第11讲 线线、线面、面面平行的证明（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（人教A版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

本讲义聚焦线线、线面、面面平行的证明，系统梳理基本事实4、等角定理、线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质等核心知识点，构建从线线平行到线面平行再到面面平行的递进式学习支架，帮助学生形成空间平行关系的逻辑体系。 资料以“举一反三”题型设计为亮点，通过例题与变式结合培养学生推理能力（数学思维），融入乒乓球台、木工画线等生活实例发展几何直观（数学眼光），多样化强化训练助力巩固应用（数学语言），课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第11讲 线线、线面、面面平行的证明 知识清单 知识点01：基本事实4 知识点02：等角定理 知识点03：直线与平面平行的判定及性质 知识点04：平面与平面平行的判定 知识点05：平面与平面平行的性质定理 题型讲解 （举三反三） 题型1：平行公理、等角定理及其应用 题型2：判断和证明线面平行 题型3：补全线面平行的条件 题型4：线面平行的性质及应用 题型5：面面平行的证明 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⇒a∥c. 知识点二、等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三、直线与平面平行的判定及性质 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 知识点四、平面与平面平行的判定 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. (3)图形语言：如图所示． 知识点五、平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． (2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (3)图形语言：如图所示． (4)作用：证明两直线平行． 题型1：平行公理、等角定理及其应用 【例1-1】连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【分析】连接，利用是的中位线，是的中位线，得到，且，即可得证. 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 【例1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是__________． 【答案】 【分析】根据中位线性质可证明四边形是平行四边形，可得结论. 【详解】连接，如下图所示： 因为是的中点，是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 故答案为： 【例1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正方体，，分别为棱，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，利用平行四边形的判定性质，平行公理推理得证. 【详解】证明如图．取的中点，连接，． 为的中点，， ∴四边形为平行四边形， ． 又，，， ∴四边形为平行四边形，．． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·周测）如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断. 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 【变式1-2】下列结论，其中正确的是________(填序号). ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等. ②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补. ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【答案】④ 【分析】根据等角定理和平行线的传递性理解辨析． 【详解】根据等角定理可知： 对于①：这两个角相等或互补，①错误； 对于②、③：无法判定这两个角的两边分别平行，所以无法确定这两角的大小关系，②、③错误； 对于④：根据平行线的传递性，④正确； 故答案为：④． 【变式1-3】如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得与的两边分别对应平行，继而即可证明. 【详解】如图，连接EE1． ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又，∴， ∴四边形是平行四边形． ∴,同理． 又与的两边分别对应平行， 且和均为锐角， ∴． 题型2：判断和证明线面平行 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 【例2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，，分别为，的中点，是上一点，且，设点是平面内一点，且平面，则点的位置是_________（写出一种即可）．    【答案】是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【分析】根据线线平行证明证明线面平行 【详解】点可以是线段上靠近点的三等分点． 证明如下：    如图所示，连接， 因为，，所以， 又，分别为，的中点， 所以，所以， 又平面，平面， 所以平面. 故答案为：是线段上靠近的三等分点（答案不唯一） 【例2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线与平面具有怎样的位置关系?如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面内的直线，则直线与直线具有怎样的位置关系？由此思考怎样才能证明直线与平面平行. 【答案】答案见解析 【分析】根据线面平行的判定定理可得结论. 【详解】如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线， 则直线与平面无公共点，所以， 如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面内的直线，则， 所以，要证明直线平行于平面，只需平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行. 【变式2-1】（24-25高一下·河北·月考）如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，进而确定点的位置，最后利用相似求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 因，，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 即平面， 又，，，则， 则，即的值为. 故选：D 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）梯形中，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】由线面平行的判定定理得结论. 【详解】因为，平面，平面， 所以直线与平面的位置关系是平行. 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，P为所在平面外一点，在上求一点E，使平面，并给出证明． 【答案】E为的中点，证明见解析 【分析】在上取一点E，连接、、、，设，连接，根据线面平行的性质和判定定理证明即可. 【详解】证明：如图所示，在上取一点E，连接、、、，设，连接， 若平面， 平面，且平面平面，． 又为的中点，为的中点． 反之，若E为的中点，为的中点，必有． 平面，平面，平面． 题型3：补全线面平行的条件 【例3-1】直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是 A．与内的一条直线不相交 B．与内的两条直线不相交 C．与内的无数条直线不相交 D．与内的任意一条直线不相交 【答案】D 【分析】根据直线与平面平行的定义来进行判断. 【详解】对于选项A，与平面内的一条直线不相交，则直线、与相交以及都有可能，A选项不正确； 对于B选项，与内的两条直线不相交，则直线、与相交以及都有可能，B选项不正确； 对于C选项，若与内的无数条平行直线平行时，则或，C选项不正确； 对于D选项，，根据直线与平面平行的定义，可知直线与平面内的任意一条直线都不相交，D选项正确.故选D. 【点睛】本题考查线面平行条件的判断，考查线面平行的定义，考查逻辑推理能力，属于中等题. 【例3-2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 【例3-3】（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 【变式3-1】已知说法甲为“如果直线，那么平面”，说法乙为“如果平面”，那么”.要使上面两种说法成立，需分别添加的条件是 A．甲：“”，乙：“” B．甲：“”，乙：“且” C．甲：“，”，乙：“且” D．甲：“，”，乙：“” 【答案】C 【解析】由线面平行的判定定理与性质定理即可得答案. 【详解】说法甲为“如果直线，那么平面”，由线面平行的判定定理得需添加的条件是“，”； 说法乙为“如果平面”，那么”，由线面平行的性质定理得需添加的条件是“且”. 故选C 【点睛】本题考查了由线面平行的判定定理与性质定理的应用，属于基础题. 【变式3-2】四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 题型4：线面平行的性质及应用 【例4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【分析】由线面平行的性质判断即可. 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确． 故选：D 【例4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，分别为线段，上一点，若，且平面，则的值为_________． 【答案】2 【分析】运用线面平行的性质,结合平行线性质可解 【详解】如图，连接交于点，连接交于点，连接． 由平面，平面，平面平面，得． ，，为的中点． 作，交于点，． ，， ． 故答案为：2. 【例4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面内一点与棱将木料锯开．问题：他应该怎样画线？ 【答案】答案见解析 【分析】根据线面平行的性质定理确定. 【详解】设平面与平面交于直线，因为平面，所以， 所以在中作过的直线与平行． 【变式4-1】（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 【变式4-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【详解】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 题型5：面面平行的证明 【例5-1】（24-25高一下·山东泰安·月考）已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理得到线线平行，再分点在平面的同侧和点在平面之间两种情况，利用相似三角形的性质求出的长. 【详解】当点位于平面同侧时， 如图（1），则， ∴， ∴； 当点位于平面之间时， 如图（2），， ∴， ∴. 故选：B. 【例5-2】（24-25高一下·福建莆田·期中）已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则___________．      【答案】9 【分析】先由题意，根据面面平行性质定理，得到，推出，进而得到，根据题中数据，即可得出结果. 【详解】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 故答案为：9 【例5-3】（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 【变式5-1】（24-25高一下·福建三明·期中）若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，若，，可能相交，A错误； 对于B，若，，可能异面，B错误； 对于C，若，，可能相交，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确. 故选：D. 【变式5-2】已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为_____________． 【答案】/ 【分析】利用截面平面，判断出动点的轨迹在三角形及其内部，即求的面积即可得到结果. 【详解】因为平面平面， 所以点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面， 所以点的轨迹是三角形及其内部， 所以的面积为. 故答案为：．    【变式5-3】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【详解】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以 一、单选题 1．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】在A中，由平行公理得；在B中，与相交、平行或异面；在C中，或；在D中，或． 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【答案】B 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行；然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步判断选项. 【详解】 在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确.   判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确.   判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确.    综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 故选： B. 4．（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系对各个选项逐一分析判断，即可求解． 【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系相交或异面，设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交，故A不正确； 对于B，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面，与已知矛盾，故B不正确； 因为平面内过交点的直线有无数条，且这些直线都与相交，故C不正确；D正确． 故选：D． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 【答案】B 【分析】分别取，的中点，，连接，，利用线面平行证明平面平面，从而可得即为点的轨迹，即可求解. 【详解】分别取，的中点，，连接，. 因为，， 所以，平面，平面. 所以平面.又，平面，平面. 所以平面，平面， 所以平面平面. 所以当点在线段上运动时，有平面， 所以点的轨迹长为.故B正确. 故选：B. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定定理判断ACD；利用面面平行的判定定理以及反证法判断B选项. 【详解】如图，因为，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 同理可证，四边形为平行四边形， 同A证出，平面，平面，故C、D正确； 因为平面，所以平面平面， 若平面，则平面或平面，显然不成立，故B错误. 故选：B 7．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 8．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，上靠近点C的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，在正四棱柱中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，如图所示. 在正四棱柱中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知， 又， ∴四边形是平行四边形，∴. ∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在矩形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 【答案】AB 【分析】考虑三个点与平面的位置关系结合面与面关系即可求解. 【详解】若三点分布于平面的同侧，则与平行， 若三点分布于平面的两侧，则与相交，不一定垂直， 因为距离不为零，故与不可能重合. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 11．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·月考）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 【答案】或 【分析】由空间等角定理即可求解. 【详解】由空间等角定理可知或， 故答案为：或 13．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则______.    【答案】/ 【分析】根据三角形中位线的性质，平行公理及等角定理可得结果. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以， 同理，，， 所以，． 又的两边和的两边的方向都相同， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 【答案】③④ 【分析】根据面面平行的判定与性质判断即可. 【详解】由如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，那么这两个平面平行可知，若与不相交，得不到，故①错误； 由面面平行的性质定理可知，与可以平行或异面，②错误； 由面面平行的性质定理即线面平行的判定定理可知③正确； 由面面平行的定义可知④正确. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】 连接、，证明平面，再分别证明平面和平面，从而得到平面平面． 【详解】 连接、可知，，，且，平面， 平面，又平面， ． 同理，，平面， 平面． 同理平面 ∴平面平面． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，可通过证明面面平行得到线面平行，即证明平面平面． 【详解】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 17．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题可得，根据线面平行的判定即可证明； （2）设交于点，连接并延长交的延长线于，由题可证四边形为平行四边形，得到，利用，可得，继而得到，即可. 【详解】（1）证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，通过证明进而证平面. 【详解】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【详解】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 线线、线面、面面平行的证明 知识清单 知识点01：基本事实4 知识点02：等角定理 知识点03：直线与平面平行的判定及性质 知识点04：平面与平面平行的判定 知识点05：平面与平面平行的性质定理 题型讲解 （举三反三） 题型1：平行公理、等角定理及其应用 题型2：判断和证明线面平行 题型3：补全线面平行的条件 题型4：线面平行的性质及应用 题型5：面面平行的证明 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⇒a∥c. 知识点二、等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三、直线与平面平行的判定及性质 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 知识点四、平面与平面平行的判定 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. (3)图形语言：如图所示． 知识点五、平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． (2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (3)图形语言：如图所示． (4)作用：证明两直线平行． 题型1：平行公理、等角定理及其应用 【例1-1】连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【例1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是__________． 【例1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正方体，，分别为棱，的中点．求证：． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·周测）如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1-2】下列结论，其中正确的是________(填序号). ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等. ②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补. ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【变式1-3】如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 题型2：判断和证明线面平行 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【例2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，，分别为，的中点，是上一点，且，设点是平面内一点，且平面，则点的位置是_________（写出一种即可）．    【例2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线与平面具有怎样的位置关系?如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面内的直线，则直线与直线具有怎样的位置关系？由此思考怎样才能证明直线与平面平行. 【变式2-1】（24-25高一下·河北·月考）如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）梯形中，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是________． 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，P为所在平面外一点，在上求一点E，使平面，并给出证明． 题型3：补全线面平行的条件 【例3-1】直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是 A．与内的一条直线不相交 B．与内的两条直线不相交 C．与内的无数条直线不相交 D．与内的任意一条直线不相交 【例3-2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 【例3-3】（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【变式3-1】已知说法甲为“如果直线，那么平面”，说法乙为“如果平面”，那么”.要使上面两种说法成立，需分别添加的条件是 A．甲：“”，乙：“” B．甲：“”，乙：“且” C．甲：“，”，乙：“且” D．甲：“，”，乙：“” 【变式3-2】四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 【变式3-3】（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 题型4：线面平行的性质及应用 【例4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【例4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，分别为线段，上一点，若，且平面，则的值为_________． 【例4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面内一点与棱将木料锯开．问题：他应该怎样画线？ 【变式4-1】（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 【变式4-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 题型5：面面平行的证明 【例5-1】（24-25高一下·山东泰安·月考）已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【例5-2】（24-25高一下·福建莆田·期中）已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则___________．      【例5-3】（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式5-1】（24-25高一下·福建三明·期中）若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式5-2】已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为_____________． 【变式5-3】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 一、单选题 1．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 4．（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 6．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 11．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 12．（25-26高二上·上海·月考）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 13．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则______.    14．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 17．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $