解答题第18、19题34分练 专攻练（5）解析几何-2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 必刷小卷5解答题第18、19题专供练[5]解析几何 口0题型一椭圆方程、切线斜率与定点判定 1②02·铁西肉=极，17分)已加椭国C:等+茶=川a>b>0的两焦点分别是，. 左顶点为N(-2,0),M是椭圆C上任意一点，△MF,F,的周长为4+2√5. (1)求椭圆C的标准方程； (2)动圆D的圆心坐标为0,2)，过点N作圆D的两条切线，分别交椭圆C于P、Q两点，P、Q两 点与N不重合，若直线NP、NQ的斜率分别为k、k2,求证：kk2=1: (3)设存在斜率的直线与椭圆C交于A,B两点（不是左右项点），若以线段AB为直径的圆经过 点N,试判断直线AB是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 【解析】(1)因椭圆C左顶点为N(-2,0),所以a=2, △MF,F2的周长为4+2√5，则2a+2c=4+2c=4+2√5，所以c=V3,所以b=1, 稀圆C的标准方程为+y=1。 4 (2)易知过点N的圆D的切线斜率存在，则设切线的方程为y=k(x+2),动圆D的半径为 r(r>0),由已知得r<DN=2√2， 2+2=r,化简得4-r2)2-8k+4-r2=0, Vk2+1 当r=2时，过点N的两条切线的方程分别为y=0,x=-2,与条件矛盾； 当r≠2时，k和k2是方程4-r2)k2-8k+4-r2=0的两根， 由韦达定理知，k,k2=1. D (3)设直线的方程为y=mx+t, 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 x2 联立4+=1 消去y可得4m2+1x2+8mx+412-4=0, y=mx+t △=64m22-44m2+142-4=64m2-1612+16>0,设Ax,乃)，B(2,2), 则x,x2是方程4m2+1x2+8mtx+412-4=0的两个根， -8mt 4t2-4 所以x+x=4m2+'=4m+1 因为以AB为直径的圆经过点N,所以NA.NB=0, 又NA=(x+2,y),NB=(x2+2,y2),， 所以xx2+2(x+x2+4+y2=0,① yy2=(mx+t)(mx2 +t)=mx x2+mt(x+x2)+t2, 所以yy2= m2(412-4）8m212 +r=-4m2 4m2+14m2+1 4m2+1 -8mt 4t2-4 将名+=4m+'=4m+ ,,=n代入0试， 4m2+1 6 可得5t2-16mt+12m2=0,解得t=÷m或t=2m, 当m=0时，直线1的方程为y=0,与已知矛盾，所以m≠0； 当1=号m时，直线1的方程为y=mr+6=m 6 m+5 5 直线过定点 -5.o). 当t=2m时，直线1的方程为y=mx+2m=mx+2,直线1过定点-2,0)，矛盾. 所以直线恒过定点 口口题型二双曲线切线、切点弦与定值证明 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 2《6·江西吉安8月模极，7分》已知双线r:荐茶-口>06>0的离心*为5，共 焦点到渐近线的距离为1，点P为圆0：x2+y2=1上一动点. (1)求双曲线T的标准方程； (2)若过点P可以作双曲线「的两条切线(，I2,且切点分别为A,B. (i)设直线，12的斜率分别为k,k2,求k·k2的值； PA PN (iⅱ)设Z,l2分别交圆O于点M,N,试探究 是否为定值？若是，请求出这个定值；若 PB PM 不是，请说明理由. 【解行】a双面线r:吾-茶=川a>0b>0的右货点F160,商近线方园为y=±华。 b 由题意可得 Va2+b2 =1今b=1,又因为e=1+a=2 ,所以a=√2，b=1, 敝双曲线工的标准方程为〉y1了 (2)(1)设P(x,y),由题意知切线的斜率一定存在， 设过点P与双曲线相切的切线方程为y-。=(x-x),代入双曲线「中消去y得： (1-2k2）x2-4k(y%-x)x-2(6-kx)}2-2=0, 则由△=0得：[4k(-x,]+41-2k2)[2(-x,2+2]=0, 化简得：(2-x)k2+2xyk-1+y)=0, 则6,6为上述方程的两个根，放6，=，一女 Γ2-x7 1-8=-1-1+6=-1 而+=1，所以kk,=2-G=2- PA·PN (iⅱ) IPB·PM 为定值1. 证明：当AB斜率为O或者斜率不存在时，根据对称性可知MN∥AB, 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ PAPB PA·PN 此时 即 =1: PB·PM 当koP,kB都存在时，设AX,乃)，BX,2)，AB的中点为， -= 2 由 年好中器-子则wkw 片-业.y+2=1 发-好=1 于切点弦B所在的线方程为=山，所以2 2 因此kon=)今不a0==Kap,即0，P,Q三点共线， 又由(i)可知△MPN与△APB均为直角三角形，故OM=OP,PQ=AQ, 则∠OMP=∠OPM,∠APQ=∠PAQ,而∠OPM=∠APQ, PA PB 所以∠OMP=∠PAQ,故MN∥AB,△MPN∽△APB,所以 即 IPALIPNL=1 PMPN PB PM 口0题型三轨迹方程、内心重心与面积范围 3.(2026·甘肃陇南二诊模拟，17分)如果点Mx,y)在运动过程中，总满足关系式 Vx2+(y-1)2+Vx2+(y+1)2=4,设点M的轨迹为2. (1)求2的方程： (2)若点S(0,-1),T(0,1),P为轨迹2上一点（不在坐标轴上），设点I,G分别为△PST的内 心和重心， ①证明：IG所在的直线与y轴平行； ②过G作直线I与轨迹O交于点A,B,且AG=BG,求△ABI面积的取值范围. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 【解析】(1)由椭圆的定义，点M的轨迹是以(0,1)，（0，-1)为焦点，长轴2a=4的椭圆. 所以点M的轨迹方程为： y2+=1. 43 2)@由1)知，S0,-1,T(0,1为椭圆2：上+士=1的焦点，所以S7=2,PT+PS=4, 43 由对称性，不妨设点P(x,y)x≠0，y≠0)在y轴右侧，设△PST内切圆半径为r 则5x2x%=,5m2+4到r=3,所以v-宁即=否 3 又G为△PST的重心，所以x。=.所以1G与y轴平行. 3 ②以E长我安？销行N收设点P叫为气0%0小.更G(学》草等-1. 4 则PT=Vx场+() 同理可得PS=2+2% 为APST的内心，结合三形面积公式可得二=二，二+1=p7 TNPT'TN+ TN P7，也即24 即7S=PS+PT 是所以wP=1-子则@好》 又M-P,所以等)】 设A,,B(x2,则3 4 ,所以乃业=-4x+为。4 x-x23(y+y)3y% 34 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ =太，则直线ky-合=(-音月 设3y0 4X0.0 12-3y 即 y=kx+ 3”+=红+3。一+=k+4 3 3 3 3 3yo 4 +上 改3 一=m,联立 3+4l,整理得4+3张2)x2+6kmx+3m-12=0, y=kx+m 则△=48(3k2+4-m2）=483× 6+4-16 9 2048,0, 9 3好 6km X1+x2=- 4+3k2 公 32W6 所以 3m2-12 所以-4+334+3 X1x2= 4+3k2 又3k2+4= 44x+3y6)16 3 所以心mG××32668 1618, -22,里x元e0:阳2g即5mQ2g 26 所以△ABI面积的取值范围为 9 口0题型四椭圆轨迹、定点存在与面积最值 4.(2026·陕西渭南中学一模，17分)己知平面上一动圆P与圆F:x2+y2-2√3x=13相内切（其 中圆P的半径小于圆F的半径)，且圆P经过点F关于原点的对称点F',记圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)记C与x轴的两个交点分别为A,A(A在A的右侧)，直线1与C相交于点M,N(异于点 A,A),且直线A,M的斜率恰好是直线A,N的斜率的7倍. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ()直线1是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (ii)求四边形A,MA,N的面积S的最大值. 【解析】(1)圆F:x2+y2-2V3x=13,即(x-V5)2+y2=16,所以圆心F(V3,0),半径R=4, 因为F'是F关于原点的对称点，所以F(-√5,0， 设动圆P的半径为r,因为动圆P与圆F相内切，所以PF=4-”, 又因为圆P经过点F',所以PF1=r,则PF+PF=4>FF=25, 所以点P的轨迹是以F,F'为焦点的椭圆，其中2a=4,2c=2√3，则a=2,c=√5， 所以曲线C的方程为：+二： (2)(i)曲线C的方程 +y2=1,则4(-2,0)，A(2,0), 4 由题可知直线l斜率不为零，则设直线：x=my+n,M(x,y),Nx2,y2, x=my+n +2=1:m2+4)y2+2mny+n2-4=0, △=(2mm)2-4m2+4)n2-4=16m2-16n2+64>0, 片+5=- 2mn n2-4 m2+45= m2+4 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 又直线4，M的斜率恰好是直线4，N的斜率的7倍，即片，=7×为。 x+2x2-21 即当 =7x2 my +n+2 my,+n-2 ,整理得6myy2+7n+2)y2-（n-2)y1=0, 即6mxn24 2mn 7n+2)-(n-2m2+4为 m2+4 =0, 即8mn2-24m-4mm+(8n+12)为=0， m2+4 :.8n+12=0,解得n=2' 3 n=-3时，8m-24m-4mn_18m-24m+6m-0, m2+4 m2+4 3 },直线的方程为x=my-子即直线恒过定点 3m 7 《1)由i)知n),则乃+乃= =m2+434= 4m2+4）' 则四边形44，V的面积S=S4w+34方×4+×4=20小+D。 7 :2=-4m2+4 <0 .S=2y+y20=2以-y,=2Vy+y2)'-4yy2 3m 2 7 4m2+7 =2 =4 m2+4m2+4 (m2+4，令m2+4=4,124, 则S=4 4m2+7 V(m2+41 9 雪士全0，即1时取等，即四边形4M4,W胸面积S的最大值为 t 9 3 口口题型五椭圆对称、直线定点与面积最值 ②·山条卷新-提。17分》已奥精国C兰+茶=a>6>0)的两个点分别为5,5 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 点P是C上的一个动点，当△PF,F,面积取得最大值4V3时，∠PF,F,=60°， (1)求C的方程； (2)过点E(3,0)的直线1与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为A(A与B不重合)· (i)求证：直线A,B过定点； (iⅱ)求△EA,B面积的最大值. 【解析】(1)因为S.所5=F5Hn小，又-b≤n≤h,所以5.s)n=×2c-h=bc, 1 又△PF,F面积取得最大值4V5,所以bc=45, 在△PF,E,中，∠PF,,=60°，所以cos60°=C,所以a=2C, a 又b2=a2-c2=3c2,所以b=√3c,所以V5c2=4√5，解得c=2, 所以a=4,b=23,所以椭圆c的方程为+少 =1; 1612 (2)(1)当过点E3,0)的直线1不与x轴重合时， 设直线1的方程为x=my+3m≠0)，Ax,y1,Bx2,y2, x=my+3 由 g+二=1'得3到my+3+4y2=48,整理得(3m+4到y广+18my-21=0, 1612 18m 21 由韦达定理得y,+y2= 3m2+45=- 3m2+4' 因为4为点A关于x轴的对称点，所以4(，-小，所以k8=+上 x32-x 所以直线4，B的方程为y+片=凸+当(x-x), x2-x1 由对称性，直线A,B所过定点一定在x轴上， 令y=0,可得x=名-+x=++五=+5 y2+y y2+y y2+y 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 21 2m× =(m,+3到+(my+3_2m4+3y+】_2my业+3- 3m2+4 16 2+3= y2+y y2+y y2+y 18m 3 3m2+4 16 所以直线AB过定点 30； 当过点E(3,0)的直线与x轴重合时，显然过点 综上所述：直线A,B过定点 (iⅱ)记直线A,B过定点为F sw-sm非君 -116 小号46-华 心之 当且仅当3m'=4,即m=±25时，等号成立，所以AEAB面积的最大值为75 3 4 口·题型六椭圆焦点弦、角度关系与弦长范围 6山东德州二模，7分》知雅圆C。+6a>6>0)的焦距为2，点1 0为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线1与椭圆交于A,B两点. (i)若点M的坐标为4,0)，证明：∠OMA=∠OMB; )去亚-历，当Ae公]本，课孩长h相的取值指王高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 必刷小卷5解答题第18、19题专攻练[5]解析几何 口·题型一椭圆方程、切线斜率与定点判定 1②26-庆两城横17分)已知描闲C:等+茶=a>b>0)的商在方分别是，R, 左顶点为N-2,0),M是椭圆C上任意一点，△MFF,的周长为4+2√3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)动圆D的圆心坐标为0,2)，过点N作圆D的两条切线，分别交椭圆C于P、Q两点，P、Q两 点与N不重合，若直线NP、NQ的斜率分别为k、k2,求证：kk,=1: (3)设存在斜率的直线I与椭圆C交于A,B两点（不是左右顶点），若以线段AB为直径的圆经过 点N,试判断直线AB是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由， 规范答题 口口题型二双曲线切线、切点弦与定值证明 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 2. 0·江省市安3月装数。”分》已双台线r手常=a>Q>0筒腐心*为 6,其 焦点到渐近线的距离为1，点P为圆0：x2+y2=1上一动点 (1)求双曲线T的标准方程； (2)若过点P可以作双曲线T的两条切线I,I,且切点分别为A,B. (i)设直线(，I,的斜率分别为k,k2,求k1·k2的值； PA PN (i)设4，马分别交圆0于点M,N,试探究PB-PM 是否为定值？若是，请求出这个定值；若 不是，请说明理由. 规范答题 ◆ 口·题型三轨迹方程、内心重心与面积范围 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 3. (2026·甘肃陇南二诊模拟，17分)如果点Mx,y)在运动过程中，总满足关系式 √x2+(y-12+Vx2+(y+1)2=4,设点M的轨迹为2 (1)求2的方程； (2)若点S(0,-1,T(0,1,P为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点I,G分别为△PST的内 心和重心， ①证明：IG所在的直线与y轴平行； ②过G作直线I与轨迹Ω交于点A,B,且AG=BG,求△ABI面积的取值范围， 规范答题 ··题型四椭圆轨迹、定点存在与面积最值 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 4.(2026·陕西渭南中学一模，17分)己知平面上一动圆P与圆F:x2+y2-2√3x=13相内切（其 中圆P的半径小于圆F的半径)，且圆P经过点F关于原点的对称点F',记圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2)记C与x轴的两个交点分别为A1,A(A在A,的右侧)，直线1与C相交于点M,N(异于点 A1,A),且直线A,M的斜率恰好是直线A,N的斜率的7倍. (1)直线1是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (ii)求四边形A,MA2N的面积S的最大值. 规范答题 4◆ 口·题型五椭圆对称、直线定点与面积最值 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ (2026新双，V分》已知瑞图C名+=a>b>0)的两个：点分别为九·上 5. 点P是C上的一个动点，当aPF,F2面积取得最大值4√3时，∠PF,F2=60°. (1)求C的方程； (2)过点E3,0的直线1与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为A(A与B不重合)· (i)求证：直线AB过定点； (iⅱ)求△EA,B面积的最大值， 规范答题 口·题型六椭圆焦点弦、角度关系与弦长范围 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 6. 2·山东栏州杭，17分》已阳精网C:号+若=a>6>0箱独集为之应人 a2+ 在C上， O为坐标原点， (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线1与椭圆交于A,B两点 (1)若点M的坐标为4,0)，证明：∠OMA=∠OMB: (ii)若AF=入FB,当 时， 求弦长AB的取值范围 规范答题 口·题型七椭圆外接圆、定直线与坐标求解 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 (2026·河南洛阳一模，17分)已知椭圆E: y 7. 16+京=1(1<b<4的左、右项点分别为4,4 60 ,F(C,O)是E的右焦点，P是直线x= 上的动点，且△PAA,外接圆面积的最小值为25π (1)求E的方程 (2)过点G1,0),且不与x轴重合的直线I与E交于M,N两点. (i)若I的斜率为1，且△PMN的面积为219，求点P的坐标 (ⅱ)设直线A,M与A,N交于点Q,试判断Q是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是， 说明理由 规范答题 00题型八 椭圆斜率积、四边形面积最值 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ y2 8. 2026·江苏面家中学模议，7分》已知F,分别为椭圆E之+2=a>b>0)的左， 右焦点，G为E的上顶点，点P为椭圆E上的一个动点，且三角形FPF2面积的最大值为1，焦 距为2. G (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点F,F,作两直线l,l2分别与椭圆E相交于点M,N和点A,B (i)若点M,N不在坐标轴上，且∠MGF=∠NGF,求直线I的方程； (ii)若直线l,l,斜率都存在，且MN⊥AB,求四边形MANB面积的最小值. 规范答题 *