8.4.1平面课件(1)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1 平面(1) 第八章 立体几何初步 新课导入 前面我们认识了棱柱、棱锥、棱台等多面体，这些多面体由哪些元素构成？ 实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始． 新知探究 问题1 在初中平面几何中，我们对点和直线有了一定的认识，那么什么是平面？平面有怎样的特征？ 平面：几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的. 无限延展 不计厚薄 绝对的平 平面的特征 不计大小 (没有边界) (没有面积) (没有质量) 这些物体都给我们一种“平”的直观感受. 新知探究 问题2 如何画一个平面呢？ 与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． ①水平放置的平面 ②垂直放置的平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 图形语言： 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 新知探究 平面的表示 ①希腊字母等，将它们写在代表平面的平行四边形的一个角内. 如：平面α、平面β ②表示平面的平行四边形四个顶点字母 如：平面ABCD ③表示平面的平行四边形的相对的两个顶点字母表示 如：平面AC、平面BD A C B D 新知应用 例1 (1)(多选)下列说法正确的是（　AC　） A. 平面是绝对的平滑、无厚度、无限延展的抽象的数学概念 B. 平面的形状是平行四边形 C. 三角形、正六边形、圆也可以表示平面 D. 有一个平面的长是50 cm，宽是20 cm (2)下列说法正确的是（　D　） A. 平行四边形是一个平面 B. 任何一个平面图形都是一个平面 C. 平静的太平洋面就是一个平面 D. 一个平面可以将空间分成两部分 AC D 《三维设计》P55例1、P56训练1（2） 新知探究 问题3 直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合. 那么，点与直线、点与平面之间有哪些关系? 图形语言 文字语言 符号语言 A在线l上 A在线l外 A在面上 A在面外 A∈⁠l A⁠∉ A∈ A⁠∉l 新知探究 问题4 直线与直线、直线与平面之间有哪些关系? 图形语言 文字语言 符号语言 线l在面α内 线l在面α内 l,m相交于A l∩m=A m n m,n平行 m//n l⊂α l//α l∩α=A 例2 用符号表示下列语句，并画出相应的图形. (1)点A在平面α内，点B在平面α外，直线l与平面α相交于点A； (2)直线l和直线m相交于点P，且都在平面α内. 新知应用 A B α α l m P 新知探究 问题5 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车等． 由于三个支点在同一个平面上且不共线保证了三角支架的稳定性. 概念生成 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A C B 简记为：不共线的三点确定一个平面. 符号语言：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 作用：确定一个平面的依据！ 存在性 唯一性 新知探究 问题6 如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ 概念生成 符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α. 作用：①判断直线是否在一个平面内 ②判断点是否在平面内 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. α A • B • l n 新知探究 问题7 我们知道两点确定一条直线，结合基本事实1和2，能得到什么结论？ α m 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. l A • C • B • 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 作用：确定一个平面的依据！ 新知应用 题型一 点、线共面问题 《三维设计》P57训练3 例3 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1,l2,l3在同一平面内. 方法总结 证明点、线共面的常用方法 总结归纳 法一：先由部分点、直线确定一个平面，再证明其他点、直线也在这个平面内. 法二：先说明一些点、直线在一个平面内，另一些点、直线在另一个平面内，再证明两个平面重合. 新知应用 题型 点、线共面问题 例4 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a,b,c和l共面. 《三维设计》P57例3 证：∵a∥b，∴a,b确定一个平面α. ∵A∈a,B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 则a,b,l都在平面α内，即b在a,l确定的平面内. 同理可证c在a,l确定的平面内. ∵过a与l只能确定一个平面， ∴a,b,c,l共面于a,l确定的平面. 新知应用 题型 点、线共面问题 例5 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：C，E，D1，F四点共面. ∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面． 证: 连接EF，D1C，A1B， ∵E为AB的中点，F为AA1的中点， ∴EF∥A1B. ∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中A1B∥D1C， 1.平面的含义： 2.平面的性质： (1)平面的特征： (2)平面的表示： ①用希腊字母表示：平面、平面β、平面γ. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC. ①平 ②无厚薄 ③无限延展的 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. (2)基本事实2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”. (1)基本事实1 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 课堂小结 $