专题03 分式及其运算（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 分式及其运算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 分式的定义与基本性质 题型02 分式有、无意义与值为0的条件 题型03 分式的乘除运算 题型04 分式的加减运算 题型05 分式的化简与求值 题型06 分式代数推理 题型07 分式中的双整数问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 分式的定义与基本性质 典例引领 【典例01】（25江苏盐城·模考）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025•海安市校级模拟）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 1.判断一个式子是不是分式，区分整式与分式； 2.分式的基本性质是分式运算的理论基础，中考不单独出大题，但处处都在用，主要考： 1. （1）分式的约分、通分依据；（2）分子分母符号变化（符号法则）；（3）分式的系数化整（分子分母同乘一个数）；（4）判断分式变形是否正确（高频选择题）。 2. 3.隐藏考点：分式化简、分式方程的每一步都以它为依据。 方法技能 1.形如，其中：A、B 是整式B 中含有字母B=0满足以上才叫分式。 2.常见陷阱： · （1）分子分母同加、同减一个数 → 错误；（2）只乘分子不乘分母 → 错误； · （3）约去不是公因式的部分 → 错误；（4）没注明所乘整式≠0 → 不严谨。 3.把当成分式（错，π是常数）。 变式演练 【变式01】（2025•安州区模拟）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【变式02】（2025秋•工业园区期中）如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值　 　 ． 【变式03】（2025江苏泰州模考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 题型02 分式的有、无意义与值为0的条件 典例引领 【典例01】（2025•常州）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1 【典例02】（2025•常州二模）若代数式的值为0，则x的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 方法透视 考向解读 考向 1：分式有意义的条件 分式有意义 ⇨分母 ≠ 0； 考向 2：分式无意义的条件 分式无意义 ⇨分母 = 0 考向 2：分式的值为 0（中考最热考点） 标准步骤:令分子 = 0，解出 x,代入分母检验，排除使分母为 0 的值 方法技能 分母不等于 0，分式有意义； 分母等于 0，分式无意义； 分式值为 0，分子为 0 分母不为 0。 变式演练 【变式01】（2025•淮安）若分式有意义，则a的取值范围是　 ． 【变式02】（2025•南京）要使分式有意义，字母x，y须满足（　　） A．x≠y B．x≠﹣y C．x≥y D．x≥﹣y 题型03 分式的乘除运算 典例引领 【典例01】（2025秋•德州月考）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简（）”，其中“☀”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“☀”处的式子为　 　 ． 【典例02】（2025秋•如东县校级期末）计算的结果等于（　　） A． B． C．m+3 D．m﹣3 方法透视 考向解读 考向 1：分式乘除直接计算： 单项式分式相乘除，分子分母为多项式的乘除，多个分式连乘连除，考法：直接化简出最简结果。 考向 2：先因式分解，再乘除（中考最常考） 分子分母出现多项式时，必须先分解因式，再约分。常见分解：提公因式，平方差公式，完全平方公式，这一步是得分关键，不会分解就做不下去。 方法技能 口诀：一变二分解三约分四相乘 1. 变：除法变乘法（除变乘，倒式） 2. 分解：所有分子分母能因式分解的先分解 3. 约分：上下相同因式全部约掉 4. 相乘：剩下的分子乘分子，分母乘分母 2. 符号处理 · 奇数个负号 → 结果为负，偶数个负号 → 结果为正，能把首项化为正尽量先化正 3. 约分原则 · 只约分子与分母之间的公因式，不能跨分子约分、不能跨分母约分 4. 最终结果 · 必须是最简分式或整式，分子分母不再有公因式，一般不写带括号形式，写成乘积或单项式 变式演练 【变式01】（2025秋•上海期中）若整数x使式子的值为整数，则满足条件的x的值有_______个． 题型04 分式的加减运算 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·三模）化简：． 方法透视 考向解读 分式加减运算是初中代数运算的核心考点，是分式方程、函数等后续知识的基础，考查重点围绕运算法则、通分技巧、符号处理、化简求值、综合运算展开，题型覆盖选择、填空、解答，侧重运算能力与化归思想的考查。 方法技能 （一）同分母分式加减（基础必考） · 法则：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式 / 整式。 （二）异分母分式加减（核心难点） · 法则：先通分（化为同分母），再按同分母法则计算。 · 关键能力：确定最简公分母 1. 分母为单项式：取各分母系数最小公倍数、相同字母最高次幂、所有不同字母的积。 2. 分母为多项式：先因式分解，再按单项式规则确定。 · 通分准确性、因式分解熟练度、符号与去括号规范，是计算丢分重灾区。 变式演练 【变式01】（2025•广陵区一模）计算： ． 题型05 分式的化简与求值 典例引领 【典例02】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 方法透视 考向解读 考查重点： 1. 化简过程规范、运算准确 2. 判断分式有意义的条件（分母≠0） 3. 正确代入计算 3. 限定范围选值代入（高频陷阱） 方法技能 · 观察结构：分清加减乘除、括号位置 · 因式分解：所有能分解的分母、分子先分解 · 除法变乘法：除以一个分式 = 乘以它的倒数 · 约分：先约分再计算，简化运算 · 通分加减：统一分母，分子相加减 · 再次因式分解约分，化为最简分式 / 整式 · 确定取值范围：写出所有分母≠0 的条件 · 选值代入计算 变式演练 【变式01】（2025•淮安）先化简，再求值：，其中a1． 题型06 分式代数推理 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·模拟预测）（1）已知，计算的值； （2）已知，证明； （3）已知，且，则______． 方法透视 考向解读 分式代数推理，是近几年中考从 “纯计算” 转向 “逻辑说理”的高频考向，常出现在填空压轴、解答压轴小问，重点考查代数式变形、等式性质、分式有意义条件、分类讨论、反证思想，比单纯计算更看重逻辑严谨性。 方法技能 · 交叉相乘时忘记写分母不为 0 · 分式≥0 时，只写乘积≥0，漏掉分母≠0 · 比例变形时直接约分，未考虑字母为 0 的情况 · 符号推理时只讨论一种符号，漏解 · 推理跳跃太大，缺少关键依据，被扣分 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【变式02】已知： ， ． 当时，判断与0的关系，并说明理由； 题型07 分式中的双整数问题 典例引领 【典例01】（2025泰州·三模）若的值为整数，则整数的值为（    ） A．或 B． C． D． 方法透视 考向解读 分式中的双整数问题，是中考与竞赛里非常经典的一类中档小压轴题，全称一般是：分式的值为整数，且字母取整数，求字母的值或取值范围。核心考点：分式变形 + 因式分解 + 整数整除分析，属于 “看起来难，套路很固定” 的题型。 方法技能 · 分离常数：把分子凑出含分母的式子，拆成 “整数 + 真分式” · 化简：得到形如整数+含x的整式k​ · 分析整除：因为整体是整数，前面整数部分不影响，所以分母必须整除常数 k · 列方程：令分母 = k 的所有约数（正、负都要考虑） · 验分母：排除让原分式分母 = 0的 x 变式演练 【变式01】已知分式的值为整数，则满足条件的整数值有____________个． 【变式02】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________＋__________； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 题●型●训●练 1．（2025•宿迁）要使分式有意义，则x的取值范围是 　 ． 2．（2025•海门区一模）若分式的值为0，则x的值为 　 　 ． 3．（2025•宝应县二模）对于分式，当a、b满足　 条件时，此分式的值为0． 4．（2025秋•姑苏区校级期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（　　） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 5．（2025秋•新市区校级期末）若分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 6．（2025秋•常州期中）2025年9月9日正式通车的常泰大桥为斜拉索公路、铁路两用大桥，全长约10千米．现有一辆小汽车和一辆卡车同时从桥的一端驶向另一端，结果卡车用了x小时驶完全程，小汽车比卡车早y小时到达，则小汽车的速度比卡车快（　　） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 6．（2025秋•德州月考）　 　 ． 7．（2025秋•连云港校级期末）已知实数x满足，则分式的值为　 　 ． 8．（2025•苏州）先化简，再求值：（1）•，其中x＝﹣2． 9．（2025秋•姜堰区期末）小丽和小明在做一道练习题：已知a＞b＞0，试比较与的大小． 小丽说：“当a＝2，b＝1时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为a＝2，b＝1只是一个特例，不具有一般性．可以…”，请你将小明的做法补充完整． 10．（2025•无锡）先化简，再求值：，其中m＝3． 11．（2026•南京模拟）化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 12．（2025·辽宁抚顺·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 13．（2025•泗阳县二模）若ax＝by＝10z（其中a，b是正整数），且有，求2a+b的值． 14．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________________； (2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 15．（2025春•盐都区期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是ag，其中含有bg糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为． ①如果加入mg水，糖水的浓度变为 　　 ，因为糖水变淡，可以得到不等式 　　 ； ②如果加入ng糖，糖水的浓度变为 　　 ，因为糖水变甜，可以得到不等式 　　 ； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有a1g，a2g糖水，分别含糖b1g，b2g．它们浓度相同，则有． … 任务1：直接写出小明笔记当中的“_____”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是△ABC三边的长，则． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式及其运算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 分式的定义与基本性质 题型02 分式有、无意义与值为0的条件 题型03 分式的乘除运算 题型04 分式的加减运算 题型05 分式的化简与求值 题型06 分式代数推理 题型07 分式中的双整数问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 分式的定义与基本性质 典例引领 【典例01】（25江苏盐城·模考）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，只有式子是分式． 【典例02】（2025•海安市校级模拟）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 方法透视 考向解读 1.判断一个式子是不是分式，区分整式与分式； 2.分式的基本性质是分式运算的理论基础，中考不单独出大题，但处处都在用，主要考： 1. （1）分式的约分、通分依据；（2）分子分母符号变化（符号法则）；（3）分式的系数化整（分子分母同乘一个数）；（4）判断分式变形是否正确（高频选择题）。 2. 3.隐藏考点：分式化简、分式方程的每一步都以它为依据。 方法技能 1.形如，其中：A、B 是整式B 中含有字母B=0满足以上才叫分式。 2.常见陷阱： · （1）分子分母同加、同减一个数 → 错误；（2）只乘分子不乘分母 → 错误； · （3）约去不是公因式的部分 → 错误；（4）没注明所乘整式≠0 → 不严谨。 3.把当成分式（错，π是常数）。 变式演练 【变式01】（2025•安州区模拟）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】将m和n替换为2m和2n，重新计算分式的值，比较即可得解． 【详解】解：根据分式的基本性质将m和n替换为2m和2n可得： ， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 【变式02】（2025秋•工业园区期中）如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值　 　 ． 【答案】不变 【分析】依题意分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y， 得， 可见新分式与原分式的值相等． 故答案为：不变． 【变式03】（2025江苏泰州模考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 题型02 分式的有、无意义与值为0的条件 典例引领 【典例01】（2025•常州）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1 【答案】A 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，x+1≠0， 解得x≠﹣1． 故选：A． 【典例02】（2025•常州二模）若代数式的值为0，则x的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【答案】A 【分析】根据分母不为零和分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， x﹣2＝0且x﹣1≠0， 解得x＝2． 故选：A． 方法透视 考向解读 考向 1：分式有意义的条件 分式有意义 ⇨分母 ≠ 0； 考向 2：分式无意义的条件 分式无意义 ⇨分母 = 0 考向 2：分式的值为 0（中考最热考点） 标准步骤:令分子 = 0，解出 x,代入分母检验，排除使分母为 0 的值 方法技能 分母不等于 0，分式有意义； 分母等于 0，分式无意义； 分式值为 0，分子为 0 分母不为 0。 变式演练 【变式01】（2025•淮安）若分式有意义，则a的取值范围是　 ． 【答案】a≠1． 【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：根据分式有意义时分母不等于零可得：a﹣1≠0， 解得a≠1， 故答案为：a≠1． 【变式02】（2025•南京）要使分式有意义，字母x，y须满足（　　） A．x≠y B．x≠﹣y C．x≥y D．x≥﹣y 【答案】A 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可得出答案． 【详解】解：要使分式有意义， 则x﹣y≠0， 即x≠y， 故选：A． 题型03 分式的乘除运算 典例引领 【典例01】（2025秋•德州月考）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简（）”，其中“☀”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“☀”处的式子为　 　 ． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：•， 则“☀”处的式子为． 故答案为：． 【典例02】（2025秋•如东县校级期末）计算的结果等于（　　） A． B． C．m+3 D．m﹣3 【答案】C 【分析】利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ＝m+3． 故选：C． 方法透视 考向解读 考向 1：分式乘除直接计算： 单项式分式相乘除，分子分母为多项式的乘除，多个分式连乘连除，考法：直接化简出最简结果。 考向 2：先因式分解，再乘除（中考最常考） 分子分母出现多项式时，必须先分解因式，再约分。常见分解：提公因式，平方差公式，完全平方公式，这一步是得分关键，不会分解就做不下去。 方法技能 口诀：一变二分解三约分四相乘 1. 变：除法变乘法（除变乘，倒式） 2. 分解：所有分子分母能因式分解的先分解 3. 约分：上下相同因式全部约掉 4. 相乘：剩下的分子乘分子，分母乘分母 2. 符号处理 · 奇数个负号 → 结果为负，偶数个负号 → 结果为正，能把首项化为正尽量先化正 3. 约分原则 · 只约分子与分母之间的公因式，不能跨分子约分、不能跨分母约分 4. 最终结果 · 必须是最简分式或整式，分子分母不再有公因式，一般不写带括号形式，写成乘积或单项式 变式演练 【变式01】（2025秋•上海期中）若整数x使式子的值为整数，则满足条件的x的值有_______个． 【答案】1． 【分析】先化简分式，再求使该式为整数的整数x，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解：•， 的分母不为零，则x≠3，x≠﹣1， 的除式不为零，则x≠±1，x≠0， ∴x≠±1，x≠0，x≠3， 原式化简为，要使式子的值为整数，则x﹣1必须为2的约数，即x﹣1＝±1或±2， 解得x＝2，0，3，﹣1．又由x≠±1，x≠0，x≠3排除后，仅x＝2满足条件． 故答案为：1． 题型04 分式的加减运算 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·三模）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先通分，再作差，最后约分化简即可． 【详解】解：（1）， ， ， 或， 解得：． （2） ． 方法透视 考向解读 分式加减运算是初中代数运算的核心考点，是分式方程、函数等后续知识的基础，考查重点围绕运算法则、通分技巧、符号处理、化简求值、综合运算展开，题型覆盖选择、填空、解答，侧重运算能力与化归思想的考查。 方法技能 （一）同分母分式加减（基础必考） · 法则：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式 / 整式。 （二）异分母分式加减（核心难点） · 法则：先通分（化为同分母），再按同分母法则计算。 · 关键能力：确定最简公分母 1. 分母为单项式：取各分母系数最小公倍数、相同字母最高次幂、所有不同字母的积。 2. 分母为多项式：先因式分解，再按单项式规则确定。 · 通分准确性、因式分解熟练度、符号与去括号规范，是计算丢分重灾区。 变式演练 【变式01】（2025•广陵区一模）计算： ． 【答案】a+b 【分析】把第二个分式提取负号，进行分式加减，再把分式的分子分解公因式从而解得． 【解答】解：原式a+b． 故答案为：a+b． 题型05 分式的化简与求值 典例引领 【典例01】（2026•鼓楼区校级模拟）计算：（x﹣1）． 【答案】． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可详解． 【详解】解：（x﹣1） [（x+1）] • ． 【典例02】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【分析】根据分式混合运算法则计算即可化简，然后把符合题意的a的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 方法透视 考向解读 考查重点： 1. 化简过程规范、运算准确 2. 判断分式有意义的条件（分母≠0） 3. 正确代入计算 3. 限定范围选值代入（高频陷阱） 方法技能 · 观察结构：分清加减乘除、括号位置 · 因式分解：所有能分解的分母、分子先分解 · 除法变乘法：除以一个分式 = 乘以它的倒数 · 约分：先约分再计算，简化运算 · 通分加减：统一分母，分子相加减 · 再次因式分解约分，化为最简分式 / 整式 · 确定取值范围：写出所有分母≠0 的条件 · 选值代入计算 变式演练 【变式01】（2025•淮安）先化简，再求值：，其中a1． 【答案】；． 【分析】先算括号里面的，然后将除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 • ； 当a1时， 原式． 题型06 分式代数推理 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·模拟预测）（1）已知，计算的值； （2）已知，证明； （3）已知，且，则______． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． （1）先把所求分式进行通分，然后把代入化简后的式子进行计算即可； （2）把已知条件中的等式的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，从而证明即可； （3）先把 的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，再把，代入化简后的等式，从而得到关于，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 方法透视 考向解读 分式代数推理，是近几年中考从 “纯计算” 转向 “逻辑说理”的高频考向，常出现在填空压轴、解答压轴小问，重点考查代数式变形、等式性质、分式有意义条件、分类讨论、反证思想，比单纯计算更看重逻辑严谨性。 方法技能 · 交叉相乘时忘记写分母不为 0 · 分式≥0 时，只写乘积≥0，漏掉分母≠0 · 比例变形时直接约分，未考虑字母为 0 的情况 · 符号推理时只讨论一种符号，漏解 · 推理跳跃太大，缺少关键依据，被扣分 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【变式02】已知： ， ． 当时，判断与0的关系，并说明理由； 【答案】； 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，． ∴； 题型07 分式中的双整数问题 典例引领 【典例01】（2025泰州·三模）若的值为整数，则整数的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的加法运算法则得到，再根据分式的值为整数列方程即可解答． 【详解】解：∵的值为整数， ∴， 即是整数， ∴， ∴， ∵在， ∴， 故选：C． 方法透视 考向解读 分式中的双整数问题，是中考与竞赛里非常经典的一类中档小压轴题，全称一般是：分式的值为整数，且字母取整数，求字母的值或取值范围。核心考点：分式变形 + 因式分解 + 整数整除分析，属于 “看起来难，套路很固定” 的题型。 方法技能 · 分离常数：把分子凑出含分母的式子，拆成 “整数 + 真分式” · 化简：得到形如整数+含x的整式k​ · 分析整除：因为整体是整数，前面整数部分不影响，所以分母必须整除常数 k · 列方程：令分母 = k 的所有约数（正、负都要考虑） · 验分母：排除让原分式分母 = 0的 x 变式演练 【变式01】已知分式的值为整数，则满足条件的整数值有____________个． 【答案】4 【分析】将化为，根据题意得出的值为整数，即可得解． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∵x为整数， ∴，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握同分母分式的加法：分母不变，只把分子相加． 【变式02】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________＋__________； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）由原式可得； （3）将原式变形为，据此得出或，再根据分式有意义的条件，据此可得答案． 【详解】（1）解：①是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 题●型●训●练 1．（2025•宿迁）要使分式有意义，则x的取值范围是 　 ． 【答案】x≠1． 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x﹣1≠0， 解得x≠1． 故答案为：x≠1． 2．（2025•海门区一模）若分式的值为0，则x的值为 　 　 ． 【答案】1． 【分析】分式的值为零时，分子为零，分母不为零． 【详解】解：依题意得：x﹣1＝0且x+2≠0． 解得x＝1． 故答案为：1． 3．（2025•宝应县二模）对于分式，当a、b满足　 条件时，此分式的值为0． 【答案】b＝﹣3且a≠2． 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得b＝﹣3且a≠2． 故答案为：b＝﹣3且a≠2． 4．（2025秋•姑苏区校级期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（　　） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 所以分式有①③． 故选：A． 5．（2025秋•新市区校级期末）若分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 【答案】A 【分析】把分式中的x、y分别用3x，3y替换，求出替换后的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 6．（2025秋•常州期中）2025年9月9日正式通车的常泰大桥为斜拉索公路、铁路两用大桥，全长约10千米．现有一辆小汽车和一辆卡车同时从桥的一端驶向另一端，结果卡车用了x小时驶完全程，小汽车比卡车早y小时到达，则小汽车的速度比卡车快（　　） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【答案】C 【分析】根据题意，分别表示出小汽车和卡车的速度，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 卡车的速度为千米/时， 小汽车的速度为千米/时， 所以小汽车的速度比卡车块（）千米/时． 故选：C． 6．（2025秋•德州月考）　 　 ． 【答案】． 【分析】先分别计算两个幂的表达式，再通过乘法取倒数进行除法运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．（2025秋•连云港校级期末）已知实数x满足，则分式的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】由已知条件 ，可得 x2+1＝9x，即 x2＝9x﹣1．代入分式的分母可得 9x﹣1﹣5x+5＝4x+4．再化简分式即可得到结果． 【详解】解：由条件可得x2﹣9x+1＝0， ∴x2＝9x﹣1， ∴， 故答案为：． 8．（2025•苏州）先化简，再求值：（1）•，其中x＝﹣2． 【答案】；2． 【分析】将括号内的分式通分并计算，然后算乘法并约分，最后将已知数值代入化简结果中计算即可． 【详解】解：（1）• • ； 当x＝﹣2时， 原式2． 9．（2025秋•姜堰区期末）小丽和小明在做一道练习题：已知a＞b＞0，试比较与的大小． 小丽说：“当a＝2，b＝1时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为a＝2，b＝1只是一个特例，不具有一般性．可以…”，请你将小明的做法补充完整． 【答案】 ， ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0，a（a+1）＞0， ∴， ． 【分析】利用作差法，计算，若差值大于0，说明；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明． 【详解】解： ， ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0，a（a+1）＞0， ∴， ． 10．（2025•无锡）先化简，再求值：，其中m＝3． 【答案】m﹣1，2． 【分析】利用同分母分式的加法法则详解即可． 【详解】解：原式 ＝m﹣1． 当m＝3时， 原式＝3﹣1＝2． 11．（2026•南京模拟）化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 【答案】x+1；它的值不能为0，理由见解析． 【分析】将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法，最后再约分，根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】解：原式• • ＝x+1， 它的值不能为0，理由如下： ∵x≠0且x2﹣1≠0， ∴x≠0且x≠±1， ∴x+1≠0． 12．（2025·辽宁抚顺·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，进行乘法计算，再进行分式的减法计算，然后将化为，再代入求值． 【详解】解：原式， ， ∵， ∴， ∴原式． 13．（2025•泗阳县二模）若ax＝by＝10z（其中a，b是正整数），且有，求2a+b的值． 【答案】9或12． 【分析】设ax＝by＝10z＝k，利用有理数的乘方的逆运算得到a，b，10，利用同底数幂的乘法法则与已知条件得到ab10，再利用正整数的特征求得a，b，最后代入运算即可． 【详解】解：设ax＝by＝10z＝k， ∴a，b，10， ∴ab． ∵， ∴ab10， ∵a，b是正整数， ∴a＝2，b＝5或a＝5，b＝2．a＝1，b＝10或a＝10，b＝1． 当a＝1或b＝1时，k＝1， 则10的z次方为1，即z＝0， 又∵z为分母不等于0， ∴a、b皆不等于1， ∴a＝2，b＝5或a＝5，b＝2． ∴2a+b的值是2×2+5＝9或2×5+2＝12． ∴2a+b的值是9或12． 故答案为：9或12． 14．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________________； (2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）根据前4个等式即可写出第5个等式； （2）由（1）中规律得：第个等式：，根据分式的加减运算分别计算左右两边，即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： （2）解：由（1）中规律得：第个等式：，证明如下： 左边 右边 ， ∴左边右边． 15．（2025春•盐都区期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是ag，其中含有bg糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为． ①如果加入mg水，糖水的浓度变为 　　 ，因为糖水变淡，可以得到不等式 　　 ； ②如果加入ng糖，糖水的浓度变为 　　 ，因为糖水变甜，可以得到不等式 　　 ； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有a1g，a2g糖水，分别含糖b1g，b2g．它们浓度相同，则有． … 任务1：直接写出小明笔记当中的“_____”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是△ABC三边的长，则． 【答案】任务1：，，，； 任务2：见解析； 任务3：见解析； 任务4：见解析． 【分析】任务1：根据浓度，直接求解即可； 任务2：利用作差法比较大小即可； 任务3：求出混合后的浓度，根据b1＝ka1，b2＝ka2，即可得到k，则浓度不变； 任务4：由现象1可知，，，由现象2可知，，，即可证明． 【详解】任务1：解：原来的糖水总质量是ag，其中含有bg糖，加入mg水，则浓度为， ∵糖水变淡了， ∴， 如果加入ng糖，糖水的浓度变为， ∵糖水变甜， ∴， 故答案为：，，，； 任务2：证明：， ∵a＞b＞0， ∴0， ∴； 任务3：证明：∵在两个杯子中分别盛有a1g，a2g糖水，分别含糖b1g，b2g， ∴混合后的浓度， ∵， ∴b1＝ka1，b2＝ka2， ∴k， ∴浓度不变； 任务4：证明：由现象1，，，， ∴1； 由现象2，，，， ∴2； ∴． 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $