第五章　微点突破2　天体的追及相遇问题　双星与多星模型 导学案 -2026届高考物理二轮复习

微点突破：天体的追及相遇问题----双星与多星模型 目标要求 1.会分析天体的追及相遇问题。2.掌握双星、多星模型，会解决相关问题。 考点一：天体的追及相遇问题 例1 如图所示，当火星、地球和太阳位于同一直线上，且火星与地球的距离达到最近时，称为“火星冲日”。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆周运动，已知地球公转半径为R，公转周期为T，连续两次出现“火星冲日”现象的时间间隔为t。下列说法正确的是( ) A.火星绕日运动的周期为 B.火星绕日运动的周期为 C.火星绕日运动的半径为R D.火星绕日运动的半径为R 答案 D 解析 由几何关系得t-t=2π 解得T火=，A、B错误。 由开普勒第三定律得= 解得R火=R，C错误，D正确。 例2 (2025·四川卷·6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 设卫星转动的周期为T'，根据题意可得，每隔卫星转过的圈数比地球自转多1圈，即-=1，其中t=，可得T'=，根据万有引力提供向心力G=mr，可得r=，代入T'=，可得r=，故选A。 天体“追及”问题的处理方法 1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=2π或-=1。 2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t'=π或-=。 3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。 考点二：双星或多星模型 1.双星模型 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。 (1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？ 答案 由v=ωr，m1ω2r1=m2ω2r2，得==，由a=ω2r及m1ω2r1=m2ω2r2得==。 (2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1+m2)的关系怎样？ 答案 由=m1r1=m2r2及r1+r2=L，得=或m1+m2=。 例3 天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，下列说法正确的是( ) A.a、b的线速度之比为3∶4 B.a的角速度大于b的角速度 C.a的质量为 D.b的质量为 答案 C 解析 双星系统中，两颗星体的角速度相同，周期相同，B错误。 由题图可知，a、b的中心和O、A连线的距离从零到最远所用时间为四分之一个周期，可知该双星系统的周期为2t0，a的中心与O、A连线的最大距离为4x0，b的中心与O、A连线的最大距离为3x0，可得ra∶rb=4∶3，由线速度v=ωr，可知a、b的线速度之比为va∶vb=4∶3，A错误。由题意可知maω2ra=mbω2rb，可得ma∶mb=3∶4，对b由万有引力提供向心力可知mbrb=G，L=ra+rb，解得ma=，mb=，C正确，D错误。 2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的三星模型 ①+=ma向 ②×cos 30°×2=ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2+=ma向 ②×cos 30°×2+=ma向 例4 (2024·重庆卷·7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m≪M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G，则( ) A.c的线速度大小为a的倍 B.c的向心加速度大小为b的一半 C.c在一个周期内的路程为2πr D.c的角速度大小为 答案 A 解析 a、b、c三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a天体有G=Mω2r，解得ω=，故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α=mω2，解得α = 30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a=ω2r可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。 1.如图所示，同一轨道平面上有两颗绕地球做匀速圆周运动的卫星P和Q，其中卫星P是地球同步卫星，卫星Q的周期是地球自转周期的一半，已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，自转周期为T，引力常量为G。则( ) A.卫星P和Q的轨道半径之比为2∶1 B.卫星Q一定始终在赤道上方 C.地球的质量为M= D.P和Q从相距最近到相距最远经历的最短时间为T 答案 D 解析 万有引力提供向心力，有G=mr 得r=，P、Q的周期之比为2∶1，可得轨道半径之比为∶1，故A错误。 地球同步轨道与赤道平面可以有夹角，当夹角为零时，该同步轨道又称为地球静止轨道，所以地球同步卫星不一定在赤道平面内，卫星P、Q所在轨道平面不一定是赤道平面，故B错误。 不考虑地球自转的影响，对地球表面的物体有=m1g，可得地球的质量为M=，故C错误。 设P、Q从相距最近到最远至少经过Δt，有ωQΔt-ωPΔt=π 即Δt-Δt=π，解得Δt=，故D正确。 2.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。根据表中信息，可以判断( ) 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年 B.某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象 C.天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半 D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 答案 A 解析 根据开普勒第三定律有=，解得行星的公转周期为T行=T地 ，根据表格中数据计算出火星、木星、土星、天王星、海王星的周期分别为T火=年≈1.84年，T木=年≈11.86年，T土=年≈29.28年，T天=年≈82.82年，T海=年≈164.32年，设相邻两次冲日的时间间隔为t，则有t-t=2π，解得t=，计算出火星、木星、土星、天王星、海王星相邻两次冲日的时间间隔分别为t火≈2.19年，t木≈1.09年，t土≈1.04年，t天≈1.01年，t海≈1.006年，可知火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年，故A正确；结合上述可知，所有行星相邻两次冲日的时间间隔均超过1年，一年内不可能出现两次冲日，故B错误；结合上述可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔(1.01年)并非土星相邻两次冲日的时间间隔(1.04年)的一半，故C错误；结合上述可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短(约1.006年)，故D错误。 3.(多选)(2024·浙江宁波市期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则( ) A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期T=4πR C.三角形三星系统中星体间的距离L=R D.三角形三星系统的线速度大小为 答案 BC 解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星(或丙星)有G+G=MR，解得T=4πR，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°=M·，联立解得L=R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v==，联立解得v=··，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $