专题02 数据的离散程度（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题02 数据的离散程度 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求方差 1 题型二、已知方差求未知数 2 题型三、方差的意义 3 题型四、方差的应用 4 题型五、离差平方和 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求方差 1．一个样本的每一个数据都减少3，其统计量不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．对一组数据：2、3、、3、4，描述正确的是（  ） A．中位数是 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是1 3．有一台机床生产某种零件，在10天中，每天生产次品的数量如下表： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 次品/件 1 1 3 2 2 0 3 1 2 0 求该机床这10天生产次品数量的平均数和方差． 题型二、已知方差求未知数 4．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为 ． 5．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 6．已知一组数据的方差，则 ． 题型三、方差的意义 7．如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为 ．（填“”“”或“”） 8．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 9．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，要从中选择一名优秀且发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择 甲 乙 丙 丁 平均数（） 183 183 182 182 方差 题型四、方差的应用 10．为了杜绝孩子溺水事件的发生，很多学校为此开设了与游泳相关的课程，下表记录了某校4名同学蛙泳成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（   ） 队员1 队员2 队员3 队员4 /秒 51 48 51 49 3.5 3.5 7.5 8.5 A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4 11．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 12．射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下： 甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6； 乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9． 如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由． 题型五、离差平方和 13．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为 ． 14．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 15．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 16．如果数据3，5，，9，10的平均数是，那么这组数据的中位数与方差分别是 ． 1．在一次国际数学奥林匹克竞赛中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队团体总分为 ． 2．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是 ． 3．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 4．求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 5．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数据的离散程度 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求方差 1 题型二、已知方差求未知数 2 题型三、方差的意义 3 题型四、方差的应用 4 题型五、离差平方和 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求方差 1．一个样本的每一个数据都减少3，其统计量不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．由一个样本的每一个数据都减少3，样本数据的波动幅度不会发生变化，结合方差的意义求解即可． 【详解】解：∵一个样本的每一个数据都减少3，样本数据的波动幅度不会发生变化， ∴统计量不变的是方差， 平均数、中位数、众数都会发生改变， 故选：D． 2．对一组数据：2、3、、3、4，描述正确的是（  ） A．中位数是 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是1 【答案】B 【分析】本题考查中位数、平均数、众数、方差的定义与计算，关键是掌握各统计量的计算方法．首先将数据排序，再分别计算各统计量，逐一判断选项是否正确． 【详解】解：先将数据从小到大排序为：，，，，． 对于选项A：中位数是排序后处于中间位置的数，这组数据共5个，中间的数是第3个，即，故A错误； 对于选项B：平均数，故B正确； 对于选项C：众数是一组数据中出现次数最多的数，出现了2次，其余数均出现1次，故众数是，并非2，C错误； 对于选项D：，并非1，故D错误； 故选：B． 3．有一台机床生产某种零件，在10天中，每天生产次品的数量如下表： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 次品/件 1 1 3 2 2 0 3 1 2 0 求该机床这10天生产次品数量的平均数和方差． 【答案】1.5，1.05 【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键； 根据题干信息以及平均数和方差的公式进行计算即可． 【详解】解：（件）， ． 答：该机床这天生产次品数量的平均数为，方差为． 题型二、已知方差求未知数 4．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 5．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．由题意知这组数据为2、4、5、5，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、4、5、5， 所以这组数据的平均数为，①正确； 中位数为，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误； 故选：B． 6．已知一组数据的方差，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为9， 因此，有 ， 整理得， 即 ， 所以 ． 故答案为：25． 题型三、方差的意义 7．如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是掌握方差的意义． 根据平均气温统计图气温的波动大小进而得出方差大小即可． 【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的日平均气温波动较小，甲地的日平均气温波动较大； 故甲地的日平均气温的方差大于乙地的日平均气温的方差， 即， 故答案为：． 8．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，通过比较三人方差大小即可判断谁的成绩最稳定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲的成绩波动最小，成绩最稳定， 故选：A． 9．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，要从中选择一名优秀且发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择 甲 乙 丙 丁 平均数（） 183 183 182 182 方差 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义． 根据平均数和方差的意义，先比较平均数选择成绩较好的运动员，若平均数相同则比较方差选择成绩更稳定的运动员． 【详解】解：甲和乙的平均数均为，高于丙和丁的平均数， 乙的方差为，小于甲的方差， 因此乙的成绩更稳定， 故答案为：乙． 题型四、方差的应用 10．为了杜绝孩子溺水事件的发生，很多学校为此开设了与游泳相关的课程，下表记录了某校4名同学蛙泳成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（   ） 队员1 队员2 队员3 队员4 /秒 51 48 51 49 3.5 3.5 7.5 8.5 A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映游泳成绩的优劣（用时越短成绩越好），方差反映发挥的稳定性（方差越小，发挥越稳定）.需先依据平均数筛选出成绩好的队员，再从其中挑选方差小的队员． 【详解】解：∵游泳比赛中，完成时间越短，成绩越好， ∴对比4名队员的平均数：，可知队员2的成绩最优， 又∵方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 队员2的方差为3.5，是成绩较好的队员中方差最小的， ∴应选择队员2． 故选：B． 11．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查方差；根据方差越小，其稳定性也就越好进行求解即可． 【详解】解：因为甲、乙两名同学的平均分都是95分， 由，可知：，所以选择乙会更好； 故选：B． 12．射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下： 甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6； 乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9． 如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由． 【答案】选择甲运动员，理由见解析． 【分析】本题考查求平均数、方差，熟记方差公式是解答的关键． 先求得两名运动员测试成绩的平均数，再求得测试成绩的方差，然后根据方差越小，成绩越稳定可得结论． 【详解】解：选择甲运动员． 理由如下： 甲的平均数为， 乙的平均数为， ∴， ， ∴， ∴甲的成绩比较稳定， ∴选择甲运动员参加比赛． 题型五、离差平方和 13．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】数据2，3，4，5，6的平均数为． 离差平方和为． 故答案为：10． 14．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 15．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 16．如果数据3，5，，9，10的平均数是，那么这组数据的中位数与方差分别是 ． 【答案】5，8.8 【分析】根据平均数的定义列出方程求解的值，再计算中位数和方差． 【详解】解：由题意，数据的平均数为， 则， 即， 解得， 数据组为，排序后中位数为5，平均数为6，方差为． 故答案为5，8.8． 【点睛】本题考查了平均数，中位数和方差，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 1．在一次国际数学奥林匹克竞赛中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队团体总分为 ． 【答案】231 【分析】本题考查方差公式，根据题意得中国队6名队员的成绩分别为：两个42分，一个40分，两个36分，一个35分，再进行计算即可． 方差公式中明确给出了中国队6名队员的成绩分布，直接求和即可得到团体总分． 【详解】解：根据题意，中国队6名队员的成绩分别为：两个42分，一个40分，两个36分，一个35分， ∴团体总分为：． 故答案为231． 2．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是 ． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 3．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 4．求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 5．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【答案】(1)，，； (2)不同意，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可； （2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $