，设计符合要求的简单概率模型）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

3.3 等可能事件的概率 （第2课时：计算等可能事件概率，设计符合要求的简单概率模型） （教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第三节《等可能事件的概率》第2课时设计符合要求的简单概率模型）.本节课主要内容包括：在理解等可能事件概率计算公式的基础上，逆向运用概率公式——根据给定的概率要求，设计符合要求的简单概率模型（如摸球游戏等）；能运用概率知识解释游戏规则的公平性，并能对不公平的游戏规则进行修改；进一步体会概率模型思想，发展应用意识和创新意识. 2.内容解析 本节课是“等可能事件的概率”的第二课时，是在学生已经掌握等可能事件概率计算公式P(A)=m/n的基础上进行的逆向应用与综合提升.从知识体系看，本节课实现了从“已知模型求概率”到“已知概率设计模型”的跨越，是概率知识应用能力的重要体现.从思想方法层面看，本节课集中体现了“逆向思维”——从概率值反推模型结构；“模型思想”——根据要求构造符合条件的概率模型；“优化思想”——设计满足条件的最简方案.同时，通过游戏公平性的探讨与修改，让学生体会概率在决策和规则设计中的实际应用价值. 基于以上分析，本节课的教学重点为：能根据给定的概率要求，设计简单的概率模型（如摸球游戏）. 1. 教学目标 (1)能根据给定的概率要求，设计符合要求的简单概率模型（如摸球游戏游戏）；能运用概率知识判断并修改游戏规则的公平性；能用概率模型解释生活中的随机现象. (2)经历从概率值逆向构造概率模型的过程，培养逆向思维和模型观念；通过小组合作设计游戏方案，培养合作交流能力和创新意识. (3)在设计游戏方案的过程中，感受数学的创造性和趣味性；通过解决实际问题，体会数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心. 2.目标分析 目标1强调逆向应用能力的培养.学生需要能够根据给定的概率，反推出模型中各种元素的数量关系，并设计方案. 目标2侧重于思维方法的培养.从正向计算到逆向设计，是思维方向的重要转变；小组合作设计方案，培养学生的协作能力和创新意识. 目标3通过设计游戏的活动，让学生体验“做数学”的乐趣，感受数学的创造性和实用性. 学生已经掌握了等可能事件概率的计算公式，能够计算简单随机事件的概率，对概率的意义有了一定的理解.同时，学生对摸球游戏、转盘游戏等生活情境比较熟悉，具备一定的生活经验和动手能力.但学生在逆向设计时可能遇到以下困难：①不理解“设计模型”的本质要求，不知道从何入手；②对概率公式中的m和n的关系把握不准，设计方案时出现比例错误；③设计方案单一，缺乏多角度思考的意识；④对“等可能性”的判断不够准确，设计出的模型可能隐含不等可能因素.因此，教学中应注重通过具体问题的引导，帮助学生建立“概率值→比例关系→具体数量”的思维链条，并鼓励学生提出多种设计方案. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：理解概率模型的本质——所有可能结果等可能，且事件包含的结果数与总结果数之比等于给定概率；设计出满足条件的多种可行方案. 创设情景，引入新课 复习回顾：上节课我们学习了等可能事件的概率计算公式，谁能说说？使用这个公式的前提是什么？ 学生回答：P(A)=，前提是试验结果必须是等可能的. 追问：如果老师告诉你一个摸球游戏中摸到红球的概率是，你能设计出这个摸球游戏吗？袋中应该放几个球？红球有几个？” 学生猜测：可能回答放3个球，1个红球；也可能回答放6个球，2个红球…… 教师引导：“看来答案不唯一！今天我们就来学习——如何根据概率要求设计简单的概率模型。” （设计意图：通过逆向设问，引发认知冲突，激发学生探究欲望，自然导入新课.） 探究点1：摸球游戏设计 问题呈现：一个袋中装有除颜色外完全相同的若干个球。请设计一个摸球游戏，使得：（1）摸到红球的概率是1/2；　　（2）摸到红球的概率是2/5. 小组讨论：学生分组讨论设计方案. 汇报交流： 对于（1）：可以放2个球，1红1其他；或4个球，2红2其他；或6个球，3红3其他……只要红球数占总球数的一半即可。 对于（2）：可以放5个球，2红3其他；或10个球，4红6其他……只要红球数:总球数=2:5即可. 追问：除了红球和其他颜色的球，还可以加入其他颜色的球吗？ 学生思考：可以，只要红球数占总球数的比例符合要求即可. 教师归纳：设计摸球游戏时，关键是确定总球数n和红球数m，使得m/n等于给定的概率。n和m可以取满足比例关系的任意正整数. （设计意图：通过开放性问题，让学生自主发现设计规律——概率值决定红球与总球数的比例，具体数量可以灵活选择，培养发散思维.） 探究点2：游戏公平性 问题呈现：小明和小丽想用掷骰子的方式决定谁去看电影。小明说：“朝上的点数大于3，我去；点数小于3，小丽去；点数等于3，重掷。”这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则。 学生分析：点数大于3：4,5,6，有3种结果 点数小于3：1,2，有2种结果 P(小明去)=3/6=1/2，P(小丽去)=2/6=1/3 1/2≠1/3，不公平. 修改方案： 方案1：大于3小明去，小于等于3小丽去（两人概率都是1/2）； 方案2：奇数小明去，偶数小丽去（两人概率都是1/2）. 归纳：游戏公平意味着双方获胜的概率相等，即P(甲)=P(乙)=1/2. （设计意图：通过游戏公平性问题，让学生体会概率在规则设计中的应用，培养公平意识和决策能力.） 探究点3：设计符合要求的简单概率模型 问题：设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率是1/3，摸到白球的概率是1/2，摸到黄球的概率是1/6。你能设计出几种不同的方案？ 小组合作：学生分组讨论，寻找多种设计方案。 方案展示： 方案1：总球数6个，红球2个，白球3个，黄球1个 方案2：总球数12个，红球4个，白球6个，黄球2个 方案3：总球数18个，红球6个，白球9个，黄球3个 …… 追问：这些方案有什么共同特点？ 归纳：红:白:黄=2:3:1，即比例关系决定，总球数可以是比例之和的整数倍. （设计意图：通过开放性设计，让学生深入理解概率值与数量比例之间的关系，培养模型观念和发散思维.） 探究点4：概率计算——从模型到概率 问题：一个袋中装有4个红球、6个白球和10个黄球（每个球除颜色外都相同）.从中任意摸出一个球，求： （1）P(摸到红球) （2）P(摸到白球) （3）P(摸到黄球). 学生独立计算： P(红)=4/20=1/5　　P(白)=6/20=3/10　 P(黄)=10/20=1/2 追问：P(红)+P(白)+P(黄)=1，说明了什么？ 归纳：所有可能结果的概率之和等于1. （设计意图：在逆向设计之后回归正向计算，让学生建立“模型⇌概率”的双向联系，形成完整的认知结构.） 典型例题 例1．利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏. (1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是； (2)使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是. （3）你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗? （4）你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗?你是怎样设计的? 【分析】本环节让学生设计满足一定概率要求的摸球游戏，进一步理解古典概型的概率计算公式.可要求学生说明自己的思考过程，总结解决相关问题的思考策略. 【详解】解：(1)2个红球，2个白球； (2)2个红球，1个白球，1个黄球； （3）选取8个球时:①4个红球，4个白球;②4个红球，2个白球，2个黄球； （4）选取7个球，无法设计满足所述条件的游戏. 例2： 问题：设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率是3/10，摸到白球的概率是3/10，摸到黄球的概率是2/5。最少需要多少个球？如何放置？ 【分析】概率比：3/10 : 3/10 : 2/5 = 3 : 3 : 4，三种球的最少球数=3+3+4=10个 【详解】解：摸到红球、白球、黄球的概率比：3/10 : 3/10 : 2/5 = 3 : 3 : 4，三种球的最少球数=3+3+4=10个 所以可以文墨：红球3个，白球3个，黄球4个. （设计意图：通过“方案设计”“最简方案”问题，培养学生优化意识和最值思维。） 课堂练习：课本Ｐ75　随堂练习 参考答案：1.　　　2.　　这个问题与第1题的背景虽然不同，但实质是相同的，最后的结果也是相同的。实际上，第1题中“写有男生姓名的纸条”相当于第2题中的“红球”，第1题中“写有女生姓名的纸条”相当于第2题中的“白球”. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故选：B． 1.（2025•台湾）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵阿嘉比小杨大的情形有： 阿嘉翻开的那张牌上的数字为2，小杨翻开的那张牌上的数字为1， 阿嘉翻开的那张牌上的数字为4，小杨翻开的那张牌上的数字为1或3， 阿嘉翻开的那张牌上的数字为5，小杨翻开的那张牌上的数字为1或3或4， 而所有的情形共有3×3＝9（种）， ∴阿嘉比小杨大的机率为． 故选：B． 2．（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　　 ． 【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果， 所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为， 故答案为：． 3．（2025•天津）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　　 ． 【解答】解：从袋子中随机取出1个球共有13种等可能结果，其中它是绿球的有6种结果， 所以从袋子中随机取出1个球，是绿球的概率为， 故答案为：． 4.（2025.蒙城统考）问题：用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得：（1）摸到白球的概率为1/2，摸到红球的概率也是1/2； （2）摸到红球的概率为1/2，摸到白球和黄球的概率都是1/4. 【解答】解：（1）2个白球、2个红球；（2）2个红球、1个白球、1个黄球. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（1） 设计概率模型的核心：确定总结果数n和事件包含的结果数m，使得m/n等于给定的概率，n和m可以取满足比例关系的任意正整数.（2）设计摸球游戏的要点：各色球的数量比 = 各事件的概率比，所有可能结果的概率之和等于1.（3）游戏公平的条件：双方获胜的概率相等. 方法总结：（1）逆向思维：从概率值反推模型结构.（2）模型思想：用数学模型刻画随机现象.（3）比例思想：概率值决定数量之间的比例关系.（4）优化思想：在满足条件的前提下追求最简方案. 易错提醒：（1）比例计算错误：多个事件的概率之和必须等于1，设计前应先验证.（2）忽略最简整数比：设计方案时，应将概率比化为最简整数比，再确定数量.（3）混淆颜色与球：摸球设计中，同色球视为相同结果，但不同颜色的球数量决定概率 . (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题3.3第4、5、6题. 探究性作业：教材习题3.3第10题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 3.3 等可能事件的概率 （第2课时） 探究点1：摸球游戏设计 探究点2：游戏公平性 探究点3：设计符合要求的简单概率模型 探究点4：概率计算——从模型到概率 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $