专题13 平面向量精选压轴60题12类考点专练（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题13 平面向量精选压轴60题12类考点专练 （期中复习专项训练） 选填小压轴 解答压轴 题型1 向量加减法则的几何应用 题型10 用基底表示向量求算问题 题型2 向量的线性运算几何应用 题型11 向量与几何最值问题 题型3 三角形的心的向量表示 题型12 用向量解决夹角问题 题型4 向量夹角的计算 题型5 垂直关系的向量表示 题型6 平面向量共线定理的考察 题型7 由向量线性运算，解决最值和范围问题 题型8 由向量共线，求参数 题型9 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型一 向量加减法则的几何应用（共5小题） 1．如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 4．八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 5．在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在的投影向量 D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 题型二 向量的线性运算几何应用（共5小题） 6．已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 9．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 10．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形的心的向量表示（共5小题） 11．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 12．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 13．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 14．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的__________.（选填：外心、内心、垂心、重心） 15．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 题型四 向量夹角的计算（共5小题） 16．已知向量，满足，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 17．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（   ） A．若，则点为的重心 B．若．则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．在中，且，则为等边三角形 18．已知平面内两个不共线的向量和，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．9 C．3或9 D．3或 20．已知向量，，其中，若与夹角为钝角，求实数k的取值范围________． 题型五 垂直关系的向量表示（共5小题） 21．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．设为非零向量，若，则 B．若，则或 C．若点为的重心，则 D．设为非零向量，则 22．已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 （   ） A． B． C． D． 23．在中，已知，，，设为线段上一动点，则的最小值为______. 24．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．任意向量，满足 B．若且，则 C．若非零向量满足，则 D．任意两个非零向量和，向量与向量垂直 25．已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（    ） A．2 B． C．3 D．0 题型六 平面向量共线定理的考察（共5小题） 26．如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 27．如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 29．如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________． 30．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型七 由向量线性运算，解决最值和范围问题（共5小题） 31．如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 32．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 33．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 34．（多选）如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 35．已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 由向量共线，求参数（共5小题） 36．已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为钝角，则 37．已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 38．已知平面向量，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．若在方向上的投影向量为，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 39．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．的单位向量为 B．若，则的值为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 40．已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 题型九 向量坐标的线性运算解决几何问题（共5小题） 41．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 42．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 43．在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 44．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 45．我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为__________；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为__________. 题型十 用基底表示向量求算问题（共5小题） 46．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3． 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． (1)用分别表示; (2)如果=，=，求λ+3μ的最小值． 47．如图，在边长为1的正中，E、F分别是边AB，AC上的点，若，，．设EF的中点为M，BC的中点为N． (1)若，，请用表示； (2)若A，M，N三点共线，求证：； (3)若，求的最小值． 48．如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值． 49．如图，在中，是的中点，是线段上的动点，；过点的直线与边，分别相交于点P，Q.设，. (1)若，.求x，y的值； (2)若，求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，四点共圆，求实数的取值范围. 50．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） 题型十一 向量与几何最值问题（共5小题） 51．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 52．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 53．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在第一象限，求的取值范围． 54．如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 55．如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 题型十二 用向量解决夹角问题（共5小题） 56．如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 57．如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 58．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 59．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 60．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 1．已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 5．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 6．在中，，分别是，上的点，与交于，且，，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的模为 7．在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 8．梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 9．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 10．已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 11．如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，． (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为2的等边三角形，求的最小值． 12．如图所示，在中，，，，，． (1)用表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若O是内一点，且满足（），求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 平面向量精选压轴60题12类考点专练 （期中复习专项训练） 选填小压轴 解答压轴 题型1 向量加减法则的几何应用 题型10 用基底表示向量求算问题 题型2 向量的线性运算几何应用 题型11 向量与几何最值问题 题型3 三角形的心的向量表示 题型12 用向量解决夹角问题 题型4 向量夹角的计算 题型5 垂直关系的向量表示 题型6 平面向量共线定理的考察 题型7 由向量线性运算，解决最值和范围问题 题型8 由向量共线，求参数 题型9 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型一 向量加减法则的几何应用（共5小题） 1．如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 2．如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 3．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 4．八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 5．在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在的投影向量 D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】对选项A，B，用平面向量的加减法即可；对C，首先根据已知得到AD为的平分线，即，再利用平面向量投影的概念判断即可；对D，首先根据A，P，D三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，再利用二次函数的性质即可. 【详解】 如图所示：对选项A，， 故A错误； 对选项B， ， 故B正确； 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量， 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量. 因为， 所以为的平分线， 又因为为的中线，所以， 如上图所示：在的投影为， 所以是在的投影向量，故选项C正确； 对选项D， 如上图所示： 因为在上，即三点共线， 设，.   又因为，所以. 因为，则，. 令， 当时，取得最大值为.故选项D正确； 故选：BCD 题型二 向量的线性运算几何应用（共5小题） 6．已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 7．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据相似易得，再根据平面向量的线性运算可得，求出，进而求解即可. 【详解】连接，由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则，故， 又，所以，则. 8．在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，易知M为AC的中点，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，易得，可得，，，故C正确； 对于D，当P与M重合时，，，这与矛盾，故D错误．故选BC． 9．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 10．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 题型三 三角形的心的向量表示（共5小题） 11．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 12．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 13．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 14．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的__________.（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【分析】过作，垂足为，取中点为，连接，根据向量的线性运算，即可判断. 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 15．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】B 【分析】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出是的内心. 【详解】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示， 由于， 根据奔驰定理就有： ， 即， 因此，故点是的内心，B选项正确. 故选：B    题型四 向量夹角的计算（共5小题） 16．已知向量，满足，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将平方，结合数量积的定义和运算性质化简得出关于的一元二次不等式，结合一元二次不等式恒成立求解. 【详解】由得，即， 则， 因为，所以， 即 因为对一切实数x，恒成立，所以， 得， 因为，所以， 故，的夹角的大小为. 17．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（   ） A．若，则点为的重心 B．若．则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．在中，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【详解】对于A，如图 因为，所以，取中点， 则有，所以点三点共线，则为三角形中线， 同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确. 对于B，因为，所以， 所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确 对于C，由B可知，选项C错误. 对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 由平行四边形法则，在的角平分线上， 又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形， 又因为， 所以，所以， 所以为等边三角形，D正确. 18．已知平面内两个不共线的向量和，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 向量与夹角为钝角，则数量积小于0且两向量不反向，即， 展开：  代入：， 再排除共线或反向的情况：若两向量共线反向，则，整理得，， 由于不共线，则系数必为，即，代入，故时需排除， 综上所述，解得的范围为. 19．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．9 C．3或9 D．3或 【答案】C 【分析】利用平方展开原式，结合向量的模分别求解两两夹角为和时的值即可. 【详解】 当两两夹角为时，，可得： 所以. 当两两夹角为时，，可得： ， 所以， 故或. 20．已知向量，，其中，若与夹角为钝角，求实数k的取值范围________． 【答案】 【详解】已知与夹角为钝角，则且不共线， ，解得； 两向量共线时：，即，解得， 不共线，则， 综上可得，实数k的取值范围是． 题型五 垂直关系的向量表示（共5小题） 21．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．设为非零向量，若，则 B．若，则或 C．若点为的重心，则 D．设为非零向量，则 【答案】AC 【详解】对于A，若， 则，故A正确； 对于B，表示是的倍， 或表示与共线，且是的倍，故B错； 对于C，如图，设为的中点，点为的重心， 则，即，所以，故C正确； 对于D，， 所以与不一定相等，故D错误； 22．已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积的运算及运算律求解即可. 【详解】因为，，且， 所以， 代入得. 又， 则，解得. 23．在中，已知，，，设为线段上一动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据向量的几何关系得到为等腰三角形，，，结合向量数量积的运算律及三角形面积公式求解即可. 【详解】由知，， 故，则为等腰三角形. 设的中点为，则，所以. 又，即，所以， ， 当时，. 故. 24．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．任意向量，满足 B．若且，则 C．若非零向量满足，则 D．任意两个非零向量和，向量与向量垂直 【答案】AD 【分析】利用向量的运算律，向量数量积运算，向量垂直的性质即可作出判断． 【详解】解：对于A，根据向量数量积的分配律成立，故A正确； 对于B，由可得， 因为，所以，所以不一定成立， 举反例：如此时，故B错误； 对于C，若非零向量满足，方向相同或方向相反， 当方向相同时，，； 当方向相反时，，，故C错误； 对于D，由于， 所以向量与向量垂直，故D正确． 25．已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（    ） A．2 B． C．3 D．0 【答案】C 【分析】先根据向量垂直求出，然后对不等式进行平方化简，根据二次函数的性质得到结果. 【详解】因为非零向量，满足，， 所以，即. 所以. 由于对，恒成立，不等式两边平方得. 化简得，设，， 则不等式变为. 要使得不等式恒成立，则判别式， 化简得，解得，即. 题型六 平面向量共线定理的考察（共5小题） 26．如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 , 设，则， 因为三点共线，所以，得， 则， 故，则. 27．如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 28．在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得. 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为，所以,所以为中点， 所以， 所以． 因为，， 所以， 又，所以． 在斜三角形中，，所以，则．所以A正确． 29．如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________． 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得t的最小值. 【详解】由题意，又共线，则， ，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为. 30．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 题型七 由向量线性运算，解决最值和范围问题（共5小题） 31．如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】延长交于点，则是等边三角形，． 四边形是平行四边形，，所以． 在线段上取点，使得，所以． 过点作，分别交于点,， 则,分别为的中点． 因为，所以， ．因为为内一点， 所以，即，所以，解得． 32．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    33．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 【答案】C 【分析】先求出，设为中点，进而可以用向量表示出，结合数量积运算律即可解求． 【详解】因为，，， 由，所以，所以． ， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以 故选：C. 34．（多选）如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则可以写出各个点的坐标，再设，则，由题干条件和向量的坐标运算把用表示，由此可分析各个选项正误. 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设，则， 设，则，由于，所以， 整理得，则． 对于A，当M为的中点时，，故，故A正确； 对于B，， 由于，当时，取最大值为，故B错误； 对于C，由于，所以，故的取值范围为，故C正确； 对于D，，故的取值范围为，故D错误． 故选：AC. 35．已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【详解】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 题型八 由向量共线，求参数（共5小题） 36．已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为钝角，则 【答案】AC 【分析】利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确； 对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确； 对于D选项，依题意，，且，， 故，故D选项错误. 37．已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】，， 若，，三点共线，则，解得. 38．已知平面向量，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．若在方向上的投影向量为，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据向量平行列方程求，即可判断，对于B，根据投影向量定义列方程求，即可判断，对于C，根据投影向量定义求投影向量即可判断，对于D，根据数量积的性质列不等式求的范围即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以 或，A错误； 对于B，由已知， 所以，故， 又，​， 所以，故， 解得或，B错误， 对于C，当时，， 在方向的投影向量为， 又， ， 所以在方向的投影向量为，C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，所以，且不反向平行， 由 ，解得， 由可得或， 当时，，反向平行，夹角不是钝角， 当时，，方向相同， 所以若和的夹角为钝角，则的取值范围为，D错误. 39．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．的单位向量为 B．若，则的值为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据的单位向量为即可判断A；由向量平行的坐标表示即可判断B；根据在方向上的投影向量的模为，得到方程求解即可判断C；根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D． 【详解】的单位向量为，故A错误； 由，可得，解得，故B正确； 因在方向上的投影向量的模为， 则，解得或，故C正确； 若与夹角为钝角，则且与不共线， 所以且，故D错误． 40．已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：若，则，所以，故B正确； 对于C：因为向量，， 所以， 所以，即，故C错误； 对于D：若与方向相反，则， 所以在上的投影向量的坐标是，故D正确. 题型九 向量坐标的线性运算解决几何问题（共5小题） 41．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 42．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 43．在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 44．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 45．我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为__________；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为__________. 【答案】 5 10 【分析】建立坐标系，根据每次行走只能按向量或行走，列方程得，即可求解. 【详解】以“马”的初始位置为原点，棋盘的横竖两边为轴建立坐标系， 以题意可得：“马”每次只能按向量或行走， 设落点为（），按上述两个向量前进的此时分别为， 则 所以，即     第一空：由于，所以， 第二空：由于所以 又为3的倍数，且只能往右前方前进，所以 当时，此时对应的点有，, 当时，此时对应的点有， 当时，此时对应的点有， 当时，此时对应的点有 综上可得，共有10种情况， 故答案为：5，10 题型十 用基底表示向量求算问题（共5小题） 46．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3． 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． (1)用分别表示; (2)如果=，=，求λ+3μ的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）由=，所以， 可得； （2）因为，，所以，由图可知， 又因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 47．如图，在边长为1的正中，E、F分别是边AB，AC上的点，若，，．设EF的中点为M，BC的中点为N． (1)若，，请用表示； (2)若A，M，N三点共线，求证：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由中线向量性质及向量的线性运算求解即可； （2）由向量共线定理及平面向量基本定理即得； （3）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得. 【详解】（1）因为，，EF的中点为M， 所以． （2）由A，M，N三点共线，得∥，设， 即， 所以，所以由平面向量基本定理得． （3）因为，，，EF的中点为M，BC的中点为N ， 所以, 又，所以， 所以 ， 故当时，． 48．如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值. 【详解】（1）解：， ； （2）解：因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以，解得． （3）解：因为点E是线段AC上的动点，设， 因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 49．如图，在中，是的中点，是线段上的动点，；过点的直线与边，分别相交于点P，Q.设，. (1)若，.求x，y的值； (2)若，求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，四点共圆，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的加减运算求出即可； （2）先利用向量的加减运算求出，根据三点共线以及基本不等式求出； （3）利用三点共线得出，再根据四点共圆得出，求一元二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为点是的中点，所以， 因为，所以， 所以，. （2）因为，， 所以， 又O，P，Q三点共线，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，可得，时取等号. （3）， 又O，P，Q三点共线，所以，即； 因为是边长为1的等边三角形，D是的中点，所以， 因为， 则， 则， 同理可得，， 因为四点共圆，，所以， 所以， 则， 因为，所以， 所以， 因为，，得, 故实数的取值范围为. 50．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算求解. （2）根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量推理得证. （3）根据给定条件，利用向量的线性运算及向量基本定理列式求解. 【详解】（1）依题意，，而，所以， . （2）， 因此与平行，又与有公共点C， 所以C，D，E三点共线. （3）由，得， 由与共线，得存在实数，使得， 即，而向量不共线，则，解得， 所以. 题型十一 向量与几何最值问题（共5小题） 51．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【详解】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，    故，； （2）为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 52．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 53．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在第一象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得到点的轨迹即可求解. 【详解】设，则，，，． 将顺时针旋转，则， 则有即 所以点的轨迹方程为． 由题意， 所以， . 54．如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)8 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 55．如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据及即可求解； （2）设，可得，根据三点共线可求，又根据，即可得实数的值； （3）设，可得是的中心，故，根据三点共线，得.由，，可得，根据及基本不等式求出的最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以 . （2）设，由（1）得， 所以, 即. 因为三点共线，所以，解得, 所以， 又. 所以，解得. （3）设， 因为分别是的中点，所以是的重心， 所以. 因为三点共线，所以，即. 所以，， 所以. 因为，所以，即, 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 题型十二 用向量解决夹角问题（共5小题） 56．如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小； （2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值． 【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 57．如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 58．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 59．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 60．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      1．已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，由题可得三点共线，时，最小，据此可得，根据数量积的运算律求结论. 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 2．设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 3．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的减法运算及向量模的不等式，数量积的性质与运算求解. 【详解】， ， 因为等边三角形的边长是， 所以， 所以，又， 故， 即. 4．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，， 在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为. 取，所以， 所以. 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上. 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 5．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由条件先判断出是的重心，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】因为是内一点，且，所以为的重心. 又因为点在内，所以考虑在边界上取值情况， 当点与点重合时，最小， 此时， 所以，即； 当点与点重合时，最大， 此时，所以，即. 因为点在内且不含边界，所以， 所以的值可能为. 6．在中，，分别是，上的点，与交于，且，，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的模为 【答案】BCD 【分析】根据向量运算法则得到为等边三角形，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用相关公式进行计算. 【详解】，故为的中点，又， 故， 故⊥，则⊥，则， 同理，根据可得，， 故，为等边三角形，，， A选项，建立如图所示的坐标系，过点作⊥于点， 则，解得，，故， 故，，， 故，A错误； B选项，， 因为，所以，故， 故，则，故，B正确； C选项，， 故， 则，C正确； D选项，，， 则在方向上的投影向量的模为，D正确. 7．在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 【答案】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设出相关点坐标，利用向量的线性关系与向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，使在轴上，建立平面直角坐标系， 则，，因，可设，， 因为三等分点（靠近点），则， 根据，可得，即， 解得，于是. 8．梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质即可. 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设，由， ， 则， ， 令，则， ， 当时，有. 9．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先建立直角坐标系求出各点坐标和向量坐标，再计算向量数量积转化为与横坐标相关式子，最后确定横坐标范围从而得出数量积取值范围. 【详解】由题意可得，大三角形为等边三角形， 又因为，且等边三角形， 所以，又因为，所以， 作垂直于直线于， 在直角中，， 所以，， 作垂直于直线于，根据等腰梯形的对称性可得： ，即， 所以大三角形的边长为4，， 以为原点，为轴，垂直于为轴，建立直角坐标系， 则，， 所以，作垂直于直线于， 在三角形中，， ，所以， 平移直线到，则， 所以，作垂直于直线于， 在三角形中，， ，所以， 根据图形关系可得，等腰梯形满足：，，腰长均为， 则，设，则， 因此：问题转化为求点横坐标的范围， 又因为等腰梯形最小横坐标为，最大横坐标为， 且对梯形内任意点，， 因此，即的取值范围是. 10．已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 11．如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，． (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为2的等边三角形，求的最小值． 【答案】(1)；(2)4(3) 【分析】（1）根据题意，得到，得到的值，即可求解； （2）由（1）得，根据三点共线，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）设，利用向量的运算法则，根据，化简得到，且，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为Q为NP的中点，所以， 又因为O为MQ的中点，所以， 因为，所以，，所以． （2）由（1）得：， 因为三点共线，所以，即， 因， 当且仅当,即，时取等号，所以的最小值为4． （3）设，则，． 因为，所以， ， 可得， ， 所以． 由（2）知，，即， 因为， 则 ， 又由，解得，当且仅当时取等号． 故当时，取得最小值，最小值为． 12．如图所示，在中，，，，，． (1)用表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若O是内一点，且满足（），求的最小值． 【答案】(1)；； (2)存在， (3) 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【详解】（1）由题意可得：；； 且. （2）由题意可知：，，， 设， 因为， 因为，则， 可得 即，解得， 所以存在点，使得. （3）因为，则， 因为，则， 可得，即， 则，可知三点共线， 且， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 则， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 64 / 64 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $