精品解析：河北省唐县第一中学2026届高三下学期二模数学试题

数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】复数． 故选：B． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 2. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合 ， 那么，所以. 3. 已知直线 为双曲线的一条渐近线，则 （ ） A. B. 645 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线性质求解即可. 【详解】因为直线 ，即为双曲线的一条渐近线， 所以，解得 . 4. 已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据为、的等差中项得出，结合可求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】一方面，若，由可得， 此时， 则为、的等差中项， 所以“”“为、的等差中项”； 另一方面，若为、的等差中项，所以， 所以，解得， 故“”“为、的等差中项”. 所以“”是“为、的等差中项”的充要条件. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， ， 在区间上恒成立， ， ， 设， ， ，， ，在上单调递增， 当 时，， 则在内，有， 故，故的取值范围为. 6. 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是 的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面， ，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接 ，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7. 如图，在中，若 点满足 且 与 交于点 O，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解. 【详解】设，则得，即， 再设，则，即， ，解得， 所以. 8. 已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当 时，，当时，， 即，则， 在上有解，即 大于在上的下确界， 因此实数 的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象与函数的图象只有2个交点 C. 函数在区间上有6个零点 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，结合图像和最小正周期公式求解；选项B，求出的表达式，在同一直角坐标系中画出和的图像，结合图像得解；选项C，求出在区间上的零点个数即可得解；选项D，利用平移知识求解即可得到结论. 【详解】选项A，，，，，， 故选项A正确； 选项B，过点，且该点是单调递增范围内的点， ，， ，，， 作出与函数的图象，如图所示， 当时，又，则，即， 通过图像可知函数和的图像只有2个交点，故选项B正确； 选项C，，， ，， ，，， ，， 由5个值， 故函数在区间上有5个零点，故选项C错误； 选项D，的图象向右平移个单位长度得到 ，此函数的表达式与相同，故选项D正确. 10. 已知平均数和方差分别是和，设一组数据 的平均数和方差分别是和，另一组数据的平均数和方差分别是和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数据的平均数和方差的公式及性质计算即可. 【详解】已知原数据，平均数，总和； 方差，由方差公式，得. 由方差变形公式，代入得， 整理得，A正确； 新数据共 个数，总和，平均数. 方差，B错误； 由方差性质，数据的方差，已知， 代入得，解得，C正确； 的平均数，时. 已知，得， 即，D错误. 11. 定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：计算出及即可得；对B：法一：计算出到，即可得；法二：由为奇数，则为偶数，即可得；对C由为偶数，结合定义即可得；对D：由题意可得，则、，从而可得，结合累加法计算即可得解. 【详解】对A：，，则，故A正确； 对B：法一：、 、、、 、 、、 、、， 则，故B错误； 法二：由题意可得为奇数，则为 个奇数之和，为偶数， 故，故B错误； 对C：，其中的唯一的奇因数为，则，故C正确； 对D：由中为偶数，唯一的奇因数为，则， 故，， 故 ， 即有，则， ， ，， 则 ， 故，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则 ______ 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 已知的展开式中有一项是，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据组合数计算多项式展开式的项可得. 【详解】因为的展开式中有一项是，所以； 再将看成 个相乘，展开式中每一项都是 个括号中各取一个相乘得到的， 所以展开式中项的计算如下： 个括号中有个括号取，个括号取，个括号取得到， 所以， 所以，且，故. 14. 已知抛物线的焦点为F，其准线l与坐标轴交于点K．P为E上一点，的平分线与y轴交于点M，则点M纵坐标的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求得焦点 及点 的坐标，设点，根据角平分线定理及基本不等式可得的取值范围，从而求得的取值范围，得到点M纵坐标的最大值. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以. 当点 在原点时，易知. 当点 不在原点时，设，则. . 由角平分线定理，得. 设，则. ， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，所以， 所以. 即，即， 解得. 所以点M纵坐标的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正六边形的边长为，中心为 ，现从该正六边形的所有顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为 的值. （1）求; （2）求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） ​ ​ 【解析】 【分析】由向量的数量积大于零可得的位置为相邻，再由古典概率模型计算可得； （2）向量与的夹角的可能值为，进而可得随机变量的取值及概率，从而可得分布列及期望. 【小问1详解】 因为正六边形边长为，故顶点到中心的距离， 从 个顶点任取个不同顶点，总共有种等可能情况， 因为（为与的夹角）. 因为，所以等价于，即， 因为为不同的两个点，所以，即为相邻的两个点，共有 对，如图. 所以. 【小问2详解】 因为，所以的所有可能取值为： 当（为对顶点），，共种情况，； 当（相隔一个顶点），，共 种情况， ​； 当​（为相邻顶点），，共 种情况，. 分布列为： ​ ​ 数学期望为 . 16. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，，，平面 平面 ，平面 平面 ，，，. （1）证明： 平面 ； （2）证明： ； （3）若 ，点 在平面 内的射影为 ，求二面角 的正弦值. 【答案】（1）因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ，，所以 ， 因为 平面 ，平面 平面 ，平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ， 、 平面 ，所以 平面 . （2）因为 平面 ， ， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、 、 ，设 ，则 ， 所以 ， ，则 ，故 . （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出 平面 ， 平面 ，可得出 ， ，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，证明出 ，即可证得结论成立； （3）求出平面 的一个法向量的坐标，可设，求出的坐标，根据 求出的值，可得出点 的坐标，再利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知 ，则 ，易知， ， 设平面 的一个法向量为， ， ， 则，取 ，可得 ， 易知，设 ，则， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以 ，解得或 （舍）， 故点 ， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得 ， 易知平面 的一个法向量为 ，则， 故， 故二面角 的正弦值为. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）求的值; （2）证明: . 【答案】（1） （2）由（1）可知： ， 所以 ，因为 ， 所以， ， 由 ，设 ， ， 设 ， 则 ，令 ， 因为 ，所以解得， 当时，函数 ，所以函数 在 上单调递增， 当 时，函数 ，所以函数 在 上单调递减， 因为 ，所以函数 在 时，值域为 ， 即当 时， ， 于是当时， . 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可. 【小问1详解】 ， 因为 ，所以 ， 所以由 ，或 ， 由， 由 ，显然不成立， 所以； 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2）当时，有一个零点；当时，有两个零点 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，令，可得，利用导数可得函数的单调性，再分及讨论单调性，利用函数单调性与零点存在性定理判断即可得. 【小问1详解】 当时，， 则， ，又， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 ，故为函数的零点， ， 令，则， 令，， 则当时， ，当时， ， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得 ， 当时， ，当时， ； 当时，单调递增， 又 时， ，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 若，则，又，在上单调递增， 则 ，则，此时只有一个零点； 若，则 ，则 ，则， 又时， ，故存在，使得， 即此时有及两个零点； 当时，单调递减， 又 时，，时， ， 则存在，使得，即， 由 ，，在上单调递增，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，又 时，，当时，， 故在上不存在零点，即此时只有一个零点； 综上所述：当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，的周长为面积的最大值为 （1）求椭圆 的方程. （2）已知点，直线 与椭圆 交于两点，点为 的垂心. （i）若 为等边三角形，求点的坐标； （ii）若直线 过点，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三者的关系求解椭圆方程； （2）先设出直线的方程，联立椭圆方程，再结合等边三角形的性质，建立方程求解直线参数，进而求解即可；利用垂直的斜率关系得到坐标的表达式，将坐标用直线参数表示后，结合函数求最值. 【小问1详解】 由题可知，的周长为，即， 且最大面积为，解得， 又，所以，化简得 . 即椭圆方程为. 【小问2详解】 （i） 为等边三角形，由对称性可知轴， 设，，由得， 又 在椭圆上，​，代入得，解得​（舍去）. 等边三角形垂心与重心重合，重心坐标为，因此. （ii）设，直线，代入椭圆得， 韦达定理得，. 是垂心，故，方程为， 方程为，方程为， 两式相减整理得， 则 ，  为到的距离， 令，则，代入得， 由基本不等式​，等号成立当（满足 ）， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线 为双曲线的一条渐近线，则（ ） A. B. 645 C. D. 5 4. 已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，若 点满足 且 与 交于点 O，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象与函数的图象只有2个交点 C. 函数在区间上有6个零点 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 10. 已知平均数和方差分别是和，设一组数据 的平均数和方差分别是和，另一组数据的平均数和方差分别是和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若且，则 11. 定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则 ______ 13. 已知的展开式中有一项是，则 ___________ 14. 已知抛物线的焦点为F，其准线l与坐标轴交于点K．P为E上一点，的平分线与y轴交于点M，则点M纵坐标的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正六边形的边长为 ，中心为，现从该正六边形的所有顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为 的值. （1）求; （2）求的分布列与数学期望. 16. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，，，平面 平面 ，平面 平面 ，，，. （1）证明： 平面 ； （2）证明： ； （3）若 ，点在平面 内的射影为 ，求二面角 的正弦值. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）求的值; （2）证明: . 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数. 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，的周长为面积的最大值为 （1）求椭圆的方程. （2）已知点，直线与椭圆交于两点，点为 的垂心. （i）若 为等边三角形，求点的坐标； （ii）若直线过点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $