精品解析：河南郑州市郑中国际学校2025-2026学年下学期 九年级第一次学情自测数学试题

2025—2026学年下学期九年级数学学科第一次阶段性评价 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：， 的平方根是． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 4. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由 ， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 5. 如图，点O是边 的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形 为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形 是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边 的中点， ∴， 又， ∴四边形 是平行四边形， ．若，则四边形 是菱形，无法得出四边形 为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形 为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形 是平行四边形，∴ ，又，，∴，∴， ∴ ，∴则四边形 为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴ ，∴则四边形 为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B. 64的平方根为8 C. 若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义．根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原说法不正确，该选项不符合题意； B、64的平方根为，故原说法不正确，该选项不符合题意； C、∵一个正多边形的每一个内角都是， ∴每一个外角都是， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数为， 即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，， ，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意； 故选：C． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 9. 如图，在中，，，以为直径的半圆交 于点，若 与半圆相切于点 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得 ，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结 ， ∵，以为直径的半圆交 于点， ∴， ∵ 与半圆相切于点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 10. 如图，在中，， ，，在中，，， 与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断． 【详解】解：过点D作于H， ， ∵，， ∴， ∴ 当时， 如图，重叠部分为 ，此时，， ， ∴， ∴，即， ∴ ∴； 当时， 如图，重叠部分为四边形，此时，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当 时 如图，重叠部分为四边形，此时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 综上，， ∴符合题意的函数图象是选项A． 故选：A． 【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键． 要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， 则被开方数 解不等式， 得 ， 那么取，满足 故答案为：（答案不唯一）． 12. 年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要年)》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 人数 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．关键是通过观察表格，找出对应学生人数最多的综合体育活动时间，该时间即为这组数据的众数． 【详解】解：观察表格中的数据可知，综合体育活动时间为的学生人数最多，有人， 因此这些学生的综合体育活动时间的众数是． 故答案为：． 13. 定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数……则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，数字规律，根据差倒数的计算方法，分别求出，，，，值，找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，， ∴每三个循环一次， ∵， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形 中，以点A为圆心， 的长为半径作圆，交于点E，过点B作 的切线 交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积，熟练掌握矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接 ，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及割补法可进行求解． 【详解】解：连接 ，如图所示： ∵四边形 是矩形，， ∴， ∵过点B作 的切线 交于点G，切点为点F， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 15. 如图，在 中 ，， ，点 为平面内一动点，且 ，连接 ， ，取 的中点，连接．则线段的最大值为_____，最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，三角形中位线及三角形三边不等关系，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，三角形中位线及三角形三边不等关系是解题的关键；连接，交于一点O，连接，过点A作于点H，由题意易得是的中位线，则有，然后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，交于一点O，连接，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵点P是 的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ， ∴，，， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，即， 当且仅当点O、P、C三点共线时，取得最大值和最小值，即的最大值为，最小值为； 故答案为，． 三、解答题（共75分） 16. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以 得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 17. 为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各班中随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100． 八年级：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100． 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题； 成绩分段 七年级人数 3 7 5 5 八年级人数 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 （1）三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是_________（填写“方案一”“方案二”或“方案三”） （2）表格中， _______， ______． （3）成绩在 范围内属于优秀，该校八年级学生有800人，估计该校八年级成绩优秀的学生约为______人； （4）七年级抽取的学生，成绩在“ ”范围的3人中，有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________． 【答案】（1）方案三 （2）80，87.5 （3）200 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的可靠性，求众数，求中位数，利用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数和众数的概念是解题的关键． （1）从总体中抽取部分单位作为样本进行调查，随机抽样具有代表性和广泛性，据此解答即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）利用样本数据估计总体，即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是方案三， 故答案为：方案三； 【小问2详解】 解：从七年级随机抽取的20名学生的成绩中，出现次数最多的是80， ∴众数， 将从八年级随机抽取的20名学生的成绩从小到大排列： 65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100 第10个、第11个数据分别为85、90， ∴中位数， 故答案为：80，87.5； 【小问3详解】 解：该校八年级成绩优秀的学生约为（人）， 故答案为：200； 【小问4详解】 解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率， 故答案为：． 18. 如图，在 中，对角线相交于点O，过点O作直线 ，交于点E、F． （1）请用无刻度直尺及圆规过点O作m的垂线，分别交 于点G、H，保留作图痕迹． （2）顺次连接E、G、F、H，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图，直线 即为所求； （2）四边形 是菱形， 理由如下∶如图， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， ∴四边形 是平行四边形， 由作图得 ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】本题主要查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定的判定和性质，线段垂直平分线的性质： （1）根据题意画出线段的垂直平分线即可； （2）证明 ，可得 ，同理可得 ，从而得到四边形 是平行四边形，由作图得 ，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、 两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点 的坐标； （2）若点关于原点的对称点为，求的面积； （3）探究：在轴上是否存在一点，使得 为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求 ，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于 ，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解： 一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得 ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于 ，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 20. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点 和落水点在同一直线上，并且与水平线的夹角为 ．其相关数据：，，，求落水点到洗手盆边的宽度．（结果保留整数，参考数据： ，其他如下表） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，在运用数学知识解决问题过程中，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题，解答的关键是构造直角三角形．过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，利用矩形的判定与性质求得，，，在中，利用锐角三角函数定义求得，，进而求得 ，再在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意可得：，四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：落水点到洗手盆边的宽度约为． 21. 如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接 并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①2 ② 【解析】 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点 ，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 22. 【问题背景】 文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离，文化墙在地面上左右两端的距离，现要在墙面上规划出菱形区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传． 【模型建立】 现以墙边左端点O为原点，水平地面 所在直线为x轴，过点O垂直于 的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系． 【任务解答】 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）已知展示企业发展历史区域（即菱形）的涂料价格是30元/，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可设，进而利用待定系数法求出函数解析式； （2）连接 交 于点F，先求得点D和点E的纵坐标均为，令，可求出，再求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， 此抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 连接 交 于点F． ∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴点D和点E的纵坐标均为， 令， 解得， ∴， ∴， （元）， ∴购买该区域（即菱形）的涂料需要花费元． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合， 经过点C， 交 于点G．求重叠部分（ ）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵ ，∴G是 的中点，∴为 中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交 于点H， 交 于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转， ， 分别交于点M，N，当 是以 为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（ ）的面积是________． 【答案】（1）等边对等角， （2）①证明见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解； （2）①利用证明即可； ②证明可得出，证明可得出，则点 为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可； （3）分， 两种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，D是的中点， ∴． ∴．（依据：等边对等角） 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ， ∴G是 的中点， ∴为中位线． ∴，． ∴． 故答案为：等边对等角，； 【小问2详解】 ①证明：∵，， ∴， 又， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ ． ∴点 为的中点． 在中，． ∵是中点，． 在与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：当时，过D作于H， 则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在 中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G， 则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上， 的面积是为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期九年级数学学科第一次阶段性评价 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点O是边 的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B. 64的平方根为8 C. 若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为 天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 如图，在中，，，以为直径的半圆交 于点 ，若 与半圆相切于点 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，， ，，在中，，， 与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 12. 年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要年)》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 人数 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是______ ． 13. 定义： 是不为1的有理数，我们把称为 的差倒数，如：2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数……则的值为_____． 14. 如图，在矩形中，以点A为圆心， 的长为半径作圆，交于点E，过点B作 的切线 交 于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在 中 ，， ，点 为平面内一动点，且 ，连接 ， ，取 的中点，连接．则线段的最大值为_____，最小值为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各班中随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100． 八年级：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100． 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题； 成绩分段 七年级人数 3 7 5 5 八年级人数 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 （1）三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是_________（填写“方案一”“方案二”或“方案三”） （2）表格中， _______， ______． （3）成绩在 范围内属于优秀，该校八年级学生有800人，估计该校八年级成绩优秀的学生约为______人； （4）七年级抽取的学生，成绩在“ ”范围的3人中，有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________． 18. 如图，在 中，对角线相交于点O，过点O作直线 ，交于点E、F． （1）请用无刻度直尺及圆规过点O作m的垂线，分别交 于点G、H，保留作图痕迹． （2）顺次连接E、G、F、H，判断四边形 的形状，并说明理由． 19. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、 两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点 的坐标； （2）若点 关于原点的对称点为，求的面积； （3）探究：在轴上是否存在一点，使得 为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 20. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点 、出水口点 和落水点在同一直线上，并且与水平线的夹角为 ．其相关数据：，，，求落水点到洗手盆边的宽度．（结果保留整数，参考数据： ，其他如下表） 21. 如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接 并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 22. 【问题背景】 文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离，文化墙在地面上左右两端的距离，现要在墙面上规划出菱形区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传． 【模型建立】 现以墙边左端点O为原点，水平地面 所在直线为x轴，过点O垂直于 的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系． 【任务解答】 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）已知展示企业发展历史区域（即菱形）的涂料价格是30元/，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？ 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合， 经过点C，交 于点G．求重叠部分（ ）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵ ，∴G是 的中点，∴为 中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交 于点H，交 于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转， ，分别交于点M，N，当 是以 为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（ ）的面积是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $