微专题02 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 题型一知解直接代入解，求字母参数的问题 题型二二元一次方程（组）同解问题 题型三二元一次方程组的解遮挡问题 二元一次方程组 的同解、错解、 题型四方程组的解满足某一附加条件 参数等问题 题型五利用二元一次方程组解决看错解问题 题型六（培优）二元一次方程（组）正整数解问题 题型七（培优）方程组无解、有唯一解、无数解问题 点型动 题型一知解直接代入解，求字母参数的问题 啸方法 把题目给出的X、y的解直接代入原方程组，得到关于参数的方程或方程组， 再解方程求出参数 1.(25-26七年级下·重庆月考)若关于x、y的方程5x-qy=28有一组解是 X=6 y=-2 则a的值是 () A.29 B.-29 C.1 D.-1 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下云南楚雄期末)已知x=3是关于x,y的方程ax+by=1的解，则6a-4b的值是 y=-2 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26七年级下河南鹤壁月考)已知X二m是关于x、y的方程3x-2y-5=0的解，则代数式 y=n 4n-6m+9的值是() A.-3 B.-2 C.-1 D.1 4,(25-26七年级下湖南衡阳-月考)已知X=2是方程ax+by=3的一组解，则4a+2b+4=(一 y=1/ 5.（2525八年级上：贵州华省期来)已奥是=元一次方翠3 x-by=3的解，求a+2b的值。 ax+2by=8 6.(25-26八年级上陕西咸阳月考)已知x=1 y=-1 是关于x,y的二元一次方程x-ay=4的一个解，b+2 的算术平方根为3，求ab+4的平方根. 7.(24-25七年级下河南周口月考)已知关于x,y的二元一次方程组Qx+by=3, bx+ay=-3 的解为 2 (1)求a,b的值： (2)若3a-2bm=7,求m的值. 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二二元一次方程（组）同解问题 味方法 先将两个方程组中不含参数的方程重新联立，求出公共解x、y,再把公共解 代入含参数的方程，求出参数. 1.(23-24七年级下河南新乡，期中)己知方程组 2x-y=7 和方程组 x+by=a 有相同的解，则a,b的 ax+y=b 3x+y=8 值分别为() A. a=1 a=4 a=14 1b=2 D. b=-6 c86 b=2 2.(24-25七年级下山东烟台·月考)已知关于x,y的方程组 3x-y=5 2x+3y=-4 有相同 4ax+5by=-22 ax-by=8 的解，则(-a)的值为() A.-6 B.6 C.-8 D.8 3.(24-25八年级上四川成都期未)若关于，y的方程组x-by=5与关于x,y的方程组 ax+by =3 3x-y=1 4x-3y=-2 有相同的解，则a=d一，b=式一· 4。(2026七年级下-四川泸州学业考试)已知关于x,y的方程组 x+y=3 和my+nx=2 有相同的解， mx-ny=9 x-y=1 则m-n=( 5.(23-24七年级下.内蒙古呼和浩特期中)己知方程组 2x+5y=-6 和方程组 bx+ay=-8 的解相同， ax-by=-4 3x-5y=16 2a+b202的值是 6.(23-24七年级下.江西赣州期末)已知关于x,y的方程组 5x+y=3 和x-2y=5 有相同的解， ax+5y=4 5x+by=1 (1)求这两个方程组的解； (2)求a-2b的平方根. 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.（25-26七年级下-河南周口月考)已知关于x,y的二元一次方程组3x5y=36 与方程组 bx+ay=-8 2x+5y=-26 有相同的解。 ax-by=-4 (1)求这两个方程组的相同解： (2) 2a+b2026的值. 题型三二元一次方程组的解遮挡问题 味方法 1.设被遮挡的数为参数（如a、b). 2.把题目给出的正确解直接代入方程组 3.解关于遮挡参数的一元一次方程或方程组4.求出被遮挡的数字，还原完 整方程， 1.(23-24七年级下.四川自贡期中)方程组2x+y=· 的解为X=2 则被遮盖的两个数分别为() (x+y=3 y= A.2,1 B.5,1 C.2,3 D.2,4 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下，湖南衡阳·月考)若方程组 x+y=o 的解为X=-2 则被“o”和“■”遮挡的两 2x+y=5 y=■ 个数分别是() A.7,9 B.9,7 C.1,-1 D.-1,1 3.(25-26七年级下全国周测)若关于x,y的二元一次方程组×+y=3到的解是x=1其中y的值被盖 x+y=2 y= 住了，但还是可以求出a的值，则a的值是() A.1 B.2 C.-1 D.-2 4.(25-26八年级上·安微宿州月考)芳芳解方程组 x+2y=⑧ 的解为 x=4 由于不小心，两滴墨水 x-2y=2 y=⊙ 遮住了两个数⑧和⊙，则⑧与⊙表示的数分别是() A.6,1 B.-6,-1 C.-6,1 D.6,-1 5.(23-24七年级下四川眉山期末)小明在解关于x,y的二元一次方程组 X+y三△时，解得X=4 2x-3y=5 y=⑧ 则△表示的数为，⑧表示的数为一· 6.(23-24七年级下河南南阳·月考)小亮解方程组 x+y=● 的解为 X=5 由于不小心，滴上了两 2x-y=11 y=★ 滴墨水，刚好遮住了两个数。和★，请你帮他找回这两个数，·= ★=( 7.(24-25七年级下.全国·课后作业)小颖求出方程组 2x-y=● 的解为 X=3 由于不小心滴上两滴墨 x+2y=5 y=▲ 水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数.你能帮助她确定这两个数吗？ 8.(23-24七年级下河北秦皇岛期中)小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组 2x+▣y=3 第 一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 X=2 是这个方程组 ▣X+y=3 y=1 的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四方程组的解满足某一附加条件 城方法 代入消元法或加减消元法，用参数表示出x、y,再根据题目条件列式计算参 数. 1.(25-26七年级下，重庆·月考)已知关于x、y的方程组 2X+3y=2a 的解满足x+y=3,则a的值为 2y+x=1 () A.-2 B.2 c.-1 D.1 2.(25-26七年级下.浙江金华月考)若二元一次方程组4xy=2k-6 x+6y=3k-4 的解满足方程x+y=2020,则 k为() A.2020 B.2022 C.2024 D.2026 3.若方程组 4x+3y=1 的解x和y互为相反数，则a=d ax+1-ay=3 4.(24-25八年级上重庆月考)若关于，y的二元一次方程组X+2y=1-60的解满足3x+y=-8, x-3y=4a+6 则a的值是 5.(2526七年级下河南周口月考)若关于X,y的二元一次方程组x+y=5k2的解也是二元一次方 x-y=k+4 程2x-y=1的解，则k的值为一· 6.(23-24八年级上湖南湘潭期中)已知关于x,y的二元一次方程组 2X+5y=2 的解满足 5x+2y=12 X-y=m-1,求m的值. 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2024春·萧山区期中)若方程组 2x-y=5 的解也是方程10x-y=7的解.求m的值. 3x+4y=2 8.(2024秋·城厢区校级期末)己知关于x,y的方程组 x+y-5k=0 X-y-9k=0 的解也是方程2x+3y=6的解，求 k的值. 题型五利用二元一次方程组解决看错解问题 妹方法 错解只满足看错系数的方程，正解满足全部方程；分别代入对应方程，联立求 解参数。 1.(2024秋·邹平市期末)在解关于x、y的方程组 ax+8y=7① 3x-by=4② 时甲看错①中的a,解得x=4,y= 2,乙看错②中的b,解得x=-3,y=-1,则a和b的正确值应是() A.a=-4.25,b=3 B.a=4,b=13 C.a=4,b=4 D.a=-5,b=4 2.(2024秋·高新区期末)甲、乙两位同学在解方程组 ax+3y=9 时，甲把字母α看错了得到方程组的 bx-4y=4 解为 X=4 乙把字母b看错了得到方程组的解为 X=3 y=1 y=2 则a+b= 3.(24-25七年级下.全国随堂练习)甲、乙两人同时解方程组 ax+y=3① ； 甲看错了b,求得的解为 2x-by=1② 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乙看错了a,求得的解为X二1 你能求出原题中正确的a,b吗？ y=3 4.(25-26七年级下全国周测)在解方程组ax+by=8①}时，小刚看错了C得到的解为X=3小华没 Cx+y=12② y=-5 看错任何系数，算出这个方程组的解为 x=5,求a+b+3c的平方根. y=-3/ 5.(25-26八年级上广东梅州月考)甲、乙两人共同解关于x,y的方程组 ax+5y=15① 甲看错了 4x-by=-2② 方程①中的a,得到方程组的解为X=-2 (y=6 乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为x=5 ,试求 y=2 a2025+-b2026的值. 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(23-24七年级下河南商丘期末)甲、乙两人解方程组 ax-4y=-6① 时，甲看错了方程①中的 5x=by+10② a,解得， X=3 y=1/ 乙看错了方程②中的b,解得 (1)求正确的a,b的值： (2)求原方程组的正确解， 7.(23-24七年级下.四川遂宁期中)已知方程组 mx+y=5① 由于甲看错了方程①中的m得到方程 2x-ny=13② 组的解为 X=3 X三 乙看错了方程②中的n得到方程组的解为 y=-7 2 y=-2 (1)求m,n的值： (2)按正确的解，求x2-xy+y的值. 题型六（培优)二元一次方程（组）正整数解问题 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 用参数表示x、y,根据整除性确定参数取值，再代入验证取舍。 1.(2024七年级下.浙江宁波·竞赛)已知m是整数，方程组 4x-3y=6 有正整数解，则m的值为 6x-my=26 () A.4 B.-4 C.±4 D.4或5 2.(25-26八年级上·全国-课后作业)关于x,y的方程组X+y=5 有正整数解，则正整数a为() y-x=1 A.1或2 B.2或5 C.1或5 D.1或2或5 3.(23-24七年级下河南周口·期末)关于x,y的方程组 x+y=9-k x-2y=0 有正整数解，则正整数k的个数 为() A.4 B.3 C.2 D.1 21 4.(25-26八年级上重庆期中)若关于x,y的方程组x一2 有正整数解，则符合条件的整数a的和 2x+ay=8 为() A.8 B.7 C.3 D.2 5.(2026七年级下江苏.专题练习)己知关于x,y的方程组. (1)请写出方程x+3y=10的所有正整数解. (2)若方程组的解满足2x-3y=2,求m的值. 6.(2024七年级下，全国专题练习)关于x,y的二元一次方程组ax+by=ci,b,c是常数)，b=a+1, 10/13 微专题02 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 题型一 知解直接代入解，求字母参数的问题 把题目给出的x、y 的解直接代入原方程组，得到关于参数的方程或方程组，再解方程求出参数. 1．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 2．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知是关于，的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入得出，再把变形，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将方程的解代入原方程得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知是方程的一组解，则______． 【答案】10 【分析】将方程的解代入原方程得到, 再对所求代数式变形, 整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于、的方程的一组解， 代入得：， ． 5．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键． 通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根． 【详解】 是关于，的二元一次方程的一个解， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， ， 的平方根为． 7．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点． （1）将代入得到关于a、b的二元一次方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）将a、b的代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于，的二元一次方程组， 得：， 解得：； ∴，； （2）解：由（1）得：，，， ∴， 解得，， ∴的值为． 题型二 二元一次方程（组）同解问题 先将两个方程组中不含参数的方程重新联立，求出公共解 x、y，再把公共解代入含参数的方程，求出参数. 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 2．（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 4．（2026七年级下·四川泸州·学业考试）已知关于的方程组和有相同的解，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查解方程组，根据两个方程组有相同的解，则公共解满足所有方程，因此先联立不含参数的二元一次方程，求出公共解，再代入含参数的方程得到关于的方程组，求解后计算即可． 【详解】解：关于的两个方程组有相同的解， 联立不含参数的方程得， 两式相加，得， 解得， 将，代入得， 将代入得， 解得，， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知关于的方程组和有相同的解， (1)求这两个方程组的解； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两个方程组中不含参数的方程求解即可得到答案； （2）将（1）中的解代入两个参数方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入得， 解得：， 则， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查解二元一次方程组及求一个数的平方根，解题的关键是根据同解列出新方程组解出解代入求出参数． 7．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 题型三 二元一次方程组的解遮挡问题 1. 设被遮挡的数为参数（如a、b）. 2. 把题目给出的正确解直接代入方程组. 3. 解关于遮挡参数的一元一次方程或方程组4. 求出被遮挡的数字，还原完整方程. 1．（23-24七年级下·四川自贡·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（    ） A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4 【答案】B 【分析】已知方程组解中x的值，先将x代入已知方程求出y，再将x，y代入第一个方程求出第一个被遮盖的数，即可得到结果. 【详解】解：将代入，得，解得， 则第二个被遮盖的数为1， 再将，代入，得， 则第一个被遮盖的数为5， 因此被遮盖的两个数分别为5，1． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【答案】A 【分析】先将x代入完整的方程求出y，得到■的值，再将x和y代入第一个方程求出○的值，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入，得， 解得：，即， 再将代入，得， ∴被遮挡的两个数分别是和． 3．（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 将已知解代入方程求出，再代入求即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，得：， 解得，即； 将，代入，得， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 6．（23-24七年级下·河南南阳·月考）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 【答案】 4 【分析】根据的解为得到，解关于和的二元一次方程组即可． 【详解】解：∵的解为， ∴， 解得：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 8．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 题型四 方程组的解满足某一附加条件 代入消元法或加减消元法，用参数表示出 x、y，再根据题目条件列式计算参数. 1．（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 2．（25-26七年级下·浙江金华·月考）若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 3．若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到与的关系，代入第一个方程求出和的值，再将，代入第二个方程求解的值． 【详解】解：∵方程组的解和互为相反数， ∴，即， 将代入得： ， 解得， 则， 把，代入得： ， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为得． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是______． 【答案】2 【分析】利用方程方程，可得出，再结合方程组的解满足，即可求出a的值． 【详解】解：， 得：， 又关于x，y的二元一次方程组的解满足，， 解得：， 的值是2． 5．（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出的值． 【详解】解：由题意得， 解得， 根据题意得，把代入方程中， 得 解得． 6．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 【详解】解：， ，， ③， 把③代入中，得， 解得：． 7．（2024春•萧山区期中）若方程组的解也是方程10x﹣my＝7的解．求m的值． 【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程计算即可求出m的值． 【详解】解：， ①×4+②得：11x＝22，即x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣1， 把x＝2，y＝﹣1代入方程10x﹣my＝7中，得：20+m＝7， 解得：m＝﹣13． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 8．（2024秋•城厢区校级期末）已知关于x，y的方程组的解也是方程2x+3y＝6的解，求k的值． 【分析】把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值． 【详解】解：， ①+②得：x＝7k， ①﹣②得：y＝﹣2k， 将x＝7k，y＝﹣2k代入2x+3y＝6中，得：14k﹣6k＝6， 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 题型五 利用二元一次方程组解决看错解问题 错解只满足看错系数的方程，正解满足全部方程；分别代入对应方程，联立求解参数. 1．（2024秋•邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【答案】D． 【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可． 【详解】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，结合已知条件，将方程的解代入正确的方程是解题的关键． 2．（2024秋•高新区期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　 ． 【答案】3． 【分析】根据题意把代入方程bx﹣4y＝4中求出b的值，把代入方程ax+3y＝9中求出a的值，然后计算a+b即可． 【详解】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4， 解得b＝2， 把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9， 解得a＝1， ∴a+b＝1+2＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 4．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④ ③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 5．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 6．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 7．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的m得到方程组的解为，乙看错了方程②中的n得到方程组的解为． (1)求m，n的值； (2)按正确的解，求的值． 【答案】(1)的值为2，n的值为1 (2) 【分析】（1）将甲得出的解代入方程②，可求出n的值，将乙得出的解代入方程①可得出m的值； （2）将m，n的值代入原方程组，解之可求出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：将甲得出的解代入方程②得：， 解得：； 将乙得出的解代入方程①得：， 解得： 的值为2，n的值为1； （2）解：将代入原方程组得：， 解得：， 题型六（培优） 二元一次方程（组）正整数解问题 用参数表示 x、y，根据整除性确定参数取值，再代入验证取舍。 1．（2024七年级下·浙江宁波·竞赛）已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 3．（23-24七年级下·河南周口·期末）关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的整数解，首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是3的正倍数即可求解． 【详解】解：， 由②得：，代入①得：， 则， ∵原方程组有正整数解， ∴则或或， 解得：或或， 为正整数， 则或， 则正整数的个数为2， 故选：C． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）关于，的二元一次方程组，，是常数），，． (1)当时，求c的值； (2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解． （2）先表示方程的解，再确定． 【详解】（1）解：代入方程得：， ，， ，， ． ； （2）证明：由题意，得， 整理得，①， 、均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 把代入①得，， ， 此时，，，，方程的正整数解是． 仅当时，该方程有正整数解． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． 7．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解． （1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可； （2）写成方程组求出x、y的值，再代入方程求出m的值即可； （3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有同一个解，可得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或或； （2）解：， ∵， ∴， 将③代入①得， 将代入③得， 将代入②得，； （3）解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的同一个解为． 题型七（培优） 方程组无解、有唯一解、无数解问题 对于方程组的根，有如下情况： （1）当时，方程组有一个解； （2）当时，两个方程是一个方程，方程组有无数个解； （3）当时，方程组无解． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】因为方程组有唯一解， 所以，得． 故选：D． 2．已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（　　） A．a=-3，b=-14 B．a=3，b=-7 C．a=-1，b=9 D．a=-3，b=14 【答案】A 【详解】分析：根据二元一次方程组有无数多个解的条件得出，由此求出a、b的值. 详解：∵方程组有无数多个解， ∴ ， ∴a=-3，b=-14． 故选A. 点睛：本题考查了对二元一次方程组的应用，注意：方程组中，当时，方程组有无数解. 3．若关于和的方程组无解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出与得关系式，解题的关键是掌握二元一次方程组，当时方程组无解． 【详解】∵关于和的方程组无解， ∴， ∴， 故选：． 4．若方程组无解，则a的值为________ 【答案】-6 【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可． 【详解】解∶， ①×3+②，得， ∵方程组无解， ∴a+6=0， ∴a=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目． 5．若方程组 有无数解，则k﹣m的值是_____． 【答案】4 【分析】根据方程组有无数组解应满足的条件，把第一个方程乘2后与第二个方程应为同一形式，即可得k、m的值，再代入k-m求解即可． 【详解】解：原方程组可转化为， ∵方程组有无数组解， ∴2k=4，m=−2，即k=2，m=−2. 则k-m=2-（-2）=4. 故答案为4 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的运算法则. 6．已知方程组，试确定a、c的值，使方程组： (1)有一个解； (2)有无数解； (3)没有解． 【答案】(1)，c为任意实数 (2)， (3)， 【分析】对于方程组的根，有如下情况： （1）当时，方程组有一个解； （2）当时，两个方程是一个方程，方程组有无数个解； （3）当时，方程组无解． 【详解】（1）要使方程组有唯一解， 则有：， 即，且c为任意实数，方程有唯一解； （2）要使方程组有无数个解， 则有：时，此时有、， 即、，此方程组有无数个解； （3）要使方程组无解， 则有：时，此时有、， 即、，此方程组无解． 【点睛】此题考查二元一次方程组解的个数问题．熟练掌握二元一次方程组根的个数与各方程中未知数系数的关系是解答本题的关键． 7．当m，n为何值时，方程组 （1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】先把①变形得到，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可． 【详解】解：解方程组 由①变形得到代入②得到， ∴， （1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解 将此y的值代入中， 得：x＝，因而原方程组有唯一一组解； （2）当＝0且＝0时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解； （3）当＝0且≠0时，即时，方程无解，因此原方程组无解． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $