专题03 二次函数与线段、角度问题（9大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题03 二次函数与线段、角度问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 线段长度与点到直线距离最值问题 题型02 将军饮马问题在抛物线中的应用 题型03 胡不归、阿氏圆模型在抛物线中的应用 题型04 角度问题（等角、二倍角、特殊角）的代数化处理 模块三、综合实战演练 一、二次函数为背景的线段最值问题的求解优先策略： 一、第一优先：几何特征法（无参数，直接定最值） 适用于定点到二次函数图象上点的距离、平行/垂直型线段最值，依托几何公理直接找最值点，无需复杂计算。 1. 点到抛物线上点的距离最值：过定点作二次函数对称轴的垂线，垂线与抛物线的交点即为距离最值点（开口单方向，仅有最小值/最大值）； 2. 垂线段最短：定点到二次函数图象上点的垂线段距离≤斜线段距离，垂直于抛物线切线/对称轴时取等； 3. 平行线段最值：平行于坐标轴的线段，直接结合二次函数顶点/端点的横/纵坐标求长度最值。 关键：先画二次函数对称轴，利用图象对称性找几何特征点。 二、第二优先：模型转化法（折线和/差，转化为直线） 适用于折线型线段和/差最值（如、），核心用将军饮马模型，结合二次函数对称轴作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最值。 1. 和最小：两定点在二次函数对称轴同侧→作其中一定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一顶点，连线与抛物线的交点为最值点，连线长度为最小值；异侧则直接连线，交点即为最值点； 2. 差最大：两定点在对称轴异侧→作对称点，连线延长线与抛物线交点为最值点；同侧则直接连线延长，交点为最值点，两点间距离为差的最大值； 关键：二次函数唯一对称轴为，对称点坐标直接由对称轴性质求（如点关于的对称点为）。 三、第三优先：参数设点法（单参建模，求函数值域） 适用于无法几何转化的复杂线段最值（如含系数的线段和、斜向线段最值），设二次函数上动点坐标，将线段长度表示为单参数二次函数，配方法求最值，为代数兜底法。 1. 设点技巧：二次函数，动点设为（单参数），或顶点式设为，减少变量； 2. 建模求解：用两点间距离公式表示线段长度，平方消根号（长度最值与平方最值等价），整理为关于的二次函数； 3. 求最值：结合二次函数开口方向+自变量取值范围，配方法求顶点/端点值（无范围则顶点取最值，有范围则看区间与对称轴位置）； 关键：平方消根号简化计算，自变量范围需结合题意限定（如线段存在性、点的位置）。 四、第四优先：切线法（距离最值，相切取等） 适用于定点到二次函数图象的最短/最长距离，核心：定点到抛物线的距离最值，等价于过定点作抛物线的切线，定点到切点的距离。 1. 步骤：设过定点的切线方程，联立二次函数方程，令判别式，求切线斜率； 2. 求切点：将代入切线方程，联立抛物线求切点坐标，计算定点到切点的距离即为最值； 关键：斜率不存在时单独讨论（竖直切线），避免漏解。 题型01 线段长度与点到直线距离最值问题 1．如图，抛物线经过，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标； (3)若点为线段上一动点，过作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由点坐标可得，设点的纵坐标为，可得，求出的值进而即可求解； （）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，再利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得， 当时，， 解得，； 当时，，方程无解，该种情况不存在； ∴点的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为，把，代入得， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵点为线段上一动点， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为． 2．已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； ②且 【分析】（1）和代入抛物线，即可求出c的值，a、b的关系式； （2）①可得，由点M的横坐标为m，轴，得，，得，当 时，，得； ②，分两种情况：当时，和当时，分和分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点和， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∵轴，N 在上， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 P 从 O 到， ∴， 当 时，则， 则（）， ∵二次函数开口向下，顶点在， ∴当时，；    ②， 当时， 此时函数开口向下，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 当时，则，，即在时增大而增大， 则 随 m 增大而增大恒成立； 当时， 此时函数开口向上，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，解得：， ∴； 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 综上，且． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．又是抛物线上的一动点，故，且，故， ，根据题意，得，根据二次函数的性质解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 又是抛物线上的一动点， 故，且， 故， 故， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的长度最大，且最大值为， ， 此时． 4．已知二次函数的图像经过点，，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式； (3)若，当时，y的最小值是， ①当时，求y的最大值，并写出取得最大值时点的坐标； ②在①中y取最大值时的点为C，设过点A，C的直线为，垂直于x轴的直线分别交直线和抛物线于点M，N，求线段MN的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①，此时点 ②36 【分析】（1）二次函数图像上，纵坐标相等的两点、关于对称轴对称，先求对称轴，再结合对称轴公式求解； （2）利用二次函数最值公式列出方程，解出得值即可； （3）①当时，y的最小值是，可得，写出二次函数解析式，开口向上的抛物线，离对称轴更远，最大值在处取得，把代入二次函数解析式即得点的坐标； ②把代入二次函数解析式，求出点的坐标，通过点和点坐标求出直线 的解析式，直线与直线、抛物线的交点为点，，利用两点纵坐标的差得到线段的长度为，求二次函数 在内的最大值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴对称轴为直线， ， ． （2）∵二次函数最小值为， ∴， 由（1）可知：， 化简得， 解得：． ∵二次函数有最小值， ∴， ∴， ∴， ∴函数表达式为． （3）①若，时，，且由（1）可知：， 即时，， ， ∴， 当时，时，取最大值，， 此时点． ②把代入， ， 设直线表达式为， 将，代入， 解得：， ∴． ∴，， 令， 得，， ∴当时，， ∴点在点上方， ， ∴当时，取最大值36． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 核心：定义优先化斜为直，结合“圆心/定点到直线距离±半径”的几何逻辑，将最值转化为定点到定直线的距离计算。 1. 焦半径/焦点弦长：直接用定义，设上点，焦半径，焦点弦长，规避根式； 2. 动点到定点距离最值：设动点坐标（抛物线参数式：），用距离公式表示为单参数函数，配方法/导数求最值； 3. 动点到定直线距离最值：① 定义转化（含焦点时，焦半径转准线距离）；② 设动点参数式，用点到直线距离公式表为单参数函数，结合二次函数/三角函数有界性求最值； 4. 线段和差最值：找定点关于抛物线对称轴的对称点，或利用定义将折线转化为直线，“垂线段最短”求最小值。 关键：优先用抛物线参数式设点，减少变量个数，距离公式化简为单参数二次函数，易求最值。 题型02 将军饮马问题在抛物线中的应用 1．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，最小周长为 【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）联立直线与抛物线的解析式即可求解； （3）由点A、点B是定点，则长度固定，只需满足最小即可，找点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，即为所要找的点Q，求出坐标即可，且最小周长为． 【详解】（1）解：把、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∵对称轴与x轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立直线与抛物线的解析式得 解得，， ∴D点的坐标为． （3）解：存在点Q，使得的周长最小． 如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，连接，则取得最小值，即的周长最小值为， 设， ∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为． 2．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点A、C坐标代入即可得解； （2）连接与对称轴的交点即为P，连接，，再根据直线的解析式与对称轴求解P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点A、C坐标代入得， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 如图，连接与对称轴的交点即为P，连接，， 此时的周长最小，点P即为所求， 当时， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为 当时， ∴． 3．如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 在中，当时，， ∴． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一点（点不与点重合），过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求点的坐标； (3)若点的横坐标为2，点是轴上的一个动点，连接，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)的最小值为，此时点G的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）求出点B，C的坐标，可求出直线的解析式，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，可得，再由，可得，即可求解； （3）作点B关于y轴的对称点F，连接交y轴于点G，则点G即为所求，此时，点，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，轴， ∴点P的坐标为，点E的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由（1）得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点为直线上方抛物线上一点， ∴， 当时， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点B关于y轴的对称点F，连接交y轴于点G，则点G即为所求，此时，点， ∵点的横坐标为2， ∴点， ∴， 即的最小值为； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， 综上所述，的最小值为，此时点G的坐标为． 5．如图，二次函数交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）设二次函数的解析式为，化为一般式，对照条件中的解析式可求出，从而得解； （2）当三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可； 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式为， 化为一般式得， ∵， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴当三点共线时，的长度最小， 此时点坐标为直线与抛物线对称轴交点， 令，代入得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得， 解得：， ∴的解析式为， 由题意可得，抛物线的对称轴为直线， 将代入得， ∴点的坐标为． 核心：利用抛物线对称性+两点之间线段最短，将折线距离和转化为直线距离，求最小值（无最大值，因抛物线无限延伸）。 1. 核心模型：抛物线对称轴为定直线，求“动点在抛物线上，到两定点距离和最小值”； 2. 解题步骤：① 判定定点与抛物线的位置（同侧/异侧）；② 若两定点在对称轴同侧，作其中一个定点关于对称轴的对称点；异侧则直接连线；③ 连接对称点与另一定点，连线与抛物线的交点即为最值点，连线长度即为最小值； 3. 拓展：含焦点/准线时，结合抛物线定义先转化焦半径（如转到准线距离），再用将军饮马模型求折线和最值。 关键：抛物线的对称轴为唯一对称线，对称点坐标直接由对称轴性质求（如对称轴为轴，点对称点为）。 题型03 胡不归、阿氏圆模型在抛物线中的应用 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为 (2)点坐标为，最小值为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点的坐标为时，的最小值． 3．如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，， (2) (3)存在一点D使得取得最大值，此时 【分析】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标. （2）根据是的中点求出点坐标，进而求出点坐标，利用直线求出点坐标即可求解. （3）由直线和抛物线可知，当为，时，点坐标为点坐标为，即可求出，，从而得到关于的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，解得，， 点坐标为，点坐标为 令，解得， 点的坐标为 （2）点是的中点， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得： 设直线的解析式为，当时，， 点的坐标为， 在抛物线中，当时，， 点的坐标为， （3）解：存在一点D使得取得最大值，此时 ， 点坐标为点坐标为， 由， ， ， 当时，有最大值为． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该拋物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质、几何图形中的角度与线段关系、最短路径问题的转化思想，核心是函数与几何的综合应用，需要灵活运用待定系数法、三角函数、坐标运算及几何模型(如将军饮马)解决复杂问题． ()利用抛物线与轴交于点，代入抛物线方程，求出的值，从而确定抛物线的解析式； ()通过，利用正切值相等建立方程，结合点在第二象限的条件，求出点的坐标； ()通过构造等腰直角三角形将转化为点到某条直线的距离，再利用“垂线段最短”原理，求出的最小值； 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线表达式， 得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）过点作轴的垂线，交轴于点. 设：点的坐标为， 当时，， 解得：，， 即：，， ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， 即：，， 解得：或， ∵点D在第二象限内， ∴，舍去， 当时，， ∴点的坐标为； （3）过点作，交于点； 当三点共线时，的值最小， 由（）可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， 则， ， ∴， 的最小值． 5．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解； （3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点Q作轴于点D，如图： 当时，，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4，此时； 核心：先按模型特征转化距离式，再结合抛物线参数式设点，将最值转化为单参数函数求解，抛物线中无现成阿氏圆，需先定圆再联立。 胡不归模型（求最小值，，为到定直线距离） 1. 步骤：① 识别特征：定点，动点在抛物线，为到定直线的距离，系数；② 结合抛物线定义转化焦半径（若含焦点），再将保留为点到直线距离；③ 设参数式，将目标式表为单参数函数，或利用“三角函数化系数”（构造角使），将折线和转化为垂线段最短； 2. 关键：抛物线中优先用参数式设点，将目标式转化为代数函数，避免几何构造的复杂。 阿氏圆模型（求最小值，，为定点，轨迹为圆） 1. 步骤：① 识别特征：定点，动点满足（定比），轨迹为阿氏圆；② 先求阿氏圆的方程（由定比得圆的圆心和半径）；③ 联立阿氏圆与抛物线方程，求交点（即最值点），计算目标式最小值； 1. 关键：抛物线与阿氏圆的交点需验证存在性（），无交点则取圆上最近点。 题型04 角度问题（等角、二倍角、特殊角）的代数化处理 1．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 2．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 4．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 5．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而减小，即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的值最大，为 即当时，二次函数的最大值为； （3）解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时，在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时，延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点， 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线的解析式为：和． 核心：将等角、二倍角、特殊角的几何条件，转化为斜率关系/向量数量积/三角函数恒等变换，用坐标代数运算替代几何推导，求解参数或证明结论。 1. 等角问题：① 斜率法：等角即“直线倾斜角相等/互补”，斜率（同向）或（反向）；② 向量法：等角的方向向量数量积与模长比相等（）； 2. 二倍角问题：① 斜率结合正切二倍角公式：设角的斜率为，则二倍角的斜率，结合坐标列方程；② 向量法：利用，将角度关系转化为向量数量积的等式； 3. 特殊角问题（30°、45°、60°、90°）：① 90°（垂直）：斜率乘积=-1或向量数量积=0（最常用）；② 45°/60°：斜率为，或利用（两直线夹角公式）列方程； 4. 解题步骤：① 设相关点坐标（抛物线参数式优先）；② 表示出角度对应的直线斜率/向量；③ 代入角度公式（斜率关系、数量积、三角恒等变换）列代数方程；④ 联立抛物线方程，化简求解参数，验证结果。 关键：两直线夹角公式是核心（），直接将角度条件转化为斜率等式，无需几何作图。 1．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键． （1）运用待定系数法直接解答即可； （2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 经过点、两点， ， 解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①    过点作轴于点，则． ∵， ∴是等腰直角三角形，． 设，则，． 当在轴上方时，，即， 解得或（与点重合，舍去）． 此时， ∴． 当在轴下方时，，即， 解得或（舍去）． 此时， ∴． ②作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； 2．如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【详解】（1）解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； （3）点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 3．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 4．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 5．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1)点D的坐标为或 (2)的最大值为 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式，设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； （2）根据（1）中关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴的最大值为． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）求出A点的坐标为，B点的坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， ∵，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 将A、B两点的坐标代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）对于， 令，则，故点， 设直线的表达式为： 由点A、C的坐标得， 解得 直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m，则点，则点， 则， ∵，， 故有最大值，最大时， ∴点； 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由，得出顶点的坐标为，然后求出直线的解析式为，从而求得点的坐标为； （）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，又，当与重合时，即点三点共线时，有最小值，然后通过两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：把，两点代入抛物线解析式得： 解得 ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入可得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴当与重合时，即点三点共线时，有最小，为． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）设直线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设，则，可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设，则， ∴ ∵，， ∴当时，线段的值最大，最大值为． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于，，三点，是其顶点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线对应的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线对应的函数解析式为． （2）由，得：抛物线的对称轴为直线 把代入，得， 解得或． 点的坐标为，点的坐标为， 如图，连接，交对称轴于点，则此时最小， 设直线对应的函数解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴， 把代入，得：． 点的坐标为 ． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值； (3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②当时，；当时， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，中点的定义，两直线平行的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，再由，求出直线的解析式为，得到，，由题意可知P点是的中点，则，求出符合条件的m的值即可； （3）①根据点C、E（的坐标，直接可求；②分别求出，再由，得到，解得或，再由m的范围结合①即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴可设直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为，， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴点为线段的中点， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限时， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴ ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在同一平面直角坐标中画出函数和，如图， 当时，解得或，， 借助图象可得的解集为或， ∴当时，；当时，． 11．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标； （3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值． 【答案】（1）y=（x）2，（，）；（2）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3） 【分析】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标； （2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可； （3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可． 答案详解：（1）由题意，解得 ， ∴抛物线解析式为yx2x， ∵yx2x（x）2， ∴顶点坐标（，）； （2）设点M的坐标为（，y）． ∵A（﹣1，0），B（0，）， ∴AB2＝1+3＝4． ①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB， 则（1）2+y2＝4，解得y＝±， 即此时点M的坐标为（，）或（，）； ②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB， 则（）2+（y）2＝4，解得y或y， 即此时点M的坐标为（，）或（，）； ③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM， 则（1）2+y2＝（）2+（y）2，解得y， 即此时点M的坐标为（，）． 综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）； （3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小． 理由：∵OA＝1，OB， ∴tan∠ABO， ∴∠ABO＝30°， ∴PHPB， ∴PB+PD＝PH+PD＝DH， ∴此时PB+PD最短（垂线段最短）． 在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD，∠HAD＝60°， ∴sin60°， ∴DH， ∴PB+PD的最小值为． 13．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值． 【答案】(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3. 【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； (3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可． 【详解】解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵，∴点的坐标为， 代入抛物线的解析式得，，∴， ∴抛物线的解析式为，即． 令，解得，，∴， ∴， ∵的面积为5，∴，∴， 代入抛物线解析式得，，解得，，∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． (2)过点作轴交于，如图，设，则， ∴， ∴，， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． (3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点， ∵，， ∴，，∴， ∵， ∴，∴， ∵、关于轴对称，∴， ∴，此时最小， ∵，， ∴， ∴． ∴的最小值是3． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角函数、线段和最值（胡不归模型）、轴对称最短路径（将军饮马）、抛物线平移变换及角度相等的存在性问题；解题的关键是：①利用三角函数及交点坐标求解析式；②将线段和的最值问题转化为垂线段或轴对称问题；③通过构造等腰三角形处理角度相等条件． （1）由)和可得，结合，利用交点式求抛物线解析式； （2）先证明为等腰直角三角形，得，从而，转化为求最大值；利用直线与抛物线解析式设点坐标，表示长度，通过二次函数性质求最值；在取得最值的条件下，利用轴对称（将军饮马模型）求的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式；由，可构造平行线和等腰三角形，分点在轴上方或下方两种情况讨论，通过几何关系建立方程求解点横坐标． 【详解】（1）由，令得， ，，故， 又在轴负半轴，则 抛物线过， 设，代入： ，解得， 故抛物线解析式为 （2）由，得直线 设， ∵ ∴ 则 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵轴，即 ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 设，为二次函数，开口向下 当时，取最大值，此时， 此时在轴上，，点在上方 要求最小值，为定值，即求最小值 设，则 将点向下平移1单位得，则 故，， 作关于轴的对称点，则 故的最小值为． （3）原抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得： 设， 由得， 解得， 则 由（1）得 ①当在轴上方， ∵ ∴ ∵直线与轴交点为点，直线与轴交点为点 ∴可以将直线看作直线向左平移个单位 即向左平移个单位， 则 联立 解得，（舍） ②过中点，作垂线于，与延长线交于 由得，中点即 设点， ， ， 由勾股定理得： ，故点， 设， 解得，即 联立： ，整理得 或（舍） 则点的横坐标为． 综上所述，的横坐标为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与线段、角度问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 线段长度与点到直线距离最值问题 题型02 将军饮马问题在抛物线中的应用 题型03 胡不归、阿氏圆模型在抛物线中的应用 题型04 角度问题（等角、二倍角、特殊角）的代数化处理 模块三、综合实战演练 一、二次函数为背景的线段最值问题的求解优先策略： 一、第一优先：几何特征法（无参数，直接定最值） 适用于定点到二次函数图象上点的距离、平行/垂直型线段最值，依托几何公理直接找最值点，无需复杂计算。 1. 点到抛物线上点的距离最值：过定点作二次函数对称轴的垂线，垂线与抛物线的交点即为距离最值点（开口单方向，仅有最小值/最大值）； 2. 垂线段最短：定点到二次函数图象上点的垂线段距离≤斜线段距离，垂直于抛物线切线/对称轴时取等； 3. 平行线段最值：平行于坐标轴的线段，直接结合二次函数顶点/端点的横/纵坐标求长度最值。 关键：先画二次函数对称轴，利用图象对称性找几何特征点。 二、第二优先：模型转化法（折线和/差，转化为直线） 适用于折线型线段和/差最值（如、），核心用将军饮马模型，结合二次函数对称轴作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最值。 1. 和最小：两定点在二次函数对称轴同侧→作其中一定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一顶点，连线与抛物线的交点为最值点，连线长度为最小值；异侧则直接连线，交点即为最值点； 2. 差最大：两定点在对称轴异侧→作对称点，连线延长线与抛物线交点为最值点；同侧则直接连线延长，交点为最值点，两点间距离为差的最大值； 关键：二次函数唯一对称轴为，对称点坐标直接由对称轴性质求（如点关于的对称点为）。 三、第三优先：参数设点法（单参建模，求函数值域） 适用于无法几何转化的复杂线段最值（如含系数的线段和、斜向线段最值），设二次函数上动点坐标，将线段长度表示为单参数二次函数，配方法求最值，为代数兜底法。 1. 设点技巧：二次函数，动点设为（单参数），或顶点式设为，减少变量； 2. 建模求解：用两点间距离公式表示线段长度，平方消根号（长度最值与平方最值等价），整理为关于的二次函数； 3. 求最值：结合二次函数开口方向+自变量取值范围，配方法求顶点/端点值（无范围则顶点取最值，有范围则看区间与对称轴位置）； 关键：平方消根号简化计算，自变量范围需结合题意限定（如线段存在性、点的位置）。 四、第四优先：切线法（距离最值，相切取等） 适用于定点到二次函数图象的最短/最长距离，核心：定点到抛物线的距离最值，等价于过定点作抛物线的切线，定点到切点的距离。 1. 步骤：设过定点的切线方程，联立二次函数方程，令判别式，求切线斜率； 2. 求切点：将代入切线方程，联立抛物线求切点坐标，计算定点到切点的距离即为最值； 关键：斜率不存在时单独讨论（竖直切线），避免漏解。 题型01 线段长度与点到直线距离最值问题 1．如图，抛物线经过，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标； (3)若点为线段上一动点，过作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值． 2．已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 4．已知二次函数的图像经过点，，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式； (3)若，当时，y的最小值是， ①当时，求y的最大值，并写出取得最大值时点的坐标； ②在①中y取最大值时的点为C，设过点A，C的直线为，垂直于x轴的直线分别交直线和抛物线于点M，N，求线段MN的最大值． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 核心：定义优先化斜为直，结合“圆心/定点到直线距离±半径”的几何逻辑，将最值转化为定点到定直线的距离计算。 1. 焦半径/焦点弦长：直接用定义，设上点，焦半径，焦点弦长，规避根式； 2. 动点到定点距离最值：设动点坐标（抛物线参数式：），用距离公式表示为单参数函数，配方法/导数求最值； 3. 动点到定直线距离最值：① 定义转化（含焦点时，焦半径转准线距离）；② 设动点参数式，用点到直线距离公式表为单参数函数，结合二次函数/三角函数有界性求最值； 4. 线段和差最值：找定点关于抛物线对称轴的对称点，或利用定义将折线转化为直线，“垂线段最短”求最小值。 关键：优先用抛物线参数式设点，减少变量个数，距离公式化简为单参数二次函数，易求最值。 题型02 将军饮马问题在抛物线中的应用 1．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 3．如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一点（点不与点重合），过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求点的坐标； (3)若点的横坐标为2，点是轴上的一个动点，连接，求的最小值及此时点的坐标． 5．如图，二次函数交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点的坐标． 核心：利用抛物线对称性+两点之间线段最短，将折线距离和转化为直线距离，求最小值（无最大值，因抛物线无限延伸）。 1. 核心模型：抛物线对称轴为定直线，求“动点在抛物线上，到两定点距离和最小值”； 2. 解题步骤：① 判定定点与抛物线的位置（同侧/异侧）；② 若两定点在对称轴同侧，作其中一个定点关于对称轴的对称点；异侧则直接连线；③ 连接对称点与另一定点，连线与抛物线的交点即为最值点，连线长度即为最小值； 3. 拓展：含焦点/准线时，结合抛物线定义先转化焦半径（如转到准线距离），再用将军饮马模型求折线和最值。 关键：抛物线的对称轴为唯一对称线，对称点坐标直接由对称轴性质求（如对称轴为轴，点对称点为）。 题型03 胡不归、阿氏圆模型在抛物线中的应用 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 3．如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该拋物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值． 5．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； 核心：先按模型特征转化距离式，再结合抛物线参数式设点，将最值转化为单参数函数求解，抛物线中无现成阿氏圆，需先定圆再联立。 胡不归模型（求最小值，，为到定直线距离） 1. 步骤：① 识别特征：定点，动点在抛物线，为到定直线的距离，系数；② 结合抛物线定义转化焦半径（若含焦点），再将保留为点到直线距离；③ 设参数式，将目标式表为单参数函数，或利用“三角函数化系数”（构造角使），将折线和转化为垂线段最短； 2. 关键：抛物线中优先用参数式设点，将目标式转化为代数函数，避免几何构造的复杂。 阿氏圆模型（求最小值，，为定点，轨迹为圆） 1. 步骤：① 识别特征：定点，动点满足（定比），轨迹为阿氏圆；② 先求阿氏圆的方程（由定比得圆的圆心和半径）；③ 联立阿氏圆与抛物线方程，求交点（即最值点），计算目标式最小值； 1. 关键：抛物线与阿氏圆的交点需验证存在性（），无交点则取圆上最近点。 题型04 角度问题（等角、二倍角、特殊角）的代数化处理 1．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 2．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 4．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 5．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 核心：将等角、二倍角、特殊角的几何条件，转化为斜率关系/向量数量积/三角函数恒等变换，用坐标代数运算替代几何推导，求解参数或证明结论。 1. 等角问题：① 斜率法：等角即“直线倾斜角相等/互补”，斜率（同向）或（反向）；② 向量法：等角的方向向量数量积与模长比相等（）； 2. 二倍角问题：① 斜率结合正切二倍角公式：设角的斜率为，则二倍角的斜率，结合坐标列方程；② 向量法：利用，将角度关系转化为向量数量积的等式； 3. 特殊角问题（30°、45°、60°、90°）：① 90°（垂直）：斜率乘积=-1或向量数量积=0（最常用）；② 45°/60°：斜率为，或利用（两直线夹角公式）列方程； 4. 解题步骤：① 设相关点坐标（抛物线参数式优先）；② 表示出角度对应的直线斜率/向量；③ 代入角度公式（斜率关系、数量积、三角恒等变换）列代数方程；④ 联立抛物线方程，化简求解参数，验证结果。 关键：两直线夹角公式是核心（），直接将角度条件转化为斜率等式，无需几何作图。 1．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 2．如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 3．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于，，三点，是其顶点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值； (3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 11．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标； （3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值． 13．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $