第六讲 法拉第电磁感应定律的应用 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理粤教版选择性必修第二册

粤教版（2019）选择性必修第二册复习讲义 第六讲 法拉第电磁感应定律的应用 一．电磁感应中的电路问题 1.对电磁感应中电源的理解． (1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈相当于电源． (2)电源的正负极、感应电流的方向、电势的高低、电容器极板带电问题，可用右手定则或楞次定律判定． (3)电源的电动势的大小可由E＝Blv、E＝n或E＝BL2ω求解． 2.内电路和外电路． 相当于电源的部分导体或线圈相当于内电路，其余部分是外电路． 3.对电磁感应电路的理解． (1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能转化为电能． (2)“电源”两端的电压为路端电压，而不是感应电动势． (3)路端电压：U＝IR＝E－Ir. 求解电路问题的步骤 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向；感应电流方向是电源内部电流的方向． (2)根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路． (3)根据E＝BLv或E＝n结合闭合电路欧姆定律，串、并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解． 2、 电磁感应现象中的图像问题 解决图像问题的一般步骤． (1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者是E－t图像、I－t图像等； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画出图像或判断图像． 电磁感应的图像问题解题技巧 在选择电磁感应的图像时，往往对图像采用部分图线否定法易正确选出答案．例如线圈或导体刚进入时、刚离开时的电流有无、方向、大小变化情况，全部进入后运动中的电流有无，通过部分否定图线． 三、电磁感应中的动力学问题 在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型． 类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型 示意图 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计 分析 S闭合，棒ab受安培力F＝，此时a＝，棒ab速度v↑→感应电动势BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速 棒ab释放后下滑，此时a＝g sin α，其速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力为F＝mg sin α时，a＝0，v最大，最后匀速 运动形式 变加速运动 变加速运动 最终状态 匀速运动vm＝ 匀速运动vm＝ 四、电磁感应的能量问题 求解思路． (1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算． (2)若电流变化，则： ①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功； ②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化则机械能的减少量等于产生的电能． 3.焦耳热的计算． (1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt. (2)感应电流变化，可用以下方法分析： ①利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安； ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量． 1.安培力做负功是其他形式的能(如机械能)转化为电能，这是发电机原理． 2.安培力做正功，是电能转化为其他形式的能，这是电动机原理． 3.安培力做负功，其他形式的能转化为电能，然后又通过电流做功变成电热．所以安培力做的功、生能、生热往往是同步进行的，不要重复计算． 考点一：电磁感应中的电路问题 例1.如图所示，A是面积为、匝的圆形金属线圈，其总电阻，线圈处在逐渐增大的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面垂直，磁感应强度随时间的变化率，线圈与阻值的电阻连接，不计电压表对电路的影响。求： (1)电压表的示数U； (2)10s内通过的电量q。 【答案】(1)1.6V (2)4C 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，线圈产生的感应电动势 代入数据得 根据闭合电路欧姆定律，电路中的电流 代入数据得 电压表测量电阻两端的电压，示数 代入数据得 （2）由于磁感应强度随时间均匀变化，产生的感应电动势和感应电流恒定。根据电流的定义式 可得通过截面的电荷量 代入数据得 例2.图乙所示是我国某磁悬浮列车利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一由粗细均匀导线制成的N匝矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为d，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，区域长也为d，MN边界与ab平行。若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时的速度大小为v0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动。已知线框总电阻为R，列车的总质量为m，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．列车进站过程中电流方向为adcb B．线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小 C．线框从进入到离开磁场过程中，线框产生的焦耳热 D．线框从进入到离开磁场过程所用的时间 【答案】B 【详解】A．列车进站过程中，穿过线框的磁通量方向向上且变大，由楞次定律及安培定则可知，列车进站过程中电流方向为abcd，故A错误； B．由法拉第电磁感应定律可知，线框ab边进入磁场瞬间产生的感应电动势为 由闭合电路的欧姆定律得，线框中的感应电流 对列车，由牛顿第二定律得 联立解得线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小，故B正确； C．线框从进入到离开磁场的过程中，列车动能全部转化为由于阻力f产生的内能和焦耳热，由能量守恒定律有 解得，故C错误； D．线框进入磁场和离开磁场的过程中，设所用时间分别为t1和t2，线框中的平均电流分别为和，平均感应电动势分别为、，由动量定理得，， 联立解得，故D错误。 故选B。 考点二：电磁感应现象中的图像问题 例1.如图所示，边长为l的正方形导线框以恒定速度v沿x轴运动，并穿过磁感应强度大小为B的匀强磁场区域。线框中的感应电流为i，受到的安培力为F，如果以逆时针方向作为感应电流的正方向，x轴正方向作为安培力的正方向，线框在图示位置的时刻开始计时，i、F随时间变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．在时间内，线框未切割磁感线，该过程无电流产生；在时间内，线框磁通量增加，线框产生电流大小为（R为线框总电阻） 由于v不变，故电流大小不变，根据楞次定律，可知电流方向为逆时针方向（即正方向）；在时间内，线框内磁通量不变，该过程无电流产生；在时间内，线框内磁通量减小，线框产生电流大小为 由于v不变，故电流大小不变，根据楞次定律，可知电流方向为顺时针方向（即负方向），综合可知AB选项不符合题意，故AB错误； CD．由于以上分析可知，在时间内，线框未切割磁感线，该过程无电流产生，线框不受安培力；在时间内，线框电流大小不变，电流方向为逆时针方向，根据可知，此过程线框右边导线受到的安培力大小恒定，根据左手定则，可知该过程线框右边导线受到的安培力向左（即负方向）；在时间内，线框内磁通量不变，该过程无电流产生，线框不受安培力；在时间内，线框电流大小不变，电流方向为顺时针方向，同理该段时间内线框受到安培力大小不变，根据左手定则，可知该过程线框左边导线受到的安培力向左（即负方向），综合可知D选项符合题意，故C错误，D正确。 故选D。 例2.如图所示，一个各短边边长均为L，长边边长为3L的线框，匀速通过宽度为L的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，线框沿纸面运动，开始时线框右侧短边ab恰好与磁场左边界重合，此过程中最右侧短边两端点a、b两点间电势差随时间t变化关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设线框单位长度电阻为，则总电阻（假设单位长度），边电阻，设 过程：线框右侧短边进入磁场切割磁感线。感应电动势： 边相当于电源，电流方向由（右手定则），点电势高，。 为路端电压： 若取，则。 过程：边穿出磁场，线框中间部分（上下两段短竖边，总长）进入磁场切割。感应电动势： 此时中间部分相当于电源，边为外电路的一部分，此时边中电流方向导致点电势高于点（或根据题目选项规律），。 电路电流： 为边两端电压（外电路部分电压）： 若，则 过程：中间部分穿出磁场，线框最左侧长边（长）进入磁场切割。感应电动势： 最左侧长边相当于电源，边为外电路。电流方向使得点电势高于点，。 电路电流：， 若，则。 综上所述，随时间变化的图像应为：为，为，为。对比选项，C图符合。 故选C。 考点三：电荷量的计算 例1.如图甲所示，用绝缘细绳将边长为L、总电阻为R的n匝正方形闭合导线框吊在天花板下，线框上下两边水平，在线框的中间位置以下区域分布有与线框平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．时间内，线圈中的电流方向为顺时针 B．时间内，绳子的拉力都小于线框的重力 C．时间内，穿过线圈的磁通量变化量大小为 D．时间内，流过线圈某横截面的电荷量为 【答案】CD 【详解】A．线框在磁场中的面积 ， 时间内，向里的磁通量逐渐增大，根据楞次定律，感应电流的磁场方向垂直纸面向外，由右手螺旋定则可知，电流方向为逆时针，故A错误； B．时间内，线框受到的安培力向上，绳子的拉力小于线框的重力，时间内，线框中向里的磁通量减小，线圈中的电流方向为顺时针，线框受到的安培力向下，绳子的拉力大于线框的重力，故B错误； C．磁通量与线圈匝数无关，时磁通量 ，时磁通量 ，因此磁通量变化量大小 ，故C正确； D．流过横截面的电荷量公式为 ，，得 ，故D正确。 故选CD。 例2.如图所示，光滑绝缘水平面上一个边长为L的单匝正方形导线框以垂直于磁场边界的速度进入一个磁感应强度大小为B的匀强磁场区域（磁场宽度大于导线框边长），导线框的质量为m，电阻为R，导线框进入磁场前的速度大小为v0，完全进入磁场后在磁场中做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．导线框开始进入磁场时的加速度大小为 B．导线框进入磁场的过程中，通过某横截面的电荷量为 C．导线框在磁场中做匀速直线运动的速度大小为 D．整个运动过程中，导线框产生的焦耳热可能为 【答案】ACD 【详解】A．导线框开始进入磁场时受到的安培力大小 由牛顿第二定律有 解得此时导线框的加速度大小，故A正确； BC．取向右为正方向，对导线框进入磁场的过程，根据动量定理有 通过某横截面的电荷量为 解得，故B错误，C正确； D．若导线框在完全离开磁场前就停止了运动，由功能关系可知，故D正确。 故选ACD。 考点四：电磁感应的综合应用 例1.某电磁缓冲小车车底安装着电磁铁，可产生竖直向下的匀强磁场；粗糙水平地面上固定着闭合矩形线圈abcd，磁场的长度大于线圈的bc边的长度，如图所示（俯视），关闭动力的小车向右通过线圈，在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．小车向右做匀减速直线运动 B．当磁场的右边界刚经过ab边时，线圈里产生的感应电流方向为顺时针 C．当磁场的右边界刚经过dc边时，ab两端的电压等于dc两端的电压 D．小车的动能减少量等于线圈abcd产生的焦耳热 【答案】C 【详解】A．线圈相对磁场向左切割磁感线，产生电动势 电流为 根据牛顿第二定律 得到 加速度不是定值，不是匀变速运动，故A错误； B．当磁场的右边界刚经过ab边时，根据右手定则，可知线圈里产生的感应电流方向为逆时针，故B错误； C．当磁场的右边界刚经过dc边时，左右两边均切割磁感线，根据可知，ab两端的电压等于dc两端的电压，故C正确； D．根据能量守恒可知，小车的动能减少量大于线圈abcd产生的焦耳热，还有一部分克服阻力做功产生了热量，故D错误。 故选C。 例2.列车进站时可借助电磁阻尼辅助刹车，其简化结构如下图所示：站台旁轨道上足够长的区域存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，在车身下方固定一与车身等大的矩形单匝线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力来辅助列车刹车。列车进站时，线框ab边恰好进入磁场时列车的速度为，当线框cd边进入磁场并运动一段时间后，列车停止。已知列车的质量为m，车身长为s，线框ab边的长度为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。则列车（　　） A．刹车进站时加速度大小 B．从进站到停下来所用时间 C．从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的热量 D．完全在磁场中运动时，线框中感应电流为零，ab间电势差也为零 【答案】ABC 【详解】A．ab边刚进入磁场时，感应电动势 感应电流 ab边受到的安培力大小： 安培力与恒力均为阻力，根据牛顿第二定律： 故A正确； B．对全程用动量定理，初速度方向为正方向，初动量，末动量为0： 只有线框进入磁场（总位移）的过程存在安培力，完全进入后安培力为0，因此： 代入整理得： 与选项表达式一致，且题目明确列车在进入磁场后才停下，推导成立，故B正确； C．根据能量守恒，列车减少的动能，一部分转化为线框的焦耳热，另一部分用于克服铁轨、空气阻力做功，转化为其他形式的能，因此： 即减少的动能一定大于线框产生的热量，故C正确； D．线框完全在磁场中运动时，穿过线框的磁通量不变，因此感应电流为零；但边切割磁感线，会产生动生电动势 因此间存在电势差，故D错误。 故选ABC。 例3.如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1m。整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上，质量m=1kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。 (1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度以及向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR： (2)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，整个回路产生的总焦耳热为2J，求流过电阻R的总电荷量q； (3)在（2）问的条件下求金属棒ab开始运动至达到最大速度的时间。 【答案】(1)2.0m/s，3W (2)1C (3)2s 【详解】（1）金属棒由静止释放后，沿着斜面做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为0时有最大速度vm，由牛顿第二定律得mgsinθ-μmgcosθ-F安=0 而安培力公式F安=BIL 根据欧姆定律有 根据法拉第电磁感应定律有E=BLvm 联立解得vm=2.0m/s 电阻R上的最大电功率 解得 （2）设金属棒从开始运动到达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为x，由能量守恒定律，其中Q=2J 解得x=2.0m 对根据电流的定义有 根据欧姆定律 根据法拉第电磁感应定律，其中 联立解得q=1C （3）规定沿导轨向下为正方向，由动量定理得 其中 解得t=2s 巩固练习 一、单选题 1．如图所示，单匝铜线制成的正方形线框边长为、电阻为，两端点用导线与阻值为的电阻构成回路。整个线框内有与线框平面垂直向里的匀强磁场，磁感应强度随时间的的变化规律满足（）。下列说法中正确的是（　　） A．流经电阻的电流方向由到 B．回路中的电流增大 C．电阻两端的电压为 D．时间内通过电阻的电荷量为 【答案】D 【详解】A．由楞次定律可得，正方形线框中感应电流为逆时针方向，故通过中电流方向为，故A错误； B．由法拉第电磁感应定律可得，正方形线框中产生的感应电动势 回路中感应电流 可知电流大小不变，故B错误； C．两端电压，故C错误； D．时间内通过的电荷量，故D正确。 故选D。 2．如图所示，在相距d的两水平虚线之间有水平向里的匀强磁场，正方形线框acbd的边长为（），线框从磁场上方高h处由静止释放到正方形线框刚好全部离开磁场的整个过程中，cd边始终水平。下列关于线框加速度大小的变化情况可能正确的是（　　） A．变大  不变 B．不变  变小 C．不变  变小  不变 D．不变  变小  不变  变小 【答案】D 【详解】正方形线框开始自由下落加速度不变；正方形线框进入磁场时，由于楞次定律会阻碍正方形线框进入磁场即加速度变小；正方形线框全部进入磁场后，由于l0<d，正方形线框又会自由下落一段距离即加速度不变；再然后正方形线框开始离开磁场时再由于楞次定律会阻碍正方形线框离开磁场即加速度变小。因此加速度的变化情况为不变→变小→不变→变小。 故选D。 3．如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，AB边长为2L，由粗细均匀的金属杆弯折而成的直角三角形导线框abc与直角三角形ABC相似，ab边长为L，∠ACB=∠acb=30°，线框在纸面内，且bc边和BC边在同一直线上。现用外力使线框以速度v匀速向右运动通过磁场区域，规定顺时针方向为导线框中感应电流的正方向，t=0时刻导线框正好处于图示位置。下面表示导线框中感应电流i随时间t变化关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】导线框abc进入磁场时磁通量增大，由楞次定律可知感应电流方向沿顺时针方向为正值，反之离开磁场时感应电流方向沿逆时针方向为负值；导线框abc进入磁场时ac边切割，有效切割长度L随时间t均匀增大，电动势E=BLv均匀增大，由可知感应电流均匀增大，导线框abc全部在磁场中运动时磁通量不变，无感应电流产生，导线框abc离开磁场时ab边切割，有效切割长度L随时间t均匀减小，电动势均匀减小，感应电流均匀减小。 故选D。 4．如图甲所示，边长为l的正方形导线框abcd，以恒定速度沿x轴向右运动，穿过图中所示的匀强磁场区域。从导线框在图示位置的时刻开始计时，则乙图的纵轴对应的物理量为导线框（　　） A．所包围面积的磁通量 B．b、c两点的电势差Ubc C．bc边所受安培力大小 D．所受外力的功率 【答案】B 【详解】A． 磁通量 时，线框进入磁场，进入磁场的面积随增大线性增大，也线性增大，不符合乙图中该段为恒定值的特点，故A错误； B．设线框总电阻为，每边电阻为，线框速度为。时，线框未进入磁场，无感应电动势，，符合；时，边切割磁感线，总感应电动势，电流，为路端电压，大小，为恒定值，符合； 时，整个线框在磁场中，感应电流，但边仍切割磁感线，电动势为，无电流时，为恒定值，符合； 时，线框出磁场，边切割磁感线，电流，为外电路电阻，，为恒定值，符合乙图规律，故B正确； C．由B选项，时，线框感应电流，因此边安培力为，不符合乙图中该段为最大值的特点，故C错误； D．线框匀速运动，外力功率等于感应电流功率，时感应电流为，功率为，不符合乙图中该段为最大值的特点，故D错误。 故选B。 二、解答题 5．如图甲所示，一个阻值r=0.1Ω、面积S=0.5m2的金属圆环与阻值R=0.4Ω的电阻连接成闭合回路。在圆环中存在垂直于圆环平面的变化磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，导线电阻不计。求t=3s内。 (1)通过电阻R的电流大小和方向； (2)通过电阻R的电荷量和电阻R产生的热量Q。 【答案】(1)2A，方向向下 (2)6C，4.8J 【详解】（1）由乙图可知t=3s内磁感应强度均匀变化，产生感应电流恒定，0~1s内磁场方向向外在减小，由楞次定律可知圆环中感应电流方向沿逆时针，通过电阻R的电流方向向下 由法拉第电磁感应定律有 单个圆环n=1，代入解得 由闭合电路的欧姆定律有 （2）通过电阻R的电荷量 电阻R产生的热量 6．我国在电动汽车的制造领域处于世界领先水平，电动汽车驱动的基本原理是将直流电先利用大功率高速开关管（IGBT）和脉宽调制（PWM）技术变为正弦交流电，用相位互差的三相交流电各相分别通入所对应的励磁线圈，形成旋转磁场来驱动交流感应电动机运转。其原理可等效简化为如图装置，两根相距的平行金属导轨固定于同一水平面，其右端接一阻值为的电阻。质量为的金属杆静置在导轨上，金属杆在导轨间的电阻为，其左侧的矩形匀强磁场区域的磁感应强度大小为、方向竖直向下。当该磁场区域以速度大小匀速向右完全扫过金属杆后，金属杆的速度大小变为。导轨的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求： (1)刚扫过金属杆时，金属杆的加速度的大小； (2)刚要离开金属杆时，电阻的发热功率； (3)磁场区域沿方向的宽度 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）刚扫过金属杆时，感应电动势 根据闭合回路欧姆定律，感应电流为 由牛顿第二定律有 解得 （2）刚要离开金属杆时，感应电动势 电阻R的功率 （3）由动量定理得 其中 解得 7.光滑水平面内存在一有界匀强磁场，如图甲所示。磁场两边界平行，宽度为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里。均匀导线制成的单匝正方形线框abcd置于该水平面内，某时刻起，该线框以垂直磁场边界的初速度进入磁场，一段时间后从磁场全部穿出。已知导线框的边长为，电阻为。求： (1)cd边刚进入磁场时，、两点间的电势差； (2)线框所受最大安培力的大小和方向； (3)在图乙中定性画出线框穿过磁场的全过程中，速度随时间变化的图线。 【答案】(1) (2)，方向与运动方向相反 (3) 【详解】（1）cd边刚进入磁场时，切割磁感线产生感应电动势，得 回路感应电流 线框均匀，ab边电阻为总电阻的​，即 由右手定则，回路电流方向为 电流从a流向b，因此 （2）线框受安培力阻碍运动，速度一直减小，因此刚进入磁场时速度最大，安培力最大 由左手定则可知，安培力方向与运动方向相反。 （3）线框边长等于磁场宽度，因此不存在线框完全在磁场中（磁通量不变、无感应电流）的匀速阶段。进入、穿出磁场过程中，安培力 由牛顿第二定律，可得 可知，减小，加速度减小，因此线框全程做加速度减小的减速运动。图线 起点在，​处，速度随增大单调递减，斜率始终为负，且斜率绝对值逐渐减小，无水平段，最终速度大于0，作出速度随时间变化的图线，如图所示 8．如图所示，MN与PQ是两条水平放置且彼此平行的光滑金属导轨，导轨间距为，质量、电阻的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为，导轨左端接阻值的电阻，导轨电阻不计。时刻ab杆受水平拉力F的作用后由静止开始向右做匀加速运动，第4s末ab杆的速度为。求： (1)4s末ab杆受到的安培力的大小； (2)若时间内，电阻R上产生的焦耳热为2J，这段时间内水平拉力F做的功为多少； (3)若第4s末以后，拉力不再变化，且4s末至ab杆达到最大速度的过程中通过杆的电荷量，则该过程ab杆克服安培力做的功为多大。 【答案】(1)3.2N (2)34.5J (3)25.5J 【详解】（1）末杆产生的感应电动势 感应电流 末杆受到的安培力 （2）由可得 所以 故时间内克服安培力做功为 对由动能定理得 解得 （3）内杆运动的加速度 末由牛顿第二定律得 解得 杆最终匀速运动有 得 设杆从末至匀速运动前通过的位移为，通过杆的电荷量 解得 末至杆达到最大速度的过程，由动能定理得 解得 9．如图所示，足够长的平行金属直导轨间距，导轨平面与水平面夹角为，导轨处于竖直向下，磁感应强度的匀强磁场中，在导轨上端连接的定值电阻。将一质量，长度为的金属棒在导轨某处由静止释放，经过一段时间金属棒匀速下滑，金属棒与导轨之间不计摩擦。金属棒和导轨电阻也不计，重力加速度g取。求： (1)刚释放时，金属棒的加速度大小； (2)匀速下滑时金属棒的速度大小； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）开始释放时，初速度为0，则 由牛顿第二定律 可得 （2）金属棒匀速下滑时，产生的感应电动势 匀速运动时 代入与 解得 10.如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距，虚线左侧为圆弧导轨、右侧为水平导轨，两段导轨平滑连接。水平导轨足够长，且右端连接一定值电阻。右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。长度略大于的导体棒从圆弧导轨上距离水平面高度处由静止释放，运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知导体棒质量，接入电路的电阻。不计导轨电阻，重力加速度大小取，求： (1)刚进入磁场时加速度的大小； (2)整个过程电阻产生的热量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）导体棒在圆弧轨道下滑的过程，由机械能守恒定律得 解得刚进入磁场时的速度大小为 刚进入磁场时由法拉第电磁感应定律可得电动势为 由闭合电路欧姆定律可得 由牛顿第二定律得 联立解得刚进入磁场时加速度的大小 （2）由能量守恒，整个过程产生的总热量为 电阻产生的热量为 解得 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 粤教版（2019）选择性必修第二册复习讲义 第六讲 法拉第电磁感应定律的应用 一．电磁感应中的电路问题 1.对电磁感应中电源的理解． (1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈相当于电源． (2)电源的正负极、感应电流的方向、电势的高低、电容器极板带电问题，可用右手定则或楞次定律判定． (3)电源的电动势的大小可由E＝Blv、E＝n或E＝BL2ω求解． 2.内电路和外电路． 相当于电源的部分导体或线圈相当于内电路，其余部分是外电路． 3.对电磁感应电路的理解． (1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能转化为电能． (2)“电源”两端的电压为路端电压，而不是感应电动势． (3)路端电压：U＝IR＝E－Ir. 求解电路问题的步骤 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向；感应电流方向是电源内部电流的方向． (2)根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路． (3)根据E＝BLv或E＝n结合闭合电路欧姆定律，串、并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解． 2、 电磁感应现象中的图像问题 解决图像问题的一般步骤． (1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者是E－t图像、I－t图像等； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画出图像或判断图像． 电磁感应的图像问题解题技巧 在选择电磁感应的图像时，往往对图像采用部分图线否定法易正确选出答案．例如线圈或导体刚进入时、刚离开时的电流有无、方向、大小变化情况，全部进入后运动中的电流有无，通过部分否定图线． 三、电磁感应中的动力学问题 在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型． 类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型 示意图 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计 分析 S闭合，棒ab受安培力F＝，此时a＝，棒ab速度v↑→感应电动势BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速 棒ab释放后下滑，此时a＝g sin α，其速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力为F＝mg sin α时，a＝0，v最大，最后匀速 运动形式 变加速运动 变加速运动 最终状态 匀速运动vm＝ 匀速运动vm＝ 四、电磁感应的能量问题 求解思路． (1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算． (2)若电流变化，则： ①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功； ②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化则机械能的减少量等于产生的电能． 3.焦耳热的计算． (1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt. (2)感应电流变化，可用以下方法分析： ①利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安； ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量． 1.安培力做负功是其他形式的能(如机械能)转化为电能，这是发电机原理． 2.安培力做正功，是电能转化为其他形式的能，这是电动机原理． 3.安培力做负功，其他形式的能转化为电能，然后又通过电流做功变成电热．所以安培力做的功、生能、生热往往是同步进行的，不要重复计算． 考点一：电磁感应中的电路问题 例1.如图所示，A是面积为、匝的圆形金属线圈，其总电阻，线圈处在逐渐增大的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面垂直，磁感应强度随时间的变化率，线圈与阻值的电阻连接，不计电压表对电路的影响。求： (1)电压表的示数U； (2)10s内通过的电量q。 例2.图乙所示是我国某磁悬浮列车利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一由粗细均匀导线制成的N匝矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为d，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，区域长也为d，MN边界与ab平行。若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时的速度大小为v0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动。已知线框总电阻为R，列车的总质量为m，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．列车进站过程中电流方向为adcb B．线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小 C．线框从进入到离开磁场过程中，线框产生的焦耳热 D．线框从进入到离开磁场过程所用的时间 考点二：电磁感应现象中的图像问题 例1.如图所示，边长为l的正方形导线框以恒定速度v沿x轴运动，并穿过磁感应强度大小为B的匀强磁场区域。线框中的感应电流为i，受到的安培力为F，如果以逆时针方向作为感应电流的正方向，x轴正方向作为安培力的正方向，线框在图示位置的时刻开始计时，i、F随时间变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 例2.如图所示，一个各短边边长均为L，长边边长为3L的线框，匀速通过宽度为L的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，线框沿纸面运动，开始时线框右侧短边ab恰好与磁场左边界重合，此过程中最右侧短边两端点a、b两点间电势差随时间t变化关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 考点三：电荷量的计算 例1.如图甲所示，用绝缘细绳将边长为L、总电阻为R的n匝正方形闭合导线框吊在天花板下，线框上下两边水平，在线框的中间位置以下区域分布有与线框平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．时间内，线圈中的电流方向为顺时针 B．时间内，绳子的拉力都小于线框的重力 C．时间内，穿过线圈的磁通量变化量大小为 D．时间内，流过线圈某横截面的电荷量为 例2.如图所示，光滑绝缘水平面上一个边长为L的单匝正方形导线框以垂直于磁场边界的速度进入一个磁感应强度大小为B的匀强磁场区域（磁场宽度大于导线框边长），导线框的质量为m，电阻为R，导线框进入磁场前的速度大小为v0，完全进入磁场后在磁场中做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．导线框开始进入磁场时的加速度大小为 B．导线框进入磁场的过程中，通过某横截面的电荷量为 C．导线框在磁场中做匀速直线运动的速度大小为 D．整个运动过程中，导线框产生的焦耳热可能为 考点四：电磁感应的综合应用 例1.某电磁缓冲小车车底安装着电磁铁，可产生竖直向下的匀强磁场；粗糙水平地面上固定着闭合矩形线圈abcd，磁场的长度大于线圈的bc边的长度，如图所示（俯视），关闭动力的小车向右通过线圈，在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．小车向右做匀减速直线运动 B．当磁场的右边界刚经过ab边时，线圈里产生的感应电流方向为顺时针 C．当磁场的右边界刚经过dc边时，ab两端的电压等于dc两端的电压 D．小车的动能减少量等于线圈abcd产生的焦耳热 例2.列车进站时可借助电磁阻尼辅助刹车，其简化结构如下图所示：站台旁轨道上足够长的区域存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，在车身下方固定一与车身等大的矩形单匝线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力来辅助列车刹车。列车进站时，线框ab边恰好进入磁场时列车的速度为，当线框cd边进入磁场并运动一段时间后，列车停止。已知列车的质量为m，车身长为s，线框ab边的长度为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。则列车（　　） A．刹车进站时加速度大小 B．从进站到停下来所用时间 C．从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的热量 D．完全在磁场中运动时，线框中感应电流为零，ab间电势差也为零 例3.如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1m。整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上，质量m=1kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。 (1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度以及向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR： (2)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，整个回路产生的总焦耳热为2J，求流过电阻R的总电荷量q； (3)在（2）问的条件下求金属棒ab开始运动至达到最大速度的时间。 巩固练习 一、单选题 1．如图所示，单匝铜线制成的正方形线框边长为、电阻为，两端点用导线与阻值为的电阻构成回路。整个线框内有与线框平面垂直向里的匀强磁场，磁感应强度随时间的的变化规律满足（）。下列说法中正确的是（　　） A．流经电阻的电流方向由到 B．回路中的电流增大 C．电阻两端的电压为 D．时间内通过电阻的电荷量为 2．如图所示，在相距d的两水平虚线之间有水平向里的匀强磁场，正方形线框acbd的边长为（），线框从磁场上方高h处由静止释放到正方形线框刚好全部离开磁场的整个过程中，cd边始终水平。下列关于线框加速度大小的变化情况可能正确的是（　　） A．变大  不变 B．不变  变小 C．不变  变小  不变 D．不变  变小  不变  变小 3．如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，AB边长为2L，由粗细均匀的金属杆弯折而成的直角三角形导线框abc与直角三角形ABC相似，ab边长为L，∠ACB=∠acb=30°，线框在纸面内，且bc边和BC边在同一直线上。现用外力使线框以速度v匀速向右运动通过磁场区域，规定顺时针方向为导线框中感应电流的正方向，t=0时刻导线框正好处于图示位置。下面表示导线框中感应电流i随时间t变化关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图甲所示，边长为l的正方形导线框abcd，以恒定速度沿x轴向右运动，穿过图中所示的匀强磁场区域。从导线框在图示位置的时刻开始计时，则乙图的纵轴对应的物理量为导线框（　　） A．所包围面积的磁通量 B．b、c两点的电势差Ubc C．bc边所受安培力大小 D．所受外力的功率 二、解答题 5．如图甲所示，一个阻值r=0.1Ω、面积S=0.5m2的金属圆环与阻值R=0.4Ω的电阻连接成闭合回路。在圆环中存在垂直于圆环平面的变化磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，导线电阻不计。求t=3s内。 (1)通过电阻R的电流大小和方向； (2)通过电阻R的电荷量和电阻R产生的热量Q。 6．我国在电动汽车的制造领域处于世界领先水平，电动汽车驱动的基本原理是将直流电先利用大功率高速开关管（IGBT）和脉宽调制（PWM）技术变为正弦交流电，用相位互差的三相交流电各相分别通入所对应的励磁线圈，形成旋转磁场来驱动交流感应电动机运转。其原理可等效简化为如图装置，两根相距的平行金属导轨固定于同一水平面，其右端接一阻值为的电阻。质量为的金属杆静置在导轨上，金属杆在导轨间的电阻为，其左侧的矩形匀强磁场区域的磁感应强度大小为、方向竖直向下。当该磁场区域以速度大小匀速向右完全扫过金属杆后，金属杆的速度大小变为。导轨的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求： (1)刚扫过金属杆时，金属杆的加速度的大小； (2)刚要离开金属杆时，电阻的发热功率； (3)磁场区域沿方向的宽度 7.光滑水平面内存在一有界匀强磁场，如图甲所示。磁场两边界平行，宽度为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里。均匀导线制成的单匝正方形线框abcd置于该水平面内，某时刻起，该线框以垂直磁场边界的初速度进入磁场，一段时间后从磁场全部穿出。已知导线框的边长为，电阻为。求： (1)cd边刚进入磁场时，、两点间的电势差； (2)线框所受最大安培力的大小和方向； (3)在图乙中定性画出线框穿过磁场的全过程中，速度随时间变化的图线。 8．如图所示，MN与PQ是两条水平放置且彼此平行的光滑金属导轨，导轨间距为，质量、电阻的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为，导轨左端接阻值的电阻，导轨电阻不计。时刻ab杆受水平拉力F的作用后由静止开始向右做匀加速运动，第4s末ab杆的速度为。求： (1)4s末ab杆受到的安培力的大小； (2)若时间内，电阻R上产生的焦耳热为2J，这段时间内水平拉力F做的功为多少； (3)若第4s末以后，拉力不再变化，且4s末至ab杆达到最大速度的过程中通过杆的电荷量，则该过程ab杆克服安培力做的功为多大。 9．如图所示，足够长的平行金属直导轨间距，导轨平面与水平面夹角为，导轨处于竖直向下，磁感应强度的匀强磁场中，在导轨上端连接的定值电阻。将一质量，长度为的金属棒在导轨某处由静止释放，经过一段时间金属棒匀速下滑，金属棒与导轨之间不计摩擦。金属棒和导轨电阻也不计，重力加速度g取。求： (1)刚释放时，金属棒的加速度大小； (2)匀速下滑时金属棒的速度大小； 10.如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距，虚线左侧为圆弧导轨、右侧为水平导轨，两段导轨平滑连接。水平导轨足够长，且右端连接一定值电阻。右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。长度略大于的导体棒从圆弧导轨上距离水平面高度处由静止释放，运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知导体棒质量，接入电路的电阻。不计导轨电阻，重力加速度大小取，求： (1)刚进入磁场时加速度的大小； (2)整个过程电阻产生的热量。 14 学科网（北京）股份有限公司 $