精品解析：湖北省随州市曾都区曾都区三校2025-2026学年度下学期阶段监测九年级数学试题

2025-2026学年度下学期阶段监测 九年级数学试题 （满分：120分 时限：150分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴性质知，，然后结合得到，，即可求解． 【详解】解：由数轴性质知，， ， ，， 原点在a与b之间，故点C可能为原点． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，零指数幂性质，完全平方公式，同底数幂除法法则，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 3. 五峰芽毛尖是湖北名茶之一，如图是五峰芽毛尖的包装盒（可看作长方体盒子），则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看，是一个矩形， ∴D选项符合题意． 4. 一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和p和两根之积q，再根据点的横纵坐标的正负判断点所在象限． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标、纵坐标都为正， ∴点位于第一象限． 5. 我们的祖先在两千多年前运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥（）子（用于称量贵金属，药材，香料等）．某杆秤称物时状态如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，利用邻补角的定义求出即可得答案． 【详解】解：如图，由题意可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，反面向上 B. 成语守株待兔描述的事件 C. 买彩票一定会中奖 D. 三角形三条边上的中线交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项投掷一枚硬币反面向上是随机事件，可能发生也可能不发生； B选项守株待兔描述的事件是随机事件，不一定发生； C选项买彩票中奖是随机事件，不一定发生； D选项根据三角形的性质，任意三角形三条边上的中线一定交于一点，是一定发生的事件； 7. 如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质可得B、E两点关于原点成中心对称，即可求解． 【详解】解：正六边形为中心对称图形，为对角线，正六边形的对角线交于原点O， B、E两点关于原点成中心对称， ∵， ． 8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（ ）． A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法得，根据函数的性质并结合端点求出的范围，再逐项判断即可． 【详解】解：设，由图象可知过， ，则， 在第一象限内，随v的增大而减小， 当时，，当时，， ， ． 9. 如图，是的直径，点C是上一点，且，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，连接交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图得：平分，可得，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，点E与点F对应，连接与交于点G，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过E作交于点H，则，结合正方形的性质可得设，则，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过E作交于点H，则， 正方形的边长为6， ，，， ∴，是等腰直角三角形，， ， 设，则， 由旋转性质知：， ，， ， B、C、F三点共线，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即． 二、填空题（区5题，每题3分，共15分，请把正确答案填写在答题卡对应题号的横线上） 11. 已知正n（，且n为整数）边形的外角和等于，则任意一个外角的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正边形各外角相等，结合已知外角和为，用除法计算即可得到任意一个外角的度数． 【详解】解：正边形的所有外角都相等，任意边形的外角和为，正边形共有个外角， 任意一个外角的度数为． 12. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当时，在每一象限内，随增大而增大，即可求解． 【详解】解：反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大， ， 满足条件的值为，． 故答案为：（答案不唯一） 13. 2025年国庆节和中秋节的节假日重合，假期连休8天．初中生小明和父母决定外出旅游，父母答应作业完成后可从以下四个景区任选一个作为旅游目的地：襄阳古隆中，十堰武当山，恩施大峡谷，武汉东湖绿道．小明选择襄阳古隆中的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：小明选择襄阳古隆中的概率是． 14. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，首先将分母因式分解，然后通分，合并分子后约分得到结果，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】首先由矩形的性质得到，然后由图象得到，表示出，得到，表示出，即可求出；设，，证明出，得到，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， 由图2得，当，即点M在A点时，此时点N和点D重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ 当点M运动到点B时，点M停止运动，此时点N和点C重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ ∴； 设， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，即 ， ， ∴将，代入得，， ， ． 三、解答题（共9题，共75分，请把解答过程填写在答题卡对应题号的区域内） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证． 【详解】略 18. 高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 【答案】点E与点D之间的距离是640米 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，， ， 答：点E与点D之间的距离是640米． 19. 体育中考的核心目的是通过考试的形式，引导学生重视体育锻炼，促进其身心健康发展，并推动体育的全面实施．湖北体育中考中有一项是女生1分钟仰卧起坐．以下是甲、乙两班某次女生1分钟仰卧起坐成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】甲、乙两班随机各抽取40名女生的仰卧起坐成绩． 【整理数据】根据收集到的数据，将仰卧起坐个数x（单位：个）分为A．；B．；C．；D．． 【描述数据】根据抽取的仰卧起坐成绩，绘制出如下不完整的统计图： 【分析数据】抽取的甲、乙两班仰卧成绩的平均数，中位数，众数统计的部分信息如下： 类别 平均数 中位数 众数 甲班 45 41 43 乙班 45 40 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接补全甲班条形统计图，乙班扇形统计图中，A组的圆心角为________； （2）九年级有600名学生，若以甲班为样本，估计九年级仰卧起坐优秀（不低于41分）的人数； （3）该校九年级女生仰卧起坐成绩哪个班成绩要好一些？请从平均数，中位数、众数中任选两方面说明理由，并对较差班级提出一条合理化建议． 【答案】（1） 补全甲班条形统计图如图： （2）360人 （3） 解：甲班成绩好一些，理由： 由于平均数一样，甲班的中位数高于乙班， 所以甲班成绩好一些； 建议：适当加强仰卧起坐训练； 乙班成绩好一些，理由： 由于平均数一样，乙班的众数高于甲班， 所以乙班成绩好一些； 建议：规范训练，注意正确的姿势和方法． 【解析】 【分析】（1）求出甲班C组的人数，然后用360度乘以A组所占的百分比，即可； （2）用600乘以仰卧起坐优秀（不低于41分）的人数所占的百分比，即可； （3）根据中位数，众数，平均数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：甲班C组的人数为（人）， 补全甲班条形统计图略 乙班扇形统计图中，A组的圆心角为； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计九年级仰卧起坐优秀的有360人； 【小问3详解】 略 20. 综合与实践 活动主题 进位制的认识与探究 背景 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材一 十进制数，记作345； 六进制数，记作； 说明：各进制之间可以进行转化，如：六进制数转化成与其相等的十进制数，只要将六进制数的每个数字，依次乘6的相应正整数次幂（指数比数的位数少1），然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材二 将十进制数化为与其相等的六进制数，用十进制的数除以6，然后将商继续除以6，直到商小于6，这个商作为最下面的余数，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： 素材三 二进制的四则运算与十进制的四则运算相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 加法：，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 说明：其他进制的加法与减法可以参考二进制的四则运算法则 解决问题： （1）将二进制数和五进制数转化成为十进制数：________，________； （2）将十进制数13化成二进制数和七进制数：________，________； （3）利用二进制四则运算法则进行计算：__________；________； （4）将一个十进制两位数（个位数字为y，十位数字为x）交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，若原数减去新数所得的差为27，则我们称这样的数为“理想数”，如果将这个“理想数”化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为m的四位数，则这个“理想数”是________． 【答案】（1）5，252 （2）1101，16 （3）100010，100 （4）85 【解析】 【分析】（1）根据材料提供的方法转化即可； （2）根据材料提供的方法转化即可； （3）根据材料提供的方法转化即可； （3）根据题意得，再由将这个“理想数”化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为m的四位数，可得，从而得到，再由，x，m为正整数，可得，，，即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， ； 【小问4详解】 解：是“理想数”， ， ， ， ∵将这个“理想数”化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为m的四位数， ， ， ， 根据题意得：，x，m为正整数， ，，， ∴， 即这个“理想数”是85． 21. 如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求优弧的长． 【答案】（1） 解：过O作于点E，连接，， O是的中点，， 平分， 是的切线， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线判定与性质，弧长公式，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）过O作于点E，连接，，证明平分，再根据切线的性质定理得到，即可得到结论； （2）设的半径为r，则，，根据勾股定理求出解得，即，得到，再利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为r，则，， 在中，， ， 解得，即， 在中，， ， 优弧的长． 22. 国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． （1）求甲、乙两种纪念品的单价； （2）国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】（1）甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 （2）①15；②18 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； 【小问2详解】 解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 23. 如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）． （1）若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：； （2）若，，，求的长； （3）当且时． ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】（1）证明：如图1，在菱形中，，， ， 由折叠性质知：，， ，， ， ， （2） （3）①证明：延长，交于点H， 在菱形中，，， 由折叠性质知：， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的应用，折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行的性质得到，由折叠性质知：，，证明，即可得到结论； （2）过A作，由折叠性质知：，，在中，，设，则，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案； （3）①延长，交于点H，在菱形中，，，由折叠性质知：，证明，即可得到结论； ②过C作于K，设，，则，，即菱形的边长为7x，由折叠性质知：，，证明，根据相似的性质得到，求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过A作， 由折叠性质知：，， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①略 ②． 过C作于K， 由①可知，， ，， ， 故四边形是矩形， ， ， 设，，则，，即菱形的边长为， 由折叠性质知：，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． （1）求的值； （2）作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； （3）过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 【答案】（1） （2）4 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出，将代入，求出即可； （2）由题意知：，，，，得到，，再根据进行计算即可； （3）由题意知：，①当时，矩形相邻两边长分别为，，当且时，矩形相邻两边长分别为m，，分别进行计算即可； ②分当时，当时，当时进行计算即可； 【小问1详解】 解：当时，， ， 点B在上， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意知：，，，， ，， ； 【小问3详解】 解：由题意知：， ①当时，矩形相邻两边长分别为，，如图2， ， 当且时，矩形相邻两边长分别为m，，如图3，4， ， 综上：； ②． 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图2， ， ， ，无解， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图3， ， ， ，（舍去）， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图4， ， ， （舍去）， 综上：m的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期阶段监测 九年级数学试题 （满分：120分 时限：150分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 五峰芽毛尖是湖北名茶之一，如图是五峰芽毛尖的包装盒（可看作长方体盒子），则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 我们的祖先在两千多年前运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥（）子（用于称量贵金属，药材，香料等）．某杆秤称物时状态如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，反面向上 B. 成语守株待兔描述的事件 C. 买彩票一定会中奖 D. 三角形三条边上的中线交于一点 7. 如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（ ）． A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 9. 如图，是的直径，点C是上一点，且，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，连接交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，点E与点F对应，连接与交于点G，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（区5题，每题3分，共15分，请把正确答案填写在答题卡对应题号的横线上） 11. 已知正n（，且n为整数）边形的外角和等于，则任意一个外角的度数为________． 12. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 13. 2025年国庆节和中秋节的节假日重合，假期连休8天．初中生小明和父母决定外出旅游，父母答应作业完成后可从以下四个景区任选一个作为旅游目的地：襄阳古隆中，十堰武当山，恩施大峡谷，武汉东湖绿道．小明选择襄阳古隆中的概率是________． 14. 计算的结果是______． 15. 如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 三、解答题（共9题，共75分，请把解答过程填写在答题卡对应题号的区域内） 16. 计算：． 17. 如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 18. 高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 19. 体育中考的核心目的是通过考试的形式，引导学生重视体育锻炼，促进其身心健康发展，并推动体育的全面实施．湖北体育中考中有一项是女生1分钟仰卧起坐．以下是甲、乙两班某次女生1分钟仰卧起坐成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】甲、乙两班随机各抽取40名女生的仰卧起坐成绩． 【整理数据】根据收集到的数据，将仰卧起坐个数x（单位：个）分为A．；B．；C．；D．． 【描述数据】根据抽取的仰卧起坐成绩，绘制出如下不完整的统计图： 【分析数据】抽取的甲、乙两班仰卧成绩的平均数，中位数，众数统计的部分信息如下： 类别 平均数 中位数 众数 甲班 45 41 43 乙班 45 40 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接补全甲班条形统计图，乙班扇形统计图中，A组的圆心角为________； （2）九年级有600名学生，若以甲班为样本，估计九年级仰卧起坐优秀（不低于41分）的人数； （3）该校九年级女生仰卧起坐成绩哪个班成绩要好一些？请从平均数，中位数、众数中任选两方面说明理由，并对较差班级提出一条合理化建议． 20. 综合与实践 活动主题 进位制的认识与探究 背景 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材一 十进制数，记作345； 六进制数，记作； 说明：各进制之间可以进行转化，如：六进制数转化成与其相等的十进制数，只要将六进制数的每个数字，依次乘6的相应正整数次幂（指数比数的位数少1），然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材二 将十进制数化为与其相等的六进制数，用十进制的数除以6，然后将商继续除以6，直到商小于6，这个商作为最下面的余数，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： 素材三 二进制的四则运算与十进制的四则运算相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 加法：，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 说明：其他进制的加法与减法可以参考二进制的四则运算法则 解决问题： （1）将二进制数和五进制数转化成为十进制数：________，________； （2）将十进制数13化成二进制数和七进制数：________，________； （3）利用二进制四则运算法则进行计算：__________；________； （4）将一个十进制两位数（个位数字为y，十位数字为x）交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，若原数减去新数所得的差为27，则我们称这样的数为“理想数”，如果将这个“理想数”化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为m的四位数，则这个“理想数”是________． 21. 如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求优弧的长． 22. 国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． （1）求甲、乙两种纪念品的单价； （2）国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 23. 如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）． （1）若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：； （2）若，，，求的长； （3）当且时． ①求证：； ②直接写出的值． 24. 如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． （1）求的值； （2）作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； （3）过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $