专题17 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题（压轴题3大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题17 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、路径最短问题 1 类型二、截面问题 3 类型三、轨迹问题 5 压轴专练 8 类型一、路径最短问题 最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 2．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 类型二、截面问题 1、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 1．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 2．平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3．（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京·期末）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A．16 B． C．18 D． 6．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 类型三、轨迹问题 一、平行有关的轨迹问题的解题策略 1、线面平行转化为面面平行得轨迹; 2、平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. 二、垂直有关的轨迹问题的解题策略 1、可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2、利用空间坐标运算求轨迹; 3、利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 三、其他轨迹问题 ①距离有关的轨迹问题的解题策略 1、距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2、利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1、直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2、直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3、利用空间坐标系计算求轨迹. ③翻折有关的轨迹问题的解题策略 1、翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2、翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3、可以利用空间坐标运算求轨迹 1．（24-25高一下·河南·月考）如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 2．在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北邢台·月考）已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 8．（24-25高一下·吉林·期末）已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 1．（24-25高一下·河北雄安·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·月考）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（   ）    A． B． C． D．6 5．（24-25高一上·上海·期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 7．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 10．已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 11．如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 14．在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 16．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 17．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 18．（多选题）（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 19．（多选题）（24-25高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥的体积为定值 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D．若直线平面，则点P的轨迹长度为 20．（多选题）（23-24高一下·陕西西安·月考）已知正方体的棱长为2，点为平面上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当点在棱上，的最小值为 C．当点在正方形内，若与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为 D．当点在棱（不含顶点）上，平面截此正方体所得的截面为梯形 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、路径最短问题 1 类型二、截面问题 8 类型三、轨迹问题 14 压轴专练 23 类型一、路径最短问题 最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 2．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 4．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 5．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 6．（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面、平面延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线时，取最小值，结合勾股定理可求得结果. 【详解】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为. 故选：D. 7．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 类型二、截面问题 1、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 1．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 2．平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 3．（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 4．（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 5．（23-24高一下·北京·期末）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A．16 B． C．18 D． 【答案】C 【分析】首先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积. 【详解】取的中点的中点，连接，，， ，所以四点共面， 如图所示. ，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面， 易得， 所以四边形的面积. 故选：C. 6．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 7．（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 类型三、轨迹问题 一、平行有关的轨迹问题的解题策略 1、线面平行转化为面面平行得轨迹; 2、平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. 二、垂直有关的轨迹问题的解题策略 1、可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2、利用空间坐标运算求轨迹; 3、利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 三、其他轨迹问题 ①距离有关的轨迹问题的解题策略 1、距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2、利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1、直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2、直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3、利用空间坐标系计算求轨迹. ③翻折有关的轨迹问题的解题策略 1、翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2、翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3、可以利用空间坐标运算求轨迹 1．（24-25高一下·河南·月考）如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，可得，记圆弧与正方形的边的交点为，连接，进而计算可得，可求得点的轨迹的长度. 【详解】取的中点，连接， 因为是棱的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，， 又因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在平面的圆弧， 记圆弧与正方形的边的交点为，连接， 由对称性可得，又， 所以，所以可得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为. 故选：C. 2．在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令正方形中心为，取中点，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质探求轨迹的形状，进而求出其长度. 【详解】在正四棱锥中，令正方形中心为，取中点，连接， 取中点，连接，则，由平面， 平面，则平面，由，得， ，又平面， 因此，，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形及内部的圆弧，显然， 则，而点是的轨迹的端点，于是点的轨迹是半径的半圆， 所以点M的轨迹长度是. 故选：A 3．已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接球的半径为，根据题意，求得，点到平面的距离为，得到 所以点在平行于平面的平面上，再求得外接球的球心到平面的距离为，得到点的轨迹为以为半径的圆，结合圆的周长公式，即可求解. 【详解】如图所示，设外接球的半径为，则由外接球的体积为，解得， 因为，所以，所以， 所以，设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面的平面上， 因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为，即， 所以球心到点所在平面的距离为，即， 在直角中，可得, 所以点的轨迹为以为半径的圆， 所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 4．（24-25高一下·河北邢台·月考）已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四面体补形成长方体中，为空间内一点，且五点在同一个球面上，则的轨迹为一个圆，画出轴截面求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为， 依题意，可知，， 则，，， 解得，， 四面体的外接球半径为，球心为， 由，点的轨迹为一个圆，中点为， 设轨迹圆的半径为，圆心为，过，作球的一个轴截面， ∴，解得，， ∴的轨迹长度为. 故选：A. 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到平面平面，确定当在线段上运动时，满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 求出外接球半径，得到外接球体积. 【详解】分别取的中点，连接， 故， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，故， 因为平面，平面， 所以平面， 又点是棱的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 故当在线段上运动时，满足平面， 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 其中两两垂直，且， 故其外接球半径为， 故较小部分的外接球的体积为. 故选：A 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 6．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出的长.取CD的中点E，连接AE，BE，则平面，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的性质定理得所以平面ABE.再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求得截面圆的周长，即点的轨迹长. 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图：    因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． 7．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出过点与平面平行的正方体截面，再求出截面周长即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接， 由为的中点，得，四边形为平行四边形， 则，又，则四边形是平行四边形， ，于是，四边形是平行四边形， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 8．（24-25高一下·吉林·期末）已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 【答案】/ 【分析】取中点M，连接，，作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且，设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，则平面，平面，且O，，，M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论. 【详解】取中点M，连接，， 则，，，，平面， ∴平面，， 由题意，又， 所以， 是三角形内角，因此， 作于H，设点F轨迹所在平面为， 则平面经过点H且， 设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且O，，，M四点共面， ，由球的性质知，从而，即是的角平分线， 所以，，， 又， 则三棱锥外接球半径， 易知O到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查棱锥的外接球问题，方法是利用外接球球球心在过棱锥各面外心且与该面垂直的直线上，由此找到球心求出球半径. 1．（24-25高一下·河北雄安·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 2．（25-26高一下·重庆·月考）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可. 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 3．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】沿将翻折至与在同一个平面内，根据两点之间线段最短，以及已知条件，即可求出的最小值. 【详解】连接，沿将翻折至与在同一个平面内，如图，连接， 则的长度即为所求．由题设可知，又，， ∴平面，故， 在平面图形中，，， ∴． 故选：B． 4．如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（   ）    A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图，得到一个由四个全等的顶角为的等腰三角形组成的图象，所求的路径即为，求解即可. 【详解】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图(如图). 要使路程最短，必须沿着线段前行. 在中，，，则. 作于H，则，，. 故选：D.    5．（24-25高一上·上海·期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 6．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    7．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 8．在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球面截平面得圆弧，再结合弧长公式即可求解. 【详解】由题意可得，动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则动点一定在以为球心，以3为半径的球面上， 再由动点在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以为球心，以3为半径的球面可得圆弧，如图，    因为，结合勾股定理可得：， 所以圆弧， 故选：D. 9．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 10．已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正三棱锥的图形特征，计算得出点的轨迹计算即可. 【详解】由题意可知，正三棱锥，设正的中心为，得 ，又， 点在内部（含边界）运动，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧， 作于，则点的轨迹长度为. 故选：A. 11．如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为. 故选：D. 13．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 14．在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长. 【详解】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即，    如图1，若，则，所以， 即点是的中点， 所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B 15．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解. 【详解】如图所示，分别取的中点， 连接， 因为且， 所以四边形时平行四边形， 所以， 因为分别时的中点， 所以， 所以，同理可得， 所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又平面， 所以平面， 因为， 所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为. 故选：D. 16．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 【答案】B 【分析】如图，取棱的中点，连接，进而证明平面平面，再结合题意可知直线必过点，进而取中点，连接，证明平面即可得四边形为点的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可. 【详解】解：如图，取棱的中点，连接， 因为分别为，的中点， 所以，在中，，由于平面，平面， 所以平面， 因为，所以，四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以，平面， 因为，平面， 所以，平面平面， 由于为体对角线的中点， 所以，连接并延长，直线必过点， 故取中点，连接， 所以，由正方体的性质易知， 所以，四边形是平行四边形，，， 因为，，， 所以，共线，即平面， 所以，四边形为点的轨迹，故A选项错误； 由正方体的棱长为，所以，四边形的棱长均为，且对角线为，， 所以，四边形为菱形，周长为，故CD选项错误， 由菱形的性质知，线段的最大值为，故B选项正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱的中点，进而证明平面平面，再根据面面平行的性质求解点轨迹即可求解. 17．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 18．（多选题）（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点H，G，连接，证明平面，，从而得到点F的轨迹长度判断A；由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断B；根据A得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断C；设N为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，利用等体积法可求线段长度最小值为. 【详解】对于A：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确； 对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH， 因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，所以，同理， 所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 所以， ，设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得， 所以线段长度最小值为，故D正确. 故选：ACD. 19．（多选题）（24-25高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥的体积为定值 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D．若直线平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的体积即判A断；求出的长度，分析点的轨迹，计算其长度判断BC；利用面面平行的性质得出点的轨迹，并计算出轨迹长度判断D. 【详解】对于A，点到侧面的距离即为，， ，四棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 则， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，B错误； 对于C，由与平面所成的角为，则为等腰直角三角形， ，则点的轨迹是以点为圆心，为半径为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，C正确； 对于D，取的中点，连接，由为的中点，得， 由平面，平面，得平面， 由且，得四边形为平行四边形，则， 而，则，由平面，平面，得平面， 由，平面，得平面平面， 当点在线段上运动时，平面，则平面， 因此点的轨迹为线段，其长度为，D正确. 故选：ACD 20．（多选题）（23-24高一下·陕西西安·月考）已知正方体的棱长为2，点为平面上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当点在棱上，的最小值为 C．当点在正方形内，若与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为 D．当点在棱（不含顶点）上，平面截此正方体所得的截面为梯形 【答案】ACD 【分析】对于A：由平面平行可得点到平面的距离为定值，结合体积公式即可得； 对于B，将平面和平面展成同一平面，结合图象即可判断； 对于C，连接，根据平面，可得即为与平面所成的角，进而可得出点的轨迹，即可判断； 对于D，连接，设，，过点作交于点，连接，证明，即可判断. 【详解】对于A：平面平面，则点到平面的距离为定值2， 则，故A正确； 对于B，当点在棱上时，将平面和平面展成同一平面，如图， 则的最小值为，故B错误； 对于C，如图，连接， 因为点在正方形内，平面， 所以即为与平面所成的角， 若与平面所成的角为，则， 所以，即点的轨迹是以为圆心、以2为半径的圆， 所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图，连接， 当点在棱（不含顶点）上时，设，， 过点作交于点，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 故，所以四点共面， 所以四边形为平面截此正方体所得的截面， 因为，， 所以，，， 所以， 所以截面四边形为梯形，故D正确. 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $