精品解析：江西南昌县莲塘第一中学2024届高三第二次质量调查（二模）数学试题试卷

江西省南昌县莲塘一中2023年高三第二次质量调查（二模） 数学试卷 注意事项 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如果实数满足条件，那么的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在（单位：元）的同学有34人,则的值为（ ） A. 900 B. 1000 C. 90 D. 100 5. 已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 7. 若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100= A. 132 B. 299 C. 68 D. 99 9. 在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为 A. B. C. D. 10. 若实数满足不等式组则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 11. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 已知集合，，，则 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____. 14. 已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____. 15. 已知，，且，则的最小值是______. 16. 已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数，. （1）当为何值时，轴为曲线的切线； （2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点，作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 19. （某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元. （1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏； （2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率． ①写出P0，P8的值； ②求决赛甲获胜的概率． 20. 已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，. （1）求数列的前n项和； （2）若，求数列的前n项和为. 21. 在锐角中，分别是角的对边，，，且． （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 22. 设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省南昌县莲塘一中2023年高三第二次质量调查（二模） 数学试卷 注意事项 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解. 【详解】 如图所示，函数与的图象， 因为时，恒成立， 于是两函数必须有相同的零点， 所以 ， 解得． 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先由欧拉公式计算可得，然后根据复数的几何意义作出判断即可. 【详解】根据题意，故，对应点，在第一象限. 故选：A. 3. 如果实数满足条件，那么的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当直线过点时，最大，故选B 4. 某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在（单位：元）的同学有34人,则的值为（ ） A. 900 B. 1000 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在（单位：元）的同学有34人,即得解 【详解】由题意,支出在（单位：元）的同学有34人 由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为 ． 故选：D 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题. 5. 已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率 【详解】解：抛物线经过点 ，， ，， 故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 6. 已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”， “”“”. 因此，“” 是“”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 7. 若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示： 将线性目标函数化为， 则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，； 当经过时，截距最大值，， 所以线性目标函数的取值范围为， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 8. 数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100= A. 132 B. 299 C. 68 D. 99 【答案】B 【解析】 【分析】 由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求. 【详解】对任意的，均有为定值， ， 故， 是以3为周期的数列， 故， . 故选：. 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题. 9. 在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角． 【详解】连接，，如图： 又，则为异面直线与所成的角. 因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面， ∴， 又，，∴， ∴，解得. 故选C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 10. 若实数满足不等式组则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值． 【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分） 由得， 由得，平移， 易知过点时直线在上截距最小， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 11. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性可判断选项C、D错误，又根据单调性可判断选项B错误，从而可得答案. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为，所以，所以是偶函数，排除C和D； 当时，，，令，则， 令，，所以在单调递增， 因为，所以由可得， 所以时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以B错误. 12. 已知集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得. 【详解】由，得，所以，所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____. 【答案】5 【解析】 【分析】由抛物线的定义得出，进而得出，从而得出△PMF周长的最小值. 【详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3） 抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2. 过作准线的垂线，垂足为，则有 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以△PMF的周长最小值为55. 故答案为：5. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用抛物线的定义得出，进而当三点共线时，最小. 14. 已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为， 由抛物线定义知，，解得， 不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1， 又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得， 点F到双曲线的渐近线的距离. 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 15. 已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 16. 已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由正弦定理得， ，． 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数，. （1）当为何值时，轴为曲线的切线； （2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数. 【答案】（1）； （2）当或时，函数只有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值； （2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数. 【详解】（1），， 设曲线与轴相切于点，则， 即，解得. 所以，当时，轴为曲线的切线； （2）令，， 则，，由，得. 当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数. ，. ①当，即当时，函数有一个零点； ②当，即当时，函数有两个零点； ③当，即当时，函数有三个零点； ④当，即当时，函数有两个零点； ⑤当，即当时，函数只有一个零点. 综上所述，当或时，函数只有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点，作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，. 【解析】 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出，，由此能求出椭圆的方程； （Ⅱ）假设存在点满足题设条件，分与轴重合和与轴不重合两种情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果． 【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，，又， 解得，， 所以，椭圆的方程为． （Ⅱ）存在轴上在定点，使得直线与直线恰关于轴对称， 设直线的方程为，与椭圆联立可得． 设，，，，假设在轴上存在定点． ，． 与关于轴对称，， 即， ， ， ． 在轴上存在定点，．使得直线与直线恰关于轴对称． 特别地，当直线是轴时，点，．也使得直线与直线恰关于轴对称． 综上，在轴上存在定点，．使得直线与直线恰关于轴对称． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 19. （某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元. （1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏； （2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率． ①写出P0，P8的值； ②求决赛甲获胜的概率． 【答案】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，随机变量，的分布列分别为 10 5 2 10 5 2 所以，，所以，即乙的技术更好. （2）①，； ② 【解析】 【分析】（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可； （2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案. 【小问1详解】 （1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元， 随机变量，的分布列分别为 10 5 2 10 5 2 所以，， 所以，即乙的技术更好. 【小问2详解】 （2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以， 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以； ②设每轮比赛甲得分为，则 每轮比赛甲得1分的概率， 甲得0分的概率， 甲得分的概率， 所以甲得时，最终获胜有以下三种情况： （1）下一轮得1分并最终获胜，概率为； （2）下一轮得0分并最终获胜，概率为； （3）下一轮得分并最终获胜，概率为； 所以， 所以是等差数列， 则， 即决赛甲获胜的概率是. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目. 20. 已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，. （1）求数列的前n项和； （2）若，求数列的前n项和为. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解. （2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1），且，，依次成等比数列，， 即：，，， ，， ； （2）， . 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题. 21. 在锐角中，分别是角的对边，，，且． （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到； （2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域. 【详解】（1），， 由正弦定理得：， 即， ，，， 又，. （2）在锐角中，，． ． ，，，， 函数的值域为． 【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识. 22. 设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程. （2）不妨设，且，设，代入 数据化简得到 ，故，得到答案. 【详解】（1），所以，，化简得， 所以，，所以方程为； （2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设， 所以由，得， 所以， 由，得，代入， 化简得：， 由于，所以，同理可得， 所以，所以当时，最小为 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $