解答题第18、19题34分练 专攻练（8）创新新定义题 -2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题第18、19题 练透压轴题 思维无难题！ 必刷小卷8 解答题第18、19题 专攻练[8] 创新新定义题 🎯题型一 新定义“ 函数” 与导数综合应用 1．（2026·江西南昌3月联考,17分）若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”． (1)已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围． (2)（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”． （ii）设，证明：. 【解析】（1）因为函数在上一个“函数”， 所以对任意，恒成立，即. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当，， 又，则. 要使恒成立，则，解得. 故的取值范围为. （2）（i）要证明函数在上是一个“函数”， 只需证当时，，下面证明. 证明：当时，， 由图象的对称性可知，当时，. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，即，. 令， 则， 同理可得在上单调递增，在上单调递减. 则，即，. 综上所述，. 所以，函数在上是一个“函数”. （ii）当时，， 由（i）可得，,且. 所以，即当时，. 令，则， 则有， 所以 .     故，得证. 🎯题型二 新定义“高阶差分数列”与不等式证明 2．（2026·安徽合肥六校联盟测试,17分）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：． 【解析】（1）因为，， 所以，； 由题意，则， 又因为，所以． 综上可知，，，，． （2）若，则 ． ， 因为，所以，即，故数列递增， 所以要使对恒成立， 则必有，即， 所以，解得； 故是对恒成立的必要条件． 下面证明充分性：若，即，又，即， 又，故成立； 由，又递增，， 则，故； 故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件． 综上所述，要使对恒成立， 则的取值范围为． （3）由，即则为等差数列，又得． 所以， 因为， 且， 可得 ． 由，得，则，，则 ，即，且， 得，所以． 🎯题型三 新定义“自公切线” 与函数零点分析 3. （2026·辽宁大连二调,17分）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. （2）当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. （3）因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 🎯题型四 新定义双曲线 “渐切三角形” 与定值证明 4. （2026·广东河源3月检测,17分）已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. （2）若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若面积为，则是的“渐切三角形”. （3）若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 🎯题型五 新定义“球面三角形”与空间最值问题 5．（2026·重庆第8中学3月检测,17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设，则： （i）求证：； （ii）延长与球O交于点D，若直线，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，若，求平面截球O的面积的最大值． 【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时， 球面三角形ABC面积为整个球面面积的， 故． （2）（ⅰ）证明：由余弦定理有， 且，消掉，有．           （ⅱ）解：由AD是球的直径，则，， 又，平面， 所以平面，平面，则， 而平面，所以平面．               由直线与平面所成的角分别为，． 所以，． 由，则，，，， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴， 建立如图3所示的空间直角坐标系． 设，，则，，，， 则，，，，          设平面的法向量为，，， 则，取，则，， 所以．           设平面法向量，，， 则，取，则，， 所以．             要使，则， 所以， 即，解得．         作平行于交于，显然点到平面的距离即为到平面的距离， 到的垂线设为，则， 由（2）可得平面，而平面，故 而平面，所以平面， 故的最小值就是点到平面的距离的最小值， 而当时，的长度最小，故此时点到平面的距离的最小， 即此时截面面积最大，即的坐标为时截面面积最大. 在平面中，，， 设平面的法向量为，则。 取，而， 故球心O到平面距离．           设平面截球O的半径为r，， 所以截面圆面积为． 🎯题型六 新定义椭圆 “蒙日圆” 与切线面积最值 6. （2026·辽宁鞍山3月质量监测,17分）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为 蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【解析】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的蒙日圆的方程为； （2）如图， 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由，得，即， 所以坐标原点到直线：距离， 所以， 所以； （3）由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则，设，， 则切线的方程为，切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 故直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立得， 消去并整理得， 显然，， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以， 设，则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以面积的最小值为. 🎯题型七 新定义“组差数列” 与恒成立问题 7. （2026·安徽示范高中皖北协作区第28届联考,17分）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． （1）若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． （2）若是“组差数列，且为定值，证明：． （3）记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【解析】（1）是“组差数列”，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. （2）因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. （3）因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 🎯题型八 新定义“缺陷偶函数” 与极值点证明 8. （2026·广东汕头3月调研,17分）若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：． 【解析】（1）由可得， 由可得，解得， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0， （2）由可得对任意，恒成立，所以存在常数，使得， 令，则，且， 解得， ①，则， 由于是“缺陷偶函数”，由， 即，即， 则，得， ， 由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以有两个极值点． ②若，即，则，故， 当时，要证，只需要证， 因为，故， 只需证， 令， 当单调递减，当单调递增， 故 ， 所以，从而，故， 即时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学解答题第18、19题 练透压轴题 思维无难题！ 必刷小卷8 解答题第18、19题 专攻练[8] 创新新定义题 🎯题型一 新定义“ 函数” 与导数综合应用 1．（2026·江西南昌3月联考,17分）若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”． (1)已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围． (2)（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”． （ii）设，证明：.规范答题 🎯题型二 新定义“高阶差分数列”与不等式证明 2．（2026·安徽合肥六校联盟测试,17分）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．规范答题 🎯题型三 新定义“自公切线” 与函数零点分析 3. （2026·辽宁大连二调,17分）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围．规范答题 🎯题型四 新定义双曲线 “渐切三角形” 与定值证明 4. （2026·广东河源3月检测,17分）已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 规范答题 🎯题型五 新定义“球面三角形”与空间最值问题 5．（2026·重庆第8中学3月检测,17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设，则： （i）求证：； （ii）延长与球O交于点D，若直线，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，若，求平面截球O的面积的最大值． 规范答题 🎯题型六 新定义椭圆 “蒙日圆” 与切线面积最值 6. （2026·辽宁鞍山3月质量监测,17分）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为 蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 规范答题 🎯题型七 新定义“组差数列” 与恒成立问题 7. （2026·安徽示范高中皖北协作区第28届联考,17分）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． （1）若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． （2）若是“组差数列，且为定值，证明：． （3）记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 规范答题 🎯题型八 新定义“缺陷偶函数” 与极值点证明 8. （2026·广东汕头3月调研,17分）若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：．规范答题 学科网（北京）股份有限公司 $