数学终极押题猜想（济南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 尺规作图（选择题） 2 押题猜想二 二次函数的性质（多结论） 13 押题猜想三 一次函数的实际应用（填空题） 31 押题猜想四 几何图形的折叠（填空题） 36 押题猜想五 平行四边形的证明（解答题） 50 押题猜想六 三角函数应用（解答题） 53 押题猜想七 圆（解答题） 60 押题猜想八 统计与概率（解答题） 68 押题猜想九 二元一次方程组的应用（解答题） 74 押题猜想十 反比例函数与一次函数的综合（解答题） 79 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 91 押题猜想十二 几何图形的综合探究（解答题） 106 押题猜想一 尺规作图（选择题） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段CD的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于 ，平分， 在中，， ， 即 ∴ ∴ ∴ 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，尺规作图多以选择题形式考查，属于基础送分题型，核心围绕五种基本作图（作角平分线、线段垂直平分线、作等角、作垂线、作三角形）展开，常以“根据作图痕迹判断结论正误”的形式命题，侧重考查作图原理与几何直观，不涉及复杂计算，对学生基础作图知识的掌握程度要求较高，备考需熟练掌握各类作图的步骤与依据。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山东济南·一模）如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ∴， ， 由步骤①可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， 由步骤②可知，平分，即， 如图，在上截取，连接、， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， ， 解得， ． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线．过点作于点，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题干的作图步骤，可知是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又与是对顶角， 故， 在中，， ∴． 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 4．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：假设，则， 由作图可知， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定成立，故选项A不符合题意； 假设，则，根据题意不一定成立，故选项B不符合题意； ∵在中，， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴，故选项C一定正确，符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵长度可变， ∴的度数会变化， ∴不成立，故选项D不符合题意． 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（   ） A．32 B． C．56 D．64 【答案】D 【详解】解：连接，设与相交于点O，如图所示： 由题意得：是角平分线，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴的面积为． 6．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在平行四边形中，．按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点O，交边于点F，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点D作交延长线于点G， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 解得． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 8．（2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：平分， ∴， ∴的长， 作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据题意可得平分， ∴， ∴． 10．（2026·山东济南·一模）如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：根据尺规作图操作可得，平分，垂直平分线段， ∴点到边的距离相等， ∴， ∴． 11．（2026·天津河东·一模）如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，， ，， 设，则， （负值舍去），未给出具体边长，无法判断，选项A错误； ， ，选项B错误； ，选项C错误； ， ． 12．（2026·北京·一模）如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 押题猜想二 二次函数的性质（多结论） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，抛物线的图像交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的图像经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图像交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，，， 对于抛物线，当时，可得， ∴， ∴， 当时，由勾股定理得， 即，解得或（舍去）， 当时，由勾股定理得， 即，解得或（舍去）， 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，可得，则， 如图所示，取点，连接，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小， 最小值为线段的长， 由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，本部分多以选择题压轴题呈现，二次函数多结论问题主要涉及二次函数图象与系数a,b,c的关系、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，以及与一元二次方程、不等式的结合，同时会考查特殊点（如x=\pm1、x=\pm2）的函数值分析，综合来看对学生的数形结合与综合分析能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济南·一模）我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【详解】解：①当时，，图象开口向下，无最小值，故①错误； ②当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； 当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； ∴②正确； ③当时，， 令，解得，（舍去）， 令，解得，（舍去）； 当时，， 令，解得， 令，解得，（舍去）； ∴满足的最大值是5，最小值是，则的最大值为，故③正确． 综上可知，描述中正确的是②③． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ∴，故①正确； ∴当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∵在抛物线的图象上， ， 又 ∵， ， ，即， ，即， ， ，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵， 即， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又 ∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 结论正确的个数有4个． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵经过点， ∴， 整理得， ∴， ①对称轴为直线，故①正确； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在范围内，顶点在对称轴处，函数取得最大值，离对称轴距离最远，函数取得最小值， 当时，，为最大值 当时，，为最小值 ∴，故②正确； ③∵点在抛物线上 ∴， ∴ ∵， ∴的最小值为，故③正确； ④根据定义， 取，它关于的对称点为， 当时，，当时， ∵， ∴， 故不关于对称，④错误； ⑤时，，顶点为， 当时，直线与恰好有个交点；当时，直线也恰好与有个交点，故⑤正确； 综上，正确结论共个． 4．（25-26九年级下·山东济南·月考）关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确； ∵抛物线与轴交于不同两点，且， ∴设，，则， 解得：或， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 5．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 故①是符合题意； 观察函数图象，得出二次函数经过点， ∵对称轴为， ∴二次函数经过点， 即多项式可因式分解为， 故②是不符合题意； ∵开口向上，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小 ∵点，在函数图像上，且， ∴， ∴， 当时，即，则，即； 当，时，则，即； ∴， 当时，则，则不成立 综上： 故③是符合题意； ∵二次函数经过点以及点， 而一次函数也经过点以及点，如下图所示： 可得不等式的解集为或， ∴可得不等式的解集为或， 故④不符合题意； 6．（2026·广东广州·一模）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 7．（2026·陕西·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论： ①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而， 且， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴，故④正确； 由④得当时，， 即，故⑤错误； 综上可得，只有②④正确． 8．（25-26九年级下·河南·开学考试）函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， 则，可得， 将代入得， 将代入得，即， ①∵， ∴， 解得，故①正确； ②方程等价于， 该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点， ∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点， ∴当，抛物线与直线有交点， 解得， 当，该方程有两个相等的实数根， 当，该方程有两个不等的实数根， 故满足要求，结论错误，故②错误； ③∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵对称轴为，， 说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，故③正确； ④将抛物线化为顶点式， 联立， 可得， 其判别式， 由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误． 综上①③正确， 故选． 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有(    ) A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①不正确； 对称轴为直线， 在抛物线上， ， ， ， ， ，故②正确； 如图，设直线与轴交于点， 依题意，， 当是直角三角形时，， ∴ ∵对称轴为直线， ∴点的纵坐标为： ∵ ∴ 即 ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴时，， ∴方程为， 解得： 当时， ∴方程为， 解得：或 ∴若方程的两根为、，则，．故④正确 10．（2026·山东枣庄·一模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④由②得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有2个． 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线的右侧， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 则, 故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④若抛物线与轴的另一个交点是． ∵抛物线与轴的一个交点为 ∴抛物线对称轴是， 由题意可知，抛物线的对称轴在直线的右侧， 故④错误，不符合题意． 则一个正确 故选：A ． 12．（25-26九年级上·四川·期末）函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A．①②⑤ B．①②③ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【详解】解：∵顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， ∵对称轴公式为， ∴， ， ， 把代入得，将代入得， ∴， ， ； ①，，，，即①正确； ②∵抛物线开口向下，顶点是最高点，即对任意实数，都有 ， 两边减得，即，即②正确． ③∵对称轴为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，距离不相等， ∴两处函数值不相等，即③错误； ④联立，整理得， 判别式，代入得 ， 当时，没有两个交点，因此不是总有两个不同交点， ∴函数的图像与的函数图像不总有两个不同交点，即④错误； ⑤∵对称轴在区间内，抛物线开口向下， ∴时函数取得最大值， 又∵到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴当时取得最小值， ∴在区间内既有最大值又有最小值，即⑤正确． 综上，正确结论为①②⑤，即选项A符合题意． 押题猜想三 一次函数的实际应用（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】15 【详解】解：，当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 联立，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，一次函数的应用多以填空题中档题形式考查，常结合行程、计费、工程等实际情境，核心考查一次函数图象的读取、解析式求解、交点意义与实际应用，侧重考查学生从图象中提取关键信息、建立函数模型的能力，易错点在于忽略自变量的实际取值范围，对学生的应用意识要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济南·一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 【答案】1.5或4.5或6.5 【详解】解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为， 将，代入可得：， 解得：． ∴乙所在直线的表达式为：； 当时，， 把代入，得：，解得， ∴甲所在的直线的表达式：； 当时，；解得， ∴甲所在的直线的表达式：，其中； 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得或， 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得， 综上可知，1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距． 2．（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 【答案】 【详解】解：甲的函数关系： 由图可知：甲匀速走用时， ∴甲的速度， ∴甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前秒走， ∴乙原来的速度； 当时，乙距离起点的距离为：； 当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：； 当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：； 第二次相遇：时，令， 即：， 解得，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是秒． 3．（2026·辽宁铁岭·一模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 【答案】 【详解】解：依题意得 故答案为：． 4．（2026·湖南邵阳·一模）甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离（千米）关于配送时间（分钟）的函数图象如图所示，则乙配送车从出发到追上甲配送车需要__________分钟． 【答案】20 【详解】解：根据函数图象可知，当乙配送车追上甲配送车的时间为32分， 则乙配送车从出发到追上甲配送车需要（分钟）． 5．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米．    【答案】150 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 6．（2025·山东济南·二模）近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少______h． 【答案】（或1.5） 【详解】解：设线段对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 设线段对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∵， ∴快速充电器比普通充电器少， 故答案为：． 押题猜想四 几何图形的折叠（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，BD的长为___． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质，知， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，设， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴BD = 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，几何图形的折叠是填空题高频考点，多以矩形、正方形、三角形为载体，核心利用折叠的全等性质（对应边、对应角相等），结合勾股定理、相似三角形、坐标系求线段长度或点坐标，常涉及分类讨论思想，对学生的几何直观与方程思想要求较高，是区分度中等的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____． 【答案】 【详解】解：分别过点F，D作，，连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴折叠， ∴， 则在中，， ∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 即点到的最短距离为． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 3．（2026·河南·一模）明明用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，，他在边上找一点，在边上找一点，沿直线折叠，得到，点的对应点为，改变，的位置，始终让点落在边上，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】或 【详解】在中，，，， ， 由翻折可知， ， 当为直角顶点时，如图， ，， ， ， ， ； 当为直角顶点时，如图， ，， ， ， ， ， 当为直角三角形时，的长为或． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在矩形中，，点E在边上，将矩形沿着折叠，点B的对应点恰好落在上，则的面积为______． 【答案】 7.5 【详解】解：连接， 在矩形中，，，， ∴， 由折叠的性质得， 点在上， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 解得， ， 设与交于点， 在和中，，， ， ， ， 由对称性可知， 过点作于点， ， ， ， ，即， 解得， ． 5．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，交于点E．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，若，则的长为________． 【答案】/ 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵将矩形沿对角线折叠，点A落在点处， ∴， ∵将沿折叠，点C的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 【答案】8 【详解】解：过点F作，垂足为． 四边形是矩形， ，． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ． 由垂线段最短可知，， 当且仅当时，，即． ，， ． ． 故答案为：． 8．（2026·江苏·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：连接，如图： 由折叠，得：，，，，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠知：， 是等边三角形，且， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 9．（2026·山东济南·一模）如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 在矩形中，，，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，,，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 在中，． 10．（2026·甘肃·一模）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____． 【答案】2 【详解】解：由折叠得，，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·山东济南·一模）如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 【答案】 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， 将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 12．（2026·河南·一模）如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 【答案】或/或 【详解】解：连接，与交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上， ∴， 设，则， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即， 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或． 押题猜想五 平行四边形的证明（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E，求证：。 【答案】见解析 【详解】证明： ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ∵ ∴， ∴； 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，平行四边形的证明多为解答题基础题型，分值稳定，常结合三角形全等、特殊四边形（矩形、菱形）的判定展开，题目多设置两问，第一问证明平行四边形，第二问判定特殊四边形或求线段长度，侧重考查平行四边形的判定与性质定理，对学生的逻辑推理与证明步骤规范性要求较高，属于基础拿分题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建·模拟预测）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（2026·福建·一模）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ． 押题猜想六 三角函数应用（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】综合与实践 某校开展校园手绘平面图测绘活动，数学实践小组为标注教学楼前人工湖内小岛两端点C，D之间的距离，进行了数据测量．如图，该小组测量方案和相关数据如下： 步骤一：甲同学在教学楼五层某教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点A处测得小岛一端C处的俯角； 步骤二：乙同学在该教学楼三层相同位置教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点B处测得小岛另一端D处的俯角； 步骤三：测得测倾器高为1.6m； 步骤四：每相邻两层楼地板之间的距离为3.5m，可求得点A到水平地面的距离▲m，点B到水平地面的距离▲m． 已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一铅垂线上，点D，C，G在同一水平线MN上． (1)补全“步骤四”中“▲”处的结果； (2)请根据上述测量方案和数据计算小岛两端C，D之间的距离（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)15.6；8.6 (2)小岛两端C，D之间的距离约为9m 【详解】（1）解：，． （2）解：由题意，得，，． ∵，， ∴，． 在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 答：小岛两端C，D之间的距离约为9m． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，三角函数应用是解答题必考题型，多以实际测量（高度、距离、坡度、方位角）为背景，核心考查解直角三角形，要求通过作辅助线构造直角三角形，利用正弦、余弦、正切建立方程求解，题目会提供参考数据，侧重考查数学建模与实际应用能力，对学生的辅助线构造与角度对应能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西三模）如图1，这是一栋别墅的俯视图，其平面示意图大致为图2，点A，B，C在一条直线上，，，，，，，．（参考数据：，，，，，，结果保留小数点后一位有效数字） (1)求A，C两点间的距离； (2)求点F到的距离． 【答案】(1) (2)m 【详解】（1）解：如图1，过点E作于点G． 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点A作交于点H，过点F作于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点F到的距离为． 2．（2026·四川·模拟预测）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 坡比为， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ，， ，两点的高度差为； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 居民楼的高度约为． 3．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； （2）解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 4．（2026·湖南长沙·二模）2025年8月17日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为，从距离塔底点26米的点出发，沿着一段坡度为的斜坡走50米到达点，此时回头看塔顶点，仰角刚好是，已知点在点的正下方，三点在同一水平线上．点，在同一平面内，请回答下列问题： (1)求斜坡的高度； (2)求“长沙之眼”的高度． 【答案】(1)14米 (2)88米 【详解】（1）解：根据题意可知米，且坡度为， ∴． 设，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴米，米； （2）解：如图所示，过点D作，交于点F，根据题意知米， ∴（米）． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， 所以“长沙之眼”的高度是88米． 押题猜想七 圆（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F是的中点，于，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴，又是的半径， ∴为的切线； （2）解：作于G，则． 设，则，． 在中，， ∴． 解得， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，圆的解答题是几何板块核心题型，每年必考切线的判定与性质，同时结合圆周角定理、垂径定理、弧长与扇形面积公式，常设置两问，第一问证明切线（核心方法“连半径证垂直”），第二问结合相似、三角函数求线段长度，综合考查圆的核心定理与几何计算，对学生的辅助线构造与定理应用能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·四川·一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：设的半径为r， 则， 在中，， ， 解得， ， ，， 由（1）知， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 解得． 2．（2026·山东济南·一模）如图，以的边为直径作半圆，交于点，连接，，且，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 3．（2026·辽·一模）如图，内接于，是的直径，射线交于点D，交的延长线于点E，F是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)如果，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】证明：连接， ∵ 是的直径， ∴ ，即． ∵ 是中点，是直角三角形， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴，即，． ∵ 是半径， ∴ 是的切线． （2）解：∵ ，， ∴ ， 又中， ∴ ， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴ ． 在中，， ∴ ， ∴ ． 4．（2026·山东枣庄·一模）如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与相切，理由：连接， ， ， 将沿翻折，点的对应点为， ，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，交于点， 为直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，， ， 根据勾股定理可得， ． 押题猜想八 统计与概率（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】牡丹花会期间，菏泽成为全国顶流旅游目的地．某文旅部门对A（九州绝技万象盛典）、B（夜赏曹州光影夜游）两种大型实景演出进行游客喜好度抽样统计，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢）下面给出了部分信息： 抽取的对A种演出的评分数据中“喜欢”的数据为84，86，86，87，88，89； 抽取的对B种演出的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两种演出的评分统计表： 演出种类 平均数 中位数 众数 “非常喜欢”所占百分比 A 88 96 B 88 C 抽取的对种演出的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：___________，___________，___________； (2)文旅部门计划从A，B两种演出中重点打造一种“城市标杆演出”，请根据统计数据作出选择，并说明理由； (3)预计五一假期将有12000名游客观看A演出，15000名游客观看B演出． ①估计两种演出中“非常喜欢”的游客总人数； ②请你为我市文旅发展提一条合理建议． 【答案】(1)15；；98 (2)选择A演出，见解析 (3)①11400人；②融合A、B演出优势，打造大众认可的标杆演出． 【详解】（1）解：， 即， ∵A种演出的评分“非常喜欢”有（个)，“喜欢”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A种演出的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数， 在B种演出的评分数据中，98出现的次数最多， ∴众数； （2）解：选择A演出， 理由如下： 两款演出的评分数据的平均数相同都是88，但演出评分数据的中位数为88.5比演出的中位数高， 选A演出打造“城市标杆演出”（答案不唯一，合理即可） （3）解：①（人）， 答：对演出非常喜欢的人数为11400人． ②融合A、B演出优势，打造大众认可的标杆演出．（答案不唯一，合理即可）． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，统计与概率是解答题基础送分题型，统计部分考查条形图、扇形图、频数分布直方图的补全与统计量（平均数、中位数、众数、方差）计算，概率部分考查用列表法或树状图法求等可能事件的概率，题目贴近生活，侧重考查数据观念与计算能力，对学生的细节把控与步骤规范性要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E (1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； (2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； (3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【答案】(1)； (2) (3)人 【详解】（1）解：∵；， ∴样本容量是；组视力在扇形统计图中对应的圆心角为； （2）解：∵， 由表格可知，数据由小到大频数分别是，第个数在组， ∴视力的中位数落在组； （3）解：∵， ∴， ∴估计全校九年级学生中视力正常的人数为人. 2．（2026·江西·一模）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分分别记为分，分，分，分，竞赛结束后两个年级各抽取名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 八年级 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 【答案】(1)，，统计图见解析； (2)七年级，理由见解析； (3)人． 【详解】（1）解：∵七年级共抽取人，成绩由高到低排在第25和26位的是B等级9分， ∴中位数， ∵由八年级扇形统计可知，八年级等级人数最多， ∴众数， ∵七年级成绩等级人数为：（人）， ∴七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： （2）七年级竞赛成绩更好，理由如下： 在平均数相同的情况下，七年级的中位数大于八年级的中位数，说明七年级学生的成绩中游水平更高，且七年级的方差小于八年级的方差，七年级成绩更稳定； （3）（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有648人． 3．（2026·山东济南·一模）为响应槐荫区勾股数学杯校际联赛的号召，激发学生对数学学习的热情，某校八年级精心举办了一场数学答题挑战赛（满分分）．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： ：；：；：；：；：． 下面给出了部分信息： a：组的数据：、、、、、、、、、、、、、、、． b：图与图分别为不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为________度； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数为________分； (5)该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数． 【答案】(1)随机抽取的八年级学生人数为人 (2)见解析 (3) (4) (5)估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人 【详解】（1）解：（人）， 答：随机抽取的八年级学生人数为人； （2）解：组频数， 补全频数分布直方图如图所示： （3）解：扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为； （4）解：第个数据分别为， ∴中位数为； （5）解：（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人． 4．（2026·湖南·一模）生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析： 【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩年级 A B C D 七年级 2 5 4 4 八年级 1 6 【分析数据】 两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 87 92.13 八年级 86 87 79.73 【问题解决】根据以上信息解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数； (3)该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数． (4)根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)80；90 (2)B组所在扇形的圆心角的度数为 (3)估计七年级可参加复赛的学生人数为196人 (4)该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优，见解析 【详解】（1）解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87， 92，94， 94，98.   对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． （2）解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． （3）（人） 答：估计七年级可参加复赛的学生人数为196人． （4）我认为该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优．因为八年级的平均分高于七年级的平均分；中位数八年级的高一些，也就是八年级的中等水平更好． 押题猜想九 二元一次方程组的应用（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【新情景】综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，二元一次方程组的应用是解答题基础题型，常以销售、行程、工程、配套等实际场景为背景，核心考查从题干中提取等量关系、列方程组求解，部分题目会结合方案优化考查分类讨论，侧重考查学生的建模能力与实际问题分析能力，易错点在于解的实际意义取舍，属于中档基础拿分题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广西·一模）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． (1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元 (2)购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元 【详解】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元． 根据题意，得， 解得， 答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元； （2）解：设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元． 根据题意，得， 随的增大而增大， ∴当时，， 答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 2．（2026·云南·一模）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元 (2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元 【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元． 根据题意列方程得． 解得． 答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元． （2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元． 由题意得，解得． ，整理得． 随的增大而增大， 当时，有最小值． 此时． 答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元． 3．（2026·湖南·一模）某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 (1)方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ (2)方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙种型号的机器人买6台 (2)购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 【详解】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人台，乙种型号的机器人台． 则 解得 答：该公司购买甲种型号的机器人2台，乙种型号的机器人6台． （2）解：设需购买甲种型号的机器人台，则乙种型号机器人台 解得，且为整数 设所花总费用元，则． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为（万元） 答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 4．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 押题猜想十 反比例函数与一次函数的综合（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和及反比例函数的解析式； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点E的坐标为或 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ， 解得， ， ， ∴ ； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ， 化简得， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解 ； （3）解：存在， 两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点与点B重合， ，， ∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ， 设， 在反比例函数上， ， ， ∴ 化简得， ， 解得（负数舍去）， ， ∴综上所述，点E的坐标为或． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，反比例函数与一次函数的综合是解答题中档拉分题型，核心考查待定系数法求解析式、联立方程求交点、利用图象解不等式、k的几何意义与图形面积计算，常结合几何图形（三角形、四边形）考查点坐标求解，侧重考查数形结合思想，对学生的图象分析与面积割补能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3， ∴当时，或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3，且点、点在上， ∴ ∴， 将点代入， 则 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ∴ 解得， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴， 过点作轴交于点， ∴ ∵， ∴． 2．（2026·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作轴；交线段于Q；若；求点P的坐标． (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 （2）解：作轴于点，交于点， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴点的纵坐标为3， ∴，解得 ∴点的坐标为． （3）解：设，， 以，C，，为顶点的四边形是平行四边形，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， （舍）； 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：； 综上所述，点的坐标为或． 3．（2026·广东·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 4．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)连接，求的面积； (3)为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：如图，过点作轴于， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴， ∵，点恰巧在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∵为线段上的点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； 【答案】(1) (2)①；②； 【详解】（1）解：∵在二次函数的图象上， 设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， ， 如图，延长与轴相交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ． ②如图②，过点作轴，交线段于点． 由①可知． 由平移，得， ， ∵轴， ， ， ， ∴在中，． 设点的横坐标为． ， 设直线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵轴，点在线段上， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． ∴． ∴的最大值为． ∵， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数综合问题主要涉及二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题、动点存在性问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高，常结合几何图形考查分类讨论思想，是试卷区分度最高的题型之一。 终极猜想·精练通关 1．（2026·吉林·一模）如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或，②或或或 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由题意，， ①当点在轴负半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第三象限， ∴， ∴，解得（舍去）或； ②当点在轴正半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第一象限， ∴， ∴，解得或（舍去）； 综上：； （3）解：①∵， ∴， 由旋转可得，，轴，轴，点在点的左侧，点在点上方， 由（2）可知，点的坐标为，当点在抛物线上时，， ∴，， 当点在抛物线上时，则， 解得或， ∴当线段与抛物线有公共点时，或； ②由①可知：，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立解得或， ∴抛物线与直线的交点为和； 当时，如图，抛物线在内的部分的最高点为点，最低点的部分在边上或边上， ∴最低点的纵坐标为， 当最低点在边上时，； 当最低点在边上，则，解得或（舍去）； ∴； 当时，当抛物线在内的部分的最高点在上，即点，最低点的部分在边上时，如图， ∴此时最高点的纵坐标为8， ∴最低点的纵坐标为，即； 当抛物线在内的部分的最高点在上，最低点的部分在边上时，如图， 则最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去） 综上：或或或． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)的和的最大值为，点的坐标为 (3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 3．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标； (3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当时，抛物线与线段有交点 【详解】（1）解：∵与轴交于，两点， ∴令，则， ， 解得，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 把点的坐标代入，得 ， 解得， 把代入解析式，得 ； （2）解：如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过，， ∴设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴， 当时，， ∴点， 设点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为， 此时， ∴当最大时，点的坐标为； （3）解：若过点， ∴， 即， 若过点， ∴， 即， ∵，， ∴设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴， 若抛物线与线段有交点， ∴， ∴， 当线段与抛物线仅有一个交点时， ， 解得：，（舍去）， 综上，当时，抛物线与线段有交点． 4．（2026·湖北·模拟预测）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M，P为抛物线上不重合的两动点，连接与y轴交于点H，与直线交于点D，且点H为的中点．设点M的横坐标为m（，且，）． ①求证：； ②如图2，点N在抛物线上，其横坐标为．连接与交于点E．直线能平分的面积吗？如能，请求出此时m的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【详解】（1）解：将A、B两点的坐标值代入抛物线的解析式中， 得， 解得； ∴抛物线的函数解析式为：； （2）①证明：对于抛物线，令，则， ∴， 又， ，则为等腰直角三角形， 取的中点为，连接， 则，， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设， 点H为的中点，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 又直线的解析式为， ，又， ； ②解：N在抛物线上，其横坐标为， 当，， 故，又， 设直线的解析式为， ，解得， 故直线的解析式为， ， ，相似比为， ， 若直线平分的面积，则， 又，， 直线的解析式为，与直线联立， ，解得，即， ， 解得或， 又，则（舍去）， 故． 押题猜想十二 几何图形的综合探究（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中， ，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，在等边中，点D为过点A的中线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】 如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形， ，以点A为顶点的，与边分别交于E，F两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ②矩形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ③菱形的四边相等，但内角不一定为直角，不符合直菱四边形的定义； ④正方形的四边相等，四个内角都为直角，根据新定义可得：正方形一定是直菱四边形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵点D为中线上一点， ∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直菱四边形． （3）解：结论：． 理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图1，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，几何图形的综合探究是试卷压轴大题，多以三角形、四边形为载体，结合平移、旋转、折叠等几何变换，综合考查全等、相似、三角函数、动点最值与存在性问题，题目分多小问、难度层层递进，侧重考查学生的逻辑推理、辅助线构造与探究能力，对学生的几何综合素养要求极高，是区分顶尖学生的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·陕西·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 【答案】（）； （）证明见解析； （）两条石板小路长度之和的最小值为米． 【详解】解：（）四边形为矩形，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （）证明：如图，四边形是正方形，将线段沿平移至，交于点，则， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （）如图，将线段沿平移至，则且， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米， 将线段沿平移至，连接，则四边形为平行四边形， ，， ， ， 米， 米， 两条石板小路长度之和的最小值为米． 2．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下， ，，点是的中点， ，， 根据旋转可知， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形． （2）解：关系为，理由如下， 如图，连接， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， 点F为的中点， 是的中位线， ， ． （3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点F在左侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 3．（2026·江西·一模）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． (2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 (3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相似，相似比为 (3) (4)或 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点A在对角线上，， ∴，即相似比为； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∵经过的中点F， ∴， ∵，， ∴， ∴，即相似比为； （3）解：如图，延长交于点，交的延长线于点， ∵、为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即，所在直线的夹角（锐角）的度数为； （4）解：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， ∴分两种情况：如图，当在直线右侧时， 设，则，， 作于，于， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线左侧时，作于， 则， 设，则， ∴， 作于， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 4．（2026·河北·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4） 【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 尺规作图（选择题） 2 押题猜想二 二次函数的性质（多结论） 6 押题猜想三 一次函数的实际应用（填空题） 11 押题猜想四 几何图形的折叠（填空题） 13 押题猜想五 平行四边形的证明（解答题） 17 押题猜想六 三角函数应用（解答题） 18 押题猜想七 圆（解答题） 21 押题猜想八 统计与概率（解答题） 23 押题猜想九 二元一次方程组的应用（解答题） 27 押题猜想十 反比例函数与一次函数的综合（解答题） 29 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 31 押题猜想十二 几何图形的综合探究（解答题） 34 押题猜想一 尺规作图（选择题） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段CD的长为（    ） A．3 B． C． D．5 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，尺规作图多以选择题形式考查，属于基础送分题型，核心围绕五种基本作图（作角平分线、线段垂直平分线、作等角、作垂线、作三角形）展开，常以“根据作图痕迹判断结论正误”的形式命题，侧重考查作图原理与几何直观，不涉及复杂计算，对学生基础作图知识的掌握程度要求较高，备考需熟练掌握各类作图的步骤与依据。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·一模）如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线．过点作于点，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 4．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（   ） A．32 B． C．56 D．64 6．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在平行四边形中，．按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点O，交边于点F，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 8．（2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东济南·一模）如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（   ） A． B．2 C． D． 11．（2026·天津河东·一模）如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·北京·一模）如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 押题猜想二 二次函数的性质（多结论） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，抛物线的图像交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，本部分多以选择题压轴题呈现，二次函数多结论问题主要涉及二次函数图象与系数a,b,c的关系、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，以及与一元二次方程、不等式的结合，同时会考查特殊点（如x=\pm1、x=\pm2）的函数值分析，综合来看对学生的数形结合与综合分析能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济南·一模）我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A．② B．①② C．①③ D．②③ 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26九年级下·山东济南·月考）关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 5．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026·广东广州·一模）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论： ①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26九年级下·河南·开学考试）函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有(    ) A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 10．（2026·山东枣庄·一模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26九年级上·四川·期末）函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A．①②⑤ B．①②③ C．①③⑤ D．②③④⑤ 押题猜想三 一次函数的实际应用（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，一次函数的应用多以填空题中档题形式考查，常结合行程、计费、工程等实际情境，核心考查一次函数图象的读取、解析式求解、交点意义与实际应用，侧重考查学生从图象中提取关键信息、建立函数模型的能力，易错点在于忽略自变量的实际取值范围，对学生的应用意识要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济南·一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 2．（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 3．（2026·辽宁铁岭·一模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 4．（2026·湖南邵阳·一模）甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离（千米）关于配送时间（分钟）的函数图象如图所示，则乙配送车从出发到追上甲配送车需要__________分钟． 5．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米．    6．（2025·山东济南·二模）近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少______h． 押题猜想四 几何图形的折叠（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，BD的长为___． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，几何图形的折叠是填空题高频考点，多以矩形、正方形、三角形为载体，核心利用折叠的全等性质（对应边、对应角相等），结合勾股定理、相似三角形、坐标系求线段长度或点坐标，常涉及分类讨论思想，对学生的几何直观与方程思想要求较高，是区分度中等的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 3．（2026·河南·一模）明明用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，，他在边上找一点，在边上找一点，沿直线折叠，得到，点的对应点为，改变，的位置，始终让点落在边上，当为直角三角形时，的长为__________． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在矩形中，，点E在边上，将矩形沿着折叠，点B的对应点恰好落在上，则的面积为______． 5．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ________________ ． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，交于点E．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，若，则的长为________． 7．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 8．（2026·江苏·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 9．（2026·山东济南·一模）如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 10．（2026·甘肃·一模）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____． 11．（2026·山东济南·一模）如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 12．（2026·河南·一模）如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 押题猜想五 平行四边形的证明（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E，求证：。 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，平行四边形的证明多为解答题基础题型，分值稳定，常结合三角形全等、特殊四边形（矩形、菱形）的判定展开，题目多设置两问，第一问证明平行四边形，第二问判定特殊四边形或求线段长度，侧重考查平行四边形的判定与性质定理，对学生的逻辑推理与证明步骤规范性要求较高，属于基础拿分题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建·模拟预测）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 2．（2026·福建·一模）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 押题猜想六 三角函数应用（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】综合与实践 某校开展校园手绘平面图测绘活动，数学实践小组为标注教学楼前人工湖内小岛两端点C，D之间的距离，进行了数据测量．如图，该小组测量方案和相关数据如下： 步骤一：甲同学在教学楼五层某教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点A处测得小岛一端C处的俯角； 步骤二：乙同学在该教学楼三层相同位置教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点B处测得小岛另一端D处的俯角； 步骤三：测得测倾器高为1.6m； 步骤四：每相邻两层楼地板之间的距离为3.5m，可求得点A到水平地面的距离▲m，点B到水平地面的距离▲m． 已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一铅垂线上，点D，C，G在同一水平线MN上． (1)补全“步骤四”中“▲”处的结果； (2)请根据上述测量方案和数据计算小岛两端C，D之间的距离（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，三角函数应用是解答题必考题型，多以实际测量（高度、距离、坡度、方位角）为背景，核心考查解直角三角形，要求通过作辅助线构造直角三角形，利用正弦、余弦、正切建立方程求解，题目会提供参考数据，侧重考查数学建模与实际应用能力，对学生的辅助线构造与角度对应能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西三模）如图1，这是一栋别墅的俯视图，其平面示意图大致为图2，点A，B，C在一条直线上，，，，，，，．（参考数据：，，，，，，结果保留小数点后一位有效数字） (1)求A，C两点间的距离； (2)求点F到的距离． 2．（2026·四川·模拟预测）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果保留整数，参考数据：） 3．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 4．（2026·湖南长沙·二模）2025年8月17日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为，从距离塔底点26米的点出发，沿着一段坡度为的斜坡走50米到达点，此时回头看塔顶点，仰角刚好是，已知点在点的正下方，三点在同一水平线上．点，在同一平面内，请回答下列问题： (1)求斜坡的高度； (2)求“长沙之眼”的高度． 押题猜想七 圆（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F是的中点，于，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，圆的解答题是几何板块核心题型，每年必考切线的判定与性质，同时结合圆周角定理、垂径定理、弧长与扇形面积公式，常设置两问，第一问证明切线（核心方法“连半径证垂直”），第二问结合相似、三角函数求线段长度，综合考查圆的核心定理与几何计算，对学生的辅助线构造与定理应用能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·四川·一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2026·山东济南·一模）如图，以的边为直径作半圆，交于点，连接，，且，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 3．（2026·辽·一模）如图，内接于，是的直径，射线交于点D，交的延长线于点E，F是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)如果，，求线段的长． 4．（2026·山东枣庄·一模）如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长． 押题猜想八 统计与概率（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】牡丹花会期间，菏泽成为全国顶流旅游目的地．某文旅部门对A（九州绝技万象盛典）、B（夜赏曹州光影夜游）两种大型实景演出进行游客喜好度抽样统计，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢）下面给出了部分信息： 抽取的对A种演出的评分数据中“喜欢”的数据为84，86，86，87，88，89； 抽取的对B种演出的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两种演出的评分统计表： 演出种类 平均数 中位数 众数 “非常喜欢”所占百分比 A 88 96 B 88 C 抽取的对种演出的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：___________，___________，___________； (2)文旅部门计划从A，B两种演出中重点打造一种“城市标杆演出”，请根据统计数据作出选择，并说明理由； (3)预计五一假期将有12000名游客观看A演出，15000名游客观看B演出． ①估计两种演出中“非常喜欢”的游客总人数； ②请你为我市文旅发展提一条合理建议． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，统计与概率是解答题基础送分题型，统计部分考查条形图、扇形图、频数分布直方图的补全与统计量（平均数、中位数、众数、方差）计算，概率部分考查用列表法或树状图法求等可能事件的概率，题目贴近生活，侧重考查数据观念与计算能力，对学生的细节把控与步骤规范性要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E (1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； (2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； (3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 2．（2026·江西·一模）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分分别记为分，分，分，分，竞赛结束后两个年级各抽取名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 八年级 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 3．（2026·山东济南·一模）为响应槐荫区勾股数学杯校际联赛的号召，激发学生对数学学习的热情，某校八年级精心举办了一场数学答题挑战赛（满分分）．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： ：；：；：；：；：． 下面给出了部分信息： a：组的数据：、、、、、、、、、、、、、、、． b：图与图分别为不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为________度； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数为________分； (5)该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数． 4．（2026·湖南·一模）生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析： 【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩年级 A B C D 七年级 2 5 4 4 八年级 1 6 【分析数据】 两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 87 92.13 八年级 86 87 79.73 【问题解决】根据以上信息解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数； (3)该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数． (4)根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）． 押题猜想九 二元一次方程组的应用（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【新情景】综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，二元一次方程组的应用是解答题基础题型，常以销售、行程、工程、配套等实际场景为背景，核心考查从题干中提取等量关系、列方程组求解，部分题目会结合方案优化考查分类讨论，侧重考查学生的建模能力与实际问题分析能力，易错点在于解的实际意义取舍，属于中档基础拿分题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广西·一模）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． (1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 2．（2026·云南·一模）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 3．（2026·湖南·一模）某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 (1)方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ (2)方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 4．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 押题猜想十 反比例函数与一次函数的综合（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和及反比例函数的解析式； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，反比例函数与一次函数的综合是解答题中档拉分题型，核心考查待定系数法求解析式、联立方程求交点、利用图象解不等式、k的几何意义与图形面积计算，常结合几何图形（三角形、四边形）考查点坐标求解，侧重考查数形结合思想，对学生的图象分析与面积割补能力要求较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 2．（2026·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作轴；交线段于Q；若；求点P的坐标． (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 3．（2026·广东·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 4．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)连接，求的面积； (3)为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数综合问题主要涉及二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题、动点存在性问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高，常结合几何图形考查分类讨论思想，是试卷区分度最高的题型之一。 终极猜想·精练通关 1．（2026·吉林·一模）如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 3．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标； (3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围． 4．（2026·湖北·模拟预测）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M，P为抛物线上不重合的两动点，连接与y轴交于点H，与直线交于点D，且点H为的中点．设点M的横坐标为m（，且，）． ①求证：； ②如图2，点N在抛物线上，其横坐标为．连接与交于点E．直线能平分的面积吗？如能，请求出此时m的值；如不能，请说明理由． 押题猜想十二 几何图形的综合探究（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中， ，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，在等边中，点D为过点A的中线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】 如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形， ，以点A为顶点的，与边分别交于E，F两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； 分析有理·押题有据 从近五年济南中考情况来看，几何图形的综合探究是试卷压轴大题，多以三角形、四边形为载体，结合平移、旋转、折叠等几何变换，综合考查全等、相似、三角函数、动点最值与存在性问题，题目分多小问、难度层层递进，侧重考查学生的逻辑推理、辅助线构造与探究能力，对学生的几何综合素养要求极高，是区分顶尖学生的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·陕西·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 2．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 3．（2026·江西·一模）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． (2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 (3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 4．（2026·河北·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $