精品解析：河北正定中学2025-2026学年高二年级下学期第一次月考数学试卷

河北正定中学高二下学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为. 2. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布乘法计数原理进行计算. 【详解】每个班有4种不同选择，共有种不同选法. 故选：B 3. 如图，用4种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据区域同色和不同色分类讨论即可得. 【详解】区域同色的方法数为 区域不同色的方法数为， 总的方法数为． 故选：C． 4. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 5. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. -120 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意可得，再写成二项式展开式的通项为，令，求出，再代入计算，即可求出展开式中的系数； 【详解】解：因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，所以，所以的展开式的通项为，令，得，故，故展开式中的系数为 故选：C 6. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 7. 已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推式可证是等差数列，进而表示出，由的项数列出关于的不等式求解. 【详解】由，得，所以是公差为的等差数列， 所以，即， 由，得，所以 因为中小于的项有项，所以， 解得. 【点睛】易错点：构造新数列时易漏除，或在确定的不等式边界时混淆 “小于 0 的项有 10 项” 的等号方向. 8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，； 前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，； 前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，. 所以. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先通过求出未知参数，再依次计算和，最后验证选项. 【详解】依题意，， 已知，代入得：，故A错误，B正确； ， 代入得：，C正确； ，D错误. 10. 为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（ ） A. 若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B. 若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C. 若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D. 若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用捆绑法结合排列数的运算判断A；采用插空法结合排列数的运算判断B；利用对称性结合排列数的运算判断C;先排歌曲和歌曲，然后再利用安排其它歌曲判断D. 【详解】6首歌曲的全排列总数为种.要求B、C、D三首必须连续，采用捆绑法. 将B、C、D看作一个整体，与A、E、F共同进行排列， 将、C、D视为1个元素，与另外3个元素进行全排列，共有种排法， B、C、D这个整体内部进行全排列，共有种排法，故总安排方式为种，故A正确； 要求B、C、D任意两首不连续，采用插空法，先将A、E、F三首歌曲进行全排列，共有种排法， A、E、F排好后形成4个空位（包含首尾），从这4个空位中选3个插入B、C、D，共有种排法. 总安排方式为种，故B正确； 要求在之前演唱且无需连续，利用对称性分析， 在全排列中，在前和在前的概率均等，各占总数的一半. 故总安排方式为种，故C错误； 要求必须先演唱，必须不最后演唱，先确定的位置，固定在第1位，有1种排法， 再确定的位置，不能在第1位，也不能在第6位， 只能在第2、3、4、5位中选择，共有种排法， 则剩余的4首歌曲在剩下的4个位置进行全排列，共有种排法， 总安排方式为种，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ） A. 第2026行共有2026个数 B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D. 去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D. 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】. . 14. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数的极值点至少有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧两函数与的距离变化，即可得出结论. 【详解】 如图，设是题设直线与曲线的切点横坐标， 存在，使得，则处作的切线与平行， 由图象知，此时有，此时取得最小值； 由图象知，当时在的上方，逐渐减小， 在时逐渐增大，在时逐渐减小，在时逐渐增大， 综上，为函数的极小值点，处取得极大值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以． 【小问2详解】 由，得 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 因为是正三角形，是的中点，所以， 因为侧面底面，，侧面底面， 所以侧面， 平面，所以， 又，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 易得，平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，令，则，， 则， 设二面角的大小为， 则， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接对已知函数求导，根据导数符号与原函数单调性的关系即可得解； （2）分离参数，将原问题等价变形为当时，“”恒成立，构造函数，，利用导数求出它的最大值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 令，解得. 与在区间上的情况如下： x - 0 + 极小值 故的增区间为，减区间为，在处有极小值为； 【小问2详解】 当时，“”恒成立等价于当时，“”恒成立， 令，，则，. 当时，，所以在区间上单调递减. 当时，，所以在区间上单调递增. 而，， 所以在区间上的最大值为. 所以当时，对于任意，都有. 综上所述，满足题意的实数的取值范围是. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解； ②，结合数列单调性分析求解. 【小问1详解】 记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． 【小问2详解】 由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 19. 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点． （1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． （2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于． ①求双曲线C的离心率e的取值范围； ②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上． 【答案】（1） （2）①；②点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据直线与渐近线平行可求的值，进而得双曲线的标准方程. （2）设直线：，双曲线：，将方程联立，利用韦达定理，结合条件，先求的取值范围. ①根据离心率的概念求离心率的取值范围； ②分别表示直线与的方程，借助①中的有关结论，求两直线交点的横坐标即可. 【小问1详解】 由题意知，当直线的斜率为2时与一条渐近线平行，则. 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，双曲线的标准方程为. 因为直线的斜率不为0，故可设直线的方程为:， 将其代入，得， 整理得：（）. 设，，则，. ，. 所以. 由. ①所以，又，所以双曲线离心率的取值范围是. ②当双曲线离心率最大时，. 此时.，. 直线的方程：， 直线的方程：. 由. 化简得：. 由，. 所以. 由. 即直线与直线的交点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北正定中学高二下学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A. B. C. 12 D. 16 3. 如图，用4种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ） A. B. C. D. 4. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. -120 6. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 7. 已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（ ） A. 若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B. 若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C. 若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D. 若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 11. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ） A. 第2026行共有2026个数 B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D. 去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数的极值点至少有__________个. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 19. 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点． （1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． （2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于． ①求双曲线C的离心率e的取值范围； ②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $