专题13 圆锥曲线的定义、离心率与焦点弦模型问题（6大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题13 圆锥曲线的定义、离心率与焦点弦模型问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 椭圆的定义与应用 题型02 双曲线的定义与应用 题型03 抛物线的定义与应用 题型04 离心率求解的几何与代数方法 题型05 焦点三角形及其性质 题型06 焦点弦及其性质 模块三、综合实战演练 一、离心率问题的求解策略： 一、核心原理 离心率是圆锥曲线的核心特征量（椭圆、双曲线、抛物线），核心公式为椭圆、双曲线（实半轴、虚/短半轴、半焦距，满足）。解题本质是利用圆锥曲线定义、几何性质或代数条件，建立的齐次等式/不等式，消元转化为的方程/不等式求解。 二、通用解题思路 1. 定曲线类型，记核心公式：明确椭圆/双曲线，熟记的定义式、变形公式及的关系，为消元做准备； 1. 建关系，抓条件转化：根据题干条件（定义类、几何性质类、代数类）建立齐次式 · 定义类：利用圆锥曲线定义（椭圆、双曲线）结合焦点三角形、距离公式列等式； · 几何类：利用对称轴、焦点、准线、渐近线（双曲线）的位置/数量关系，或垂直、共线等几何条件转化； · 代数类：将直线与曲线联立的韦达定理、点在曲线上等条件，代入化简得齐次等式/不等式； 1. 消元求，验证范围：将齐次式中用代换，两边同除转化为仅含的方程/不等式，求解后验证的取值范围（椭圆、双曲线）。 二、焦点三角形问题的求解策略 一、核心原理 焦点三角形是圆锥曲线（椭圆/双曲线）两焦点与曲线上任一点构成的三角形，核心依托圆锥曲线定义（椭圆、双曲线）、三角定理（余弦/正弦定理）、面积公式，结合关系，实现边、角、面积、离心率的互推，本质是定义定边长关系，三角定理建等式，联求解量。 2、 通用解题思路 1.定曲线标基量：明确椭圆/双曲线，记焦点距，由定义得曲线上点到两焦点的边长和/差为，设边为简化表述； 2.据条件选定理： （1）知角求边/面积/离心率：用余弦定理结合定义建等式，椭圆/双曲线直接用焦点三角形专属面积公式（椭圆、双曲线，为顶角）； （2）边角综合/求离心率：用正弦定理边角互化，快速推导离心率表达式； 3.化简联量求解：结合曲线关系（椭圆、双曲线）消元，求解边、角、面积或离心率，验证量的取值范围。 三、焦点弦问题的求解策略 一、核心原理 焦点弦是过圆锥曲线焦点的弦，解题依托圆锥曲线定义、坐标代数运算、韦达定理、焦半径公式，结合曲线基本量关系，推导焦点弦的长度、中点、斜率、比例及与曲线的关联性质，本质是定义+代数运算定弦的量化关系，结合几何特征简化推导。 一、通用解题思路 1.定曲线标焦点，设弦的表达式：明确椭圆/双曲线/抛物线及焦点坐标，设焦点弦过焦点，依条件设弦所在直线方程（斜率式/参数式，抛物线优先用开口方向设式，避免斜率不存在漏解）； 2.联方程用定理，求核心量：将直线与曲线联立，用韦达定理得弦端点坐标的和/积，结合焦半径公式（椭圆/双曲线，抛物线）快速表焦点弦长，或用定义转化焦半径为到准线距离； 3.推弦的性质，解所求问题：据核心量推导焦点弦的长度公式、中点轨迹、弦径关系，或结合垂直、比例等条件求斜率、参数、曲线基本量（如）。 二、核心技巧与注意事项 1.弦长公式速用：椭圆/双曲线焦点弦长，抛物线（为弦所在直线与焦点轴夹角），直接代角求长； 2.设线避漏解：过焦点直线优先设参数式（椭圆/双曲线）/（抛物线），避免斜率不存在时的漏解； 3.焦半径代换：用焦半径公式替代两点间距离公式，简化弦长计算，椭圆/双曲线注意焦半径公式的“”与点的位置匹配； 4.抛物线特性质：抛物线焦点弦中点到准线距离为弦长的一半，端点纵坐标之积为、横坐标之积为，可直接用结论速解。 题型01 椭圆的定义与应用 1．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 3．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 5．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为___________． 核心：椭圆定义（到两焦点距离和为，），将焦半径和/距离转化为，简化计算。 1. 直接用定义：求动点轨迹、焦半径和、焦点弦长，直接套； 2. 定义转化：遇到“到焦点的距离”，转化为“到另一焦点的距离与的差”，或结合准线（第二定义）转化为到准线的距离（，为离心率）； 3. 关键：焦点三角形中，优先用定义得两边和为，再结合余弦定理求角/边长。 题型02 双曲线的定义与应用 1．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 2．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.当取最小值为4时，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 5．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为________． 核心：双曲线定义（到两焦点距离差的绝对值为，），注意绝对值和双曲线哪一支的判定。 1. 直接用定义：求轨迹、焦半径差，套，无绝对值时需结合条件判定动点在左/右支； 2. 定义转化：焦半径可表示为（第二定义），或结合转化为另一焦半径； 3. 关键：焦点三角形中，用定义得两边差为，结合正弦/余弦定理，注意双曲线中角的范围（小于180°）。 题型03 抛物线的定义与应用 1．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4．若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 5．已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________． 核心：抛物线定义（到焦点的距离=到准线的距离，即焦半径=点到准线距离），核心是“化斜为直”，将焦半径转化为水平/竖直距离。 1. 焦半径速算：设抛物线，点，则焦半径（直接用横坐标+准线横坐标差），无需距离公式； 2. 焦点弦转化：焦点弦两端点到准线的距离和=焦点弦长，结合准线快速求弦长/中点坐标； 3. 关键：遇到“抛物线焦点距离”，优先作准线的垂线，用定义转化，避免根式计算。 题型04 离心率求解的几何与代数方法 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线（，）的右焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于点，线段与交于点，且为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 核心：离心率（椭圆，双曲线，抛物线），几何法找a/c的比例关系，代数法列a/b/c方程消元求e。 几何法（优先，适用于有几何特征如角、垂直、中点） 1. 利用圆锥曲线定义、焦点三角形边角关系（正弦/余弦定理）、中位线、垂直等，直接找与的倍数关系（如，则）； 2. 关键：椭圆中，双曲线中，几何特征优先关联。 代数法（兜底，适用于有方程/坐标条件） 1. 设点坐标/联立曲线与直线方程，结合条件（如垂直→向量数量积为0、中点→点差法）列含的方程； 2. 消去（用表示），得到关于的方程（如），求解即可； 3. 关键：点差法适用于中点弦问题，快速得关系，再转化为。 题型05 焦点三角形及其性质 1．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 2．已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 3．已知椭圆 ，分别为的左，右焦点，动点 为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．的最小值为8 D．动点满足 4．已知双曲线的左､右焦点为､，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C与双曲线有不相等的离心率 B．若，则的周长为 C．若则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 5．已知双曲线的一条渐近线为，，是双曲线的左、右焦点，过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，点，均在轴上方，设与的内切圆半径分别为，，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 核心：以圆锥曲线两焦点和曲线上一点为顶点的三角形，优先用定义得边的关系，再结合正/余弦定理、面积公式求解。 椭圆焦点三角形（在椭圆上，为焦点） 1. 边：，； 2. 角：设，则（最大时在短轴端点）； 3. 面积：（直接套公式，无需正弦定理）。 双曲线焦点三角形（在双曲线上） 1. 边：，； 2. 面积：（）； 3. 关键：判定所在支，确定焦半径的大小关系。 题型06 焦点弦及其性质 1．过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 2．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．如图，F是抛物线的焦点，M是抛物线C上的一点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，直线AO（O为C的顶点）交C的准线l于点P，求证：； (3)在（2）的前提下，求的最小值． 4．设为抛物线的焦点，的三个顶点均在抛物线上，且直角顶点在第一象限内，直线过点且倾斜角为锐角，直线分别交轴于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)求的取值范围． 5．在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 椭圆/双曲线焦点弦 1. 弦长公式：（椭圆用+，双曲线结合支判定），或联立方程用韦达定理； 2. 性质：焦点弦中点横坐标与弦长相关，离心率越大，焦点弦长越短（椭圆）/越长（双曲线）。 抛物线焦点弦（核心，考频最高） 设抛物线，焦点弦，，，核心性质直接套： 1. 弦长：（定义转化，最快捷），若斜率为，则（为弦与x轴夹角）； 2. 坐标关系：，（定值，直接用，无需联立）； 3. 中点：焦点弦中点到准线的距离=（定义）； 4. 垂直：以焦点弦为直径的圆与准线相切。 1．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 2．已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．7 D． 4．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 5．设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 7．若椭圆的左、右焦点分别是，，P是E上的动点，则（   ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C． D． 8．已知抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．存在直线使得 C． D． 9．设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P在C的左支上，，，则（   ） A． B． C．C的离心率为5 D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______. 11．已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 12．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 14．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 15．如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点．    (1)若弦的长度为，求的面积； (2)求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆锥曲线的定义、离心率与焦点弦模型问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 椭圆的定义与应用 题型02 双曲线的定义与应用 题型03 抛物线的定义与应用 题型04 离心率求解的几何与代数方法 题型05 焦点三角形及其性质 题型06 焦点弦及其性质 模块三、综合实战演练 一、离心率问题的求解策略： 一、核心原理 离心率是圆锥曲线的核心特征量（椭圆、双曲线、抛物线），核心公式为椭圆、双曲线（实半轴、虚/短半轴、半焦距，满足）。解题本质是利用圆锥曲线定义、几何性质或代数条件，建立的齐次等式/不等式，消元转化为的方程/不等式求解。 二、通用解题思路 1. 定曲线类型，记核心公式：明确椭圆/双曲线，熟记的定义式、变形公式及的关系，为消元做准备； 1. 建关系，抓条件转化：根据题干条件（定义类、几何性质类、代数类）建立齐次式 · 定义类：利用圆锥曲线定义（椭圆、双曲线）结合焦点三角形、距离公式列等式； · 几何类：利用对称轴、焦点、准线、渐近线（双曲线）的位置/数量关系，或垂直、共线等几何条件转化； · 代数类：将直线与曲线联立的韦达定理、点在曲线上等条件，代入化简得齐次等式/不等式； 1. 消元求，验证范围：将齐次式中用代换，两边同除转化为仅含的方程/不等式，求解后验证的取值范围（椭圆、双曲线）。 二、焦点三角形问题的求解策略 一、核心原理 焦点三角形是圆锥曲线（椭圆/双曲线）两焦点与曲线上任一点构成的三角形，核心依托圆锥曲线定义（椭圆、双曲线）、三角定理（余弦/正弦定理）、面积公式，结合关系，实现边、角、面积、离心率的互推，本质是定义定边长关系，三角定理建等式，联求解量。 2、 通用解题思路 1.定曲线标基量：明确椭圆/双曲线，记焦点距，由定义得曲线上点到两焦点的边长和/差为，设边为简化表述； 2.据条件选定理： （1）知角求边/面积/离心率：用余弦定理结合定义建等式，椭圆/双曲线直接用焦点三角形专属面积公式（椭圆、双曲线，为顶角）； （2）边角综合/求离心率：用正弦定理边角互化，快速推导离心率表达式； 3.化简联量求解：结合曲线关系（椭圆、双曲线）消元，求解边、角、面积或离心率，验证量的取值范围。 三、焦点弦问题的求解策略 一、核心原理 焦点弦是过圆锥曲线焦点的弦，解题依托圆锥曲线定义、坐标代数运算、韦达定理、焦半径公式，结合曲线基本量关系，推导焦点弦的长度、中点、斜率、比例及与曲线的关联性质，本质是定义+代数运算定弦的量化关系，结合几何特征简化推导。 一、通用解题思路 1.定曲线标焦点，设弦的表达式：明确椭圆/双曲线/抛物线及焦点坐标，设焦点弦过焦点，依条件设弦所在直线方程（斜率式/参数式，抛物线优先用开口方向设式，避免斜率不存在漏解）； 2.联方程用定理，求核心量：将直线与曲线联立，用韦达定理得弦端点坐标的和/积，结合焦半径公式（椭圆/双曲线，抛物线）快速表焦点弦长，或用定义转化焦半径为到准线距离； 3.推弦的性质，解所求问题：据核心量推导焦点弦的长度公式、中点轨迹、弦径关系，或结合垂直、比例等条件求斜率、参数、曲线基本量（如）。 二、核心技巧与注意事项 1.弦长公式速用：椭圆/双曲线焦点弦长，抛物线（为弦所在直线与焦点轴夹角），直接代角求长； 2.设线避漏解：过焦点直线优先设参数式（椭圆/双曲线）/（抛物线），避免斜率不存在时的漏解； 3.焦半径代换：用焦半径公式替代两点间距离公式，简化弦长计算，椭圆/双曲线注意焦半径公式的“”与点的位置匹配； 4.抛物线特性质：抛物线焦点弦中点到准线距离为弦长的一半，端点纵坐标之积为、横坐标之积为，可直接用结论速解。 题型01 椭圆的定义与应用 1．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可. 【详解】由题意知，，且， 则， 由椭圆的定义可知，， 则的周长为， 因为，等号成立时三点共线， 所以周长的最大值为，得，则，得， 故C的焦距为. 3．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 5．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为___________． 【答案】/ 【分析】首先画出图形，利用数形结合转化为点也在另一个椭圆上，通过联立方程，即可求解. 【详解】如图，正方形是曲线表示的图形，，，，， 椭圆的焦点分别为，，， 所以，所以点也在以点，为焦点的椭圆上，椭圆方程为， 联立，解得：，则 所以点到轴的距离为. 故答案为： 核心：椭圆定义（到两焦点距离和为，），将焦半径和/距离转化为，简化计算。 1. 直接用定义：求动点轨迹、焦半径和、焦点弦长，直接套； 2. 定义转化：遇到“到焦点的距离”，转化为“到另一焦点的距离与的差”，或结合准线（第二定义）转化为到准线的距离（，为离心率）； 3. 关键：焦点三角形中，优先用定义得两边和为，再结合余弦定理求角/边长。 题型02 双曲线的定义与应用 1．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 2．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【详解】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.当取最小值为4时，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线定义结合点到直线距离得出，再化简根据二次函数最值求解. 【详解】，又的最小值为点到的渐近线的距离，即，故. 当取最小值时，为直角三角形，且， 所以点纵坐标绝对值为，所以面积为， 由二次函数性质，当时，取最大值2， 所以面积的最大值为2. 故选：B. 4．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 5．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意求出直线与的交点B为圆心在，半径为2的圆，由双曲线的定义可得，当，，三点共线时，最小，过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小. 【详解】联立直线，的方程，故 若，则， 若，则，且，故， 可得交点的轨迹为圆心在，半径为2的圆（除去点）， 由双曲线的方程可得，，焦点，右焦点， 可得，所以， 当点在线段上时，最小，即最小， 所以， 当过与圆心的直线与圆的交点在和圆心之间时最小． 所以最小值为． 故答案为：. 核心：双曲线定义（到两焦点距离差的绝对值为，），注意绝对值和双曲线哪一支的判定。 1. 直接用定义：求轨迹、焦半径差，套，无绝对值时需结合条件判定动点在左/右支； 2. 定义转化：焦半径可表示为（第二定义），或结合转化为另一焦半径； 3. 关键：焦点三角形中，用定义得两边差为，结合正弦/余弦定理，注意双曲线中角的范围（小于180°）。 题型03 抛物线的定义与应用 1．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 2．设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 3．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，求出与抛物线的交点，再利用点到直线距离求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 4．若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 5．已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________． 【答案】 【分析】向量的方向与的内角平分线相同，利用角平分线定理将表示为的函数，再求该比值在抛物线上的最大值，代入即得的最大值. 【详解】如图．设，则有， 则，． 因为，为单位向量，向量的方向与的内角平分线相同， 由于在轴上，故为内角平分线与轴的交点， 由角平分线定理，可得，其中，， 因为在线段上，则有， 设， 当且仅当时，等号成立．因为， 所以，则随单调递增，所以当取最大值时，也取最大值， 故的最大值为． 核心：抛物线定义（到焦点的距离=到准线的距离，即焦半径=点到准线距离），核心是“化斜为直”，将焦半径转化为水平/竖直距离。 1. 焦半径速算：设抛物线，点，则焦半径（直接用横坐标+准线横坐标差），无需距离公式； 2. 焦点弦转化：焦点弦两端点到准线的距离和=焦点弦长，结合准线快速求弦长/中点坐标； 3. 关键：遇到“抛物线焦点距离”，优先作准线的垂线，用定义转化，避免根式计算。 题型04 离心率求解的几何与代数方法 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点的横坐标，再结合双曲线渐近线方程求出点的纵坐标，已知​​，在中，用、、表示，即可得到，进而求解离心率 【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足，左右焦点为，离心率 由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得 ​是直角三角形，直角在上，记​，已知​​，则​， 又 所以 ， 因此 3．已知双曲线（，）的右焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于点，线段与交于点，且为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式代入双曲线方程，得到的二次齐次式来求离心率. 【详解】 设双曲线右焦点，其中，离心率， 则过点斜率为的直线方程为， 直线交轴于，令得，故， 因为是中点，由中点坐标公式得点， 由点在双曲线上，代入得： ， 整理得：， 令，则，，故， 代入得： ， 设， 整理得一元二次方程：，解得：或（舍去）, 即, 因此双曲线离心率为. 4．已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 【答案】 【分析】利用双曲线的对称性，得到焦点三角形的形状，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，不妨设点在第一象限，双曲线的左焦点为， 由，由对称性得，得， 所以，即得为等边三角形， 连接，由，所以，从而， 在中，，，从而， 所以，从而. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【分析】先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 因为，所以， 所以，即. 因为，，所以 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得. 因为，所以， 即，解得，所以. 所以. 核心：离心率（椭圆，双曲线，抛物线），几何法找a/c的比例关系，代数法列a/b/c方程消元求e。 几何法（优先，适用于有几何特征如角、垂直、中点） 1. 利用圆锥曲线定义、焦点三角形边角关系（正弦/余弦定理）、中位线、垂直等，直接找与的倍数关系（如，则）； 2. 关键：椭圆中，双曲线中，几何特征优先关联。 代数法（兜底，适用于有方程/坐标条件） 1. 设点坐标/联立曲线与直线方程，结合条件（如垂直→向量数量积为0、中点→点差法）列含的方程； 2. 消去（用表示），得到关于的方程（如），求解即可； 3. 关键：点差法适用于中点弦问题，快速得关系，再转化为。 题型05 焦点三角形及其性质 1．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 2．已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得到椭圆的的值，即可求得AB选项，C选项中的周长应为，结合椭圆的定义即可求解，D选项使用基本不等式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，， 对于A，焦距，故A错误； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，，， 则的周长为，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 3．已知椭圆 ，分别为的左，右焦点，动点 为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．的最小值为8 D．动点满足 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据椭圆的定义和性质求出的周长；对于选项B，根据椭圆的性质求出面积的最大值；对于选项C，根据向量的坐标运算求出的最小值；对于选项D，求出，再根据两点间距离公式求出，进而判断与是否相等. 【详解】对于选项A，椭圆，，， 解得，，， 为上一点，，， ， 的周长为，故选项A错误；    对于选项B，，，， 的最大值为，的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，，， ， ， 点在椭圆上，， ，. ，当时，取得最小值8，故选项C正确. 对于选项D，， ， ， ，， 又， ，， ， ，此等式成立， 动点满足，故选项D正确. 故答案为：BCD. 4．已知双曲线的左､右焦点为､，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C与双曲线有不相等的离心率 B．若，则的周长为 C．若则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【分析】直接求解离心率判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】对于A：双曲线，离心率为； 双曲线的离心率为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，，故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确. 5．已知双曲线的一条渐近线为，，是双曲线的左、右焦点，过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，点，均在轴上方，设与的内切圆半径分别为，，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据渐近线方程得，从而可判断A；如图，设为的内心，的内切圆与三边切于点，，，根据双曲线定义和切线性质可得，，设，，进一步求，判断BC；利用双曲线的定义以及内切圆的性质可得，，即可判断D. 【详解】由题，，可得，A正确； 如图，设为的内心，的内切圆与三边切于点，，， ， 又因，联立解得，， 设，， ，即， 由，则得，故，B正确； ，， 直线的斜率为，C错误； 设为的内心，与三边切于点，，， ， 又，两式相加可得， ，， 则， 将代入上式，可得， 因为过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点， 故，因,则可得，故，D正确． 核心：以圆锥曲线两焦点和曲线上一点为顶点的三角形，优先用定义得边的关系，再结合正/余弦定理、面积公式求解。 椭圆焦点三角形（在椭圆上，为焦点） 1. 边：，； 2. 角：设，则（最大时在短轴端点）； 3. 面积：（直接套公式，无需正弦定理）。 双曲线焦点三角形（在双曲线上） 1. 边：，； 2. 面积：（）； 3. 关键：判定所在支，确定焦半径的大小关系。 题型06 焦点弦及其性质 1．过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】联立直线的方程与抛物线方程，得到坐标满足的关系式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意知，设直线的方程为，与联立， 得，， 设，，则，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 2．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】由抛物线，焦点坐标为， 由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为0， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为， 设， 因为弦过抛物线焦点，所以设直线的方程为， 联立方程：，消去得：， 则， 且，故， 将中的换为，得， 所以可得， 当且仅当时，“”成立， 则的最小值为16. 3．如图，F是抛物线的焦点，M是抛物线C上的一点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，直线AO（O为C的顶点）交C的准线l于点P，求证：； (3)在（2）的前提下，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：利用确定坐标，代入抛物线方程求出，得到抛物线方程； 法二：同法一，通过几何条件确定坐标，代入方程求解； （2）法一：设：，联立得，求与准线交点，结合得，进而证明出结论； 法二：同法一，利用证明与纵坐标相同，进而证明出结论； （3）法一：表示出坐标，利用向量的数量积求出，再利用均值不等式求出最小值； 法二：设，换元，得，利用导数求出最小值. 【详解】（1）法一：因为，所以， 所以，所以，所以抛物线C的方程为． 法二：因为，且，所以， 所以，所以， 所以抛物线C的方程为． （2） 法一： 抛物线C的焦点为，准线， 设直线AB方程为，联立，得， 设，所以， 又，所以直线AO的方程为，代入准线，得， 因为，所以，所以，所以． 法二： 抛物线的焦点为，准线，顶点， 设，因为直线AB过点， 所以，即，即，因为，所以． 又直线AO的方程为，代入准线，得， 因为，所以， 所以直线BP的方程为，与准线垂直，即． （3）法一：令，则，则， 所以， 因为O、P、A在一条直线上，所以与同向共线， 所以（当且仅当即时取等号）， 所以的最小值为． 法二：设，则，所以， 因为O、P、A在一条直线上，所以与同向共线， 所以， 令，则， 令，得，当时，单调递减，当时，单调递增， 则，即的最小值为. 4．设为抛物线的焦点，的三个顶点均在抛物线上，且直角顶点在第一象限内，直线过点且倾斜角为锐角，直线分别交轴于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）方法1：设，且，求得直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得，利用弦长公式求解即可；方法2：利用焦点弦公式求解即可； （2）方法1：先推导焦半径，进而结合题意可得，可得，利用基本不等式可求解；方法2：求得，可得，进而求得直线的直线方程，解得的坐标，进而可证明结论； （3）设，直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组求得点，求得直线的方程，进而求得的坐标，进而可求得的取值范围． 【详解】（1）方法1：由抛物线，焦点为，设，且 又，则直线的方程为， 将直线的方程代入抛物线得：， 则， 则． 方法2：直线的倾斜角，则由焦点弦性质， 计算可得． （2）方法1：如图，利用平面几何性质及抛物线的定义可推导焦半径的公式，过程如下： ， 则由焦半径公式得 在中， 当且仅当，即，即时，等号成立． 方法2：的斜率存在，则， 所以， 则直线的方程为， 令，则，解得， 所以 令，所以 当且仅当时，取到等号，则成立． （3）设，直线的方程为，则直线的方程为， 将直线的方程代入抛物线得：， 则，即，则 将直线的方程代入抛物线得：， 则，又由（2）得，故， 由直线的斜率，则直线的方程可设为， 令解得，， 则，由得，则． 5．在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. 椭圆/双曲线焦点弦 1. 弦长公式：（椭圆用+，双曲线结合支判定），或联立方程用韦达定理； 2. 性质：焦点弦中点横坐标与弦长相关，离心率越大，焦点弦长越短（椭圆）/越长（双曲线）。 抛物线焦点弦（核心，考频最高） 设抛物线，焦点弦，，，核心性质直接套： 1. 弦长：（定义转化，最快捷），若斜率为，则（为弦与x轴夹角）； 2. 坐标关系：，（定值，直接用，无需联立）； 3. 中点：焦点弦中点到准线的距离=（定义）； 4. 垂直：以焦点弦为直径的圆与准线相切。 1．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 2．已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令椭圆的半焦距为， 由的周长为48，得，即， 由椭圆的短轴长为24，得，则， 因此，解得，所以椭圆的离心率为. 3．若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程确定其焦点和准线方程，再利用抛物线的定义将进行转化，最后结合几何图形的性质求出的最小值. 【详解】由抛物线，得，则， 所以抛物线的焦点，准线方程为. 设点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即. 因为点到准线的距离就是，所以， 那么， 根据几何性质，当，，三点共线时，的值最小，即， 已知，，得： ， 所以的最小值为. 4．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 5．设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义将转化为，进而转化为到直线的距离减去6，再用点到直线的距离公式解得. 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 6．已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，不妨设，，则，于是， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 又，所以， 在中，，，， 设内切圆的半径为，则，即， 解得. 7．若椭圆的左、右焦点分别是，，P是E上的动点，则（   ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得到.由椭圆的定义即可得到的周长，判断A选项；设，由椭圆上的点坐标的范围即可求得面积的最大值，判断B选项；由的关系，消元化简，由的范围求得的范围，判断C选项；写出，坐标，然后得到，由椭圆中的范围得到结果，判断D选项. 【详解】由题意知，，. 由椭圆的定义，得，所以的周长为，故A正确； 设，则的面积，故B错误； 因为，所以，又， 所以，故C正确； ，，， 又，，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．已知抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．存在直线使得 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项 A ，先联立直线与抛物线，由判别式确定参数范围，再利用斜率表示夹角正切值，判断角的取值范围； 选项 B ，假设等角成立，由等角对等边转化为线段长度相等，结合抛物线定义与距离公式推出矛盾，判断不存在； 选项 C ，由斜率得直线参数，联立用韦达定理，通过向量点积与模长计算夹角余弦值，确定角度大小； 选项 D ，利用抛物线焦半径公式将长度关系转化为坐标关系，结合韦达定理求解，得出直线斜率. 【详解】先让直线的斜率存在且不为，设直线，设 联立，可得， 由 ，且 所以韦达定理：， 对于A，由于直线斜率的范围为，倾斜角的范围为， 结合图形可得的取值范围为，故A正确； 对于B，在中，若，则 ， 由抛物线定义，， 由于， 令，得 ，解得， 当时直线与轴重合，与抛物线仅有一个交点，不构成三角形， 所以不存在直线使得，故B错误； 对于C，若， ​ 由于​,​ 所以， 因 ，故，故C正确； 对于D，由抛物线定义，， 由得 ，化简得：， 由，则，解得（负根舍去）， 则， 由， 又， 故​​，故D正确. 9．设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P在C的左支上，，，则（   ） A． B． C．C的离心率为5 D． 【答案】AC 【分析】利用双曲线的定义可求得的值判断A；利用勾股定理求得，可求离心率判断BC；作，垂足为H，进而计算可求得的值判断D. 【详解】由双曲线的定义，得， 结合得，，所以，故A正确； 因为，所以， 在中，由勾股定理得， 设双曲线的半焦距为c，则，， C的离心率，，故B错误，C正确； 作，垂足为H， 因为，所以，所以， 则，， 所以，故D错误． 故选：AC. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______. 【答案】 【详解】由题意得，所以， 所以， 所以. 11．已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】计算判断点为椭圆的上焦点，作下焦点为，利用椭圆的定义将待求式化成，结合图形可得当且仅当三点共线且点在之间时取得最大值. 【详解】如图，由可得其半焦距为，即点为椭圆的上焦点，取下焦点为， 因为，所以点在椭圆内， 连接，则，则， 由图知，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立， 故， 即的最大值为. 故答案为：. 12．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 【答案】6 【分析】设直线AB的方程为，，，并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出AB中点M的坐标，再进一步求出直线EM的方程，据此得到E点的坐标，进而得到，同时根据梯形中位线及抛物线性质求出，最后比较两者可得、之间的比例关系，结合题干所给条件分别求出、的具体值即可． 【详解】如图所示， 设过F的直线AB的方程为，      联立直线与抛物线方程，可得，整理得， 设，，由韦达定理， 所以AB的中点M满足，， 即，又垂直平分线EM的斜率为， 所以EM的方程为， 展开整理，则EM与y轴的交点满足， 即，所以， 根据梯形中位线可得， 所以，解得，所以， 所以． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及所给条件，可表示出和的长度，根据旁切圆的切线长性质，可建立与、、的关系，又因为，所以可将用和表示，进而得到离心率与的函数关系，最后结合的取值范围，根据函数的单调性可求出离心率的取值范围. 【详解】 解法一：设，因为，所以， 由圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，所以，， 因为，且，所以， 又因为， 所以，即，所以椭圆的离心率 因为函数在上，所以 即椭圆离心率的取值范围是. 解法二：切线长定理、向量条件 由椭圆定义求焦半径 根据椭圆定义，结合，解得， 应用切线长定理设圆与延长线切于，与延长线切于，与切于. 根据切线长定理：，， 设，. 从点出发的切线长 从点出发的切线长 由，得： 又在线段上，故. 联立方程， 解得 由，可知. 代入和得 整理得. 因此，离心率为 已知，则. 代入，得 解法三：旁切圆性质公式 确定旁切圆切点位置 圆是的一个旁切圆，与边相切. 对于三角形的旁切圆，其与一边的切点到对应顶点的距离公式为 代入，，得 结合向量条件，由得. 联立，整理得 因此离心率为， 已知，则， 代入，即椭圆的离心率取值范围是. 14．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点A的坐标，由已知可得，求得，可求直线l的斜率； （2）由（1）可得直线l的方程为：，与抛物线联立方程组，设点B的坐标，可得，由焦点弦长公式可求. 【详解】（1）设点A的坐标， 因为点A到抛物线准线的距离是， 所以，所以，代入抛物线方程得： 所以点，又因为点， 所以直线l的斜率. （2）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为： 由得：， 可知恒成立， 设点B的坐标，则， ，所以. 15．如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点．    (1)若弦的长度为，求的面积； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据条件得抛物线的方程为，设出直线方程，联立直线与抛物方程得，结合条件，利用弦长公式，即可求解； （2）设，根据条件，利用抛物线的性质及弦长公式，求得，，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）因为焦点坐标为，所以，所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，， 由，得，则， 所以，解得， 则的面积为. （2）因为在抛物线上，可以设，根据第（1）问可知两点的纵坐标之积为定值为， 所以，由（1）知，其中当时，， 可得， 当时，，满足，所以， 设直线的方程为，，， 由，得，所以， 又，所以，代入，得到，所以， 又过点，设直线的方程为， 由，得，则， 所以，代入，得，则， 所以， 易知直线斜率存在，且，所以． 所以， 所以有， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $