河北省正定中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

河北正定中学高二下学期第一次月考 数学 命题人：时凯静 审题人：尹兰 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 50 B. 35 C. 25 D. 40 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有（ ）个． A. B. 20 C. 10 D. 12 4. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. 51 B. 34 C. 17 D. 1 6. 当时，恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数的求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ） A. B. C. D. 11. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1，2，3，5，8，13，……数列中每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（ ） A B. C. 若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则 D. 若．则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（其中第13题第一空2分，第二空3分） 12. ______． 13. 如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，且，则球的表面积为_______，若是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，则的最大值为______． 14. 若函数在上没有零点，则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求函数的极值点； （2）记曲线在处的切线为，求证：与有唯一公共点． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点. （1）证明：. （2）点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，，，设直线的斜率分别为． （i）若，求； （ii）证明：为定值． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 河北正定中学高二下学期第一次月考 数学 命题人：时凯静 审题人：尹兰 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共1